第2講綜合大題部分1. (2018高考天津卷)如圖，在四面體ABCD中，ABC是等邊三角形，平面ABC平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB2，AD2，BAD90.(1)求證：ADBC；(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值；(3)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值解析：(1)證明：由平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB，可得AD平面ABC，故ADBC.(2)如圖，取棱AC的中點(diǎn)N，連接MN，ND.又因?yàn)镸為棱AB的中點(diǎn)，所以MNBC.所以DMN(或其補(bǔ)角)為異面直線BC與MD所成的角在RtDAM中，AM1，故DM.因?yàn)锳D平面ABC，所以ADAC.在RtDAN中，AN1，故DN.在等腰三角形DMN中，MN1，可得cosDMN.所以，異面直線BC與MD所成角的余弦值為.(3)如圖，連接CM.因?yàn)锳BC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，所以CMAB，CM.又因?yàn)槠矫鍭BC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，而CM平面ABC，故CM平面ABD，所以CDM為直線CD與平面ABD所成的角在RtCAD中，CD4.在RtCMD中，sinCDM.所以，直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.2(2018高考北京卷)如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)(1)求證：PEBC；(2)求證：平面PAB平面PCD；(3)求證：EF平面PCD.證明：(1)因?yàn)镻APD，E為AD的中點(diǎn)，所以PEAD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以ABAD.又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，所以AB平面PAD，所以ABPD.又因?yàn)镻APD，所以PD平面PAB.所以平面PAB平面PCD.(3)如圖，取PC的中點(diǎn)G，連接FG，DG.因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以FGBC，F(xiàn)GBC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四邊形DEFG為平行四邊形所以EFDG.又因?yàn)镋F平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.3(2017高考全國(guó)卷)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積解析：(1)證明：由BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，又APPDP，從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如圖所示，在平面PAD內(nèi)作PEAD，垂足為E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD.設(shè)ABx，則由已知可得ADx，PEx.故四棱錐PABCD的體積VPABCDABADPEx3.由題設(shè)得x3，故x2.從而PAPD2，ADBC2，PBPC2.可得四棱錐PABCD的側(cè)面積為PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.4. (2017高考全國(guó)卷)如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)證明：直線BC平面PAD；(2)若PCD的面積為2，求四棱錐PABCD的體積解析：(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)锽ADABC90，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD.(2)如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM.由ABBCAD及BCAD， ABC90得四邊形ABCM為正方形，則CMAD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因?yàn)镃M底面ABCD，所以PMCM.設(shè)BCx，則CMx，CDx，PMx，PCPD2x.如圖，取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PNCD，所以PNx.因?yàn)镻CD的面積為2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱錐PABCD的體積V24.1. 在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形，ABDC，ABAD1，CD2，ACEC.(1)求證：平面EBC平面EBD；(2)設(shè)M為線段EC上一點(diǎn)，且3EMEC，試問(wèn)在線段BC上是否存在一點(diǎn)T，使得MT平面BDE，若存在，試指出點(diǎn)T的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：(1)證明：EC，CD2，ED1.EC2CD2ED2，EDDC.又四邊形ADEF是正方形，所以ADDE，又ADDCD，所以ED平面ABCD.又BC平面ABCD，所以EDBC.在梯形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BHCD于點(diǎn)H，故四邊形ABHD是正方形，所以ADB45，BD.在RtBCH中，BHCH1，所以BC，故BD2BC2DC2，所以BCBD.因?yàn)锽DEDD，BD平面EBD，ED平面EBD，所以BC平面EBD，又BC平面EBC，所以平面EBC平面EBD.(2)在線段BC上存在一點(diǎn)T，使得MT平面BDE，此時(shí)3BTBC.連接MT，在EBC中，因?yàn)?，所以MTEB.又MT平面BDE，EB平面BDE，所以MT平面BDE.2如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，ABAEBFEF，ABEF，把四邊形ABCD沿AB折起，使得AD底面AEFB，G是EF的中點(diǎn)，如圖.圖圖(1)求證：DE平面AGC；(2)求證：AG平面BCE.證明：(1)由已知ABDCEF，又ABDCEF，G是EF的中點(diǎn)，所以CD綊EG，所以四邊形DCGE是平行四邊形，所以DECG.因?yàn)镈E平面AGC，CG平面AGC，所以DE平面AGC.(2)連接BG(圖略)，因?yàn)锽CAD，AD底面AEFB，所以BC底面AEFB，又AG底面AEFB，所以BCAG.因?yàn)锳B綊EG，ABAE.所以四邊形ABGE為菱形，所以AGBE.又BCBEB，BE平面BCE，BC平面BCE，所以AG平面BCE.3. 如圖，在直三棱柱ADFBCE中，ABBCBE2，CE2.(1)求證：AC平面BDE；(2)若點(diǎn)K在線段BE上，且EK，求三棱錐KBDF的體積解析：(1)證明：在直三棱柱ADFBCE中，AB平面BCE，所以ABBE，ABBC.又ABBCBE2，CE2，所以BC2BE2CE2，且ACBD，所以BEBC.因?yàn)锳BBCB，所以BE平面ABCD.因?yàn)锳C平面ABCD，所以BEAC.因?yàn)锽DBEB，所以AC平面BDE.(2)由(1)可得，AD平面ABEF，因?yàn)锳BBCBE2，EK，所以SKBF2，所以VKBDFVDKBFSKBFDA2.4如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，BAD60，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上(1)求證：AD平面PBE；(2)若Q是PC的中點(diǎn)，求證：PA平面BDQ；(3)若VPBCDE2VQABCD，試求的值解析：(1)證明：由E是AD的中點(diǎn)，PAPD可得ADPE.又底面ABCD是菱形，BAD60，所以ABBD，又E是AD的中點(diǎn)，所以ADBE，又PEBEE，所以AD平面PBE.(2)證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OQ.因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，Q是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)QPA，又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA平面BDQ.(3)設(shè)四棱錐PBCDE，QABCD的高分別為h1，h2.所以VPBCDES四邊形BCDEh1，VQABCDS四邊形ABCDh2.又VPBCDE2VQABCD，且S四邊形BCDES四邊形ABCD，所以.