第1講基本初等函數、函數圖象與性質1以基本初等函數為載體，考查函數的定義域、最值、奇偶性、單調性和周期性；2利用函數的圖象研究函數性質，能用函數的圖象性質解決簡單問題；3函數與方程思想、數形結合思想是高考的重要思想方法；4掌握二次函數、分段函數、冪函數、指數函數、對數函數的圖象性質；5以基本初等函數為依托，考查函數與方程的關系、函數零點存在性定理；6能利用函數解決簡單的實際問題1函數的性質(1)單調性：單調性是函數在其定義域上的局部性質證明函數的單調性時，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結論復合函數的單調性遵循“同增異減”的原則(2)奇偶性：若f(x)是偶函數，則f(x)f(x)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則f(0)0奇函數在關于原點對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的單調區(qū)間內有相反的單調性(3)周期性：若yf(x)對xR，f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a>0)恒成立，則yf(x)是周期為2a的周期函數若yf(x)是偶函數，其圖象又關于直線xa對稱，則f(x)是周期為2|a|的周期函數若yf(x)是奇函數，其圖象又關于直線xa對稱，則f(x)是周期為4|a|的周期函數若f(xa)f(x)，則yf(x)是周期為2|a|的周期函數易錯提醒錯用集合運算符號致誤：函數的多個單調區(qū)間若不連續(xù)，不能用符號“”連接，可用“和”或“，”連接2函數的圖象(1)對于函數的圖象要會作圖、識圖和用圖，作函數圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對稱變換(2)在研究函數性質特別是單調性、值域、零點時，要注意結合其圖象研究(3)函數圖象的對稱性若函數yf(x)滿足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關于直線xa對稱；若函數yf(x)滿足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關于點(a，0)對稱3指數與對數式的七個運算公式(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)loga(MN)logaMlogaN；(4)logalogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)；(7)logaN(注：a，b>0且a，b1，M>0，N>0)4指數函數與對數函數的圖象和性質指數函數yax(a>0，a1)與對數函數ylogax(a>0，a1)的圖象和性質，分0<a<1，a>1兩種情況，當a>1時，兩函數在定義域內都為增函數，當0<a<1時，兩函數在定義域內都為減函數3函數的零點問題(1)函數F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的根，即函數yf(x)的圖象與函數yg(x)的圖象交點的橫坐標(2)確定函數零點的常用方法：直接解方程法；利用零點存在性定理；數形結合，利用兩個函數圖象的交點求解5應用函數模型解決實際問題的一般程序熱點一函數的圖象及應用【例1】(1) (2018全國II卷)函數的圖像大致為 ()ABCD(2)(2015全國卷)設函數f(x)ex(2x1)axa，其中a<1，若存在唯一的整數x0使得f(x0)<0，則實數a的取值范圍是()ABCD解析(1)，為奇函數，舍去A,，舍去D;，所以舍去C；因此選B.(2)設g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由題知存在唯一的整數x0，使得g(x0)h(x0)，因為g(x)ex(2x1)，可知g(x)在上單調遞減，在上單調遞增，作出g(x)與h(x)的大致圖象如圖所示，故即所以a<1答案（1）B(2)D探究提高1已知函數的解析式，判斷其圖象的關鍵是由函數解析式明確函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等，以及函數圖象上的特殊點，根據這些性質對函數圖象進行具體分析判斷2(1)運用函數圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數圖象本身的含義及其表示的內容，熟悉圖象所能夠表達的函數的性質(2)圖象形象地顯示了函數的性質，因此，函數性質的確定與應用及一些方程、不等式的求解常與圖象數形結合研究【訓練1】(1) (2018廣東測評)設函數，則的值為（）A0B1C2D3(2)已知函數f(x)若|f(x)|ax，則實數a的取值范圍是()A(，0B(，1C2，1D2，0解析(1)，選C (2)函數y|f(x)|的圖象如圖yax為過原點的一條直線，當a>0時，與y|f(x)|在y軸右側總有交點，不合題意；當a0時成立；當a<0時，找與y|x22x|(x0)相切的情況，即y2x2，切點為(0，0)，此時a2022，即有2a<0，綜上，a2，0答案(1)C(2)D熱點二函數的性質與應用【例2】(1) (2018全國II卷)已知是定義域為的奇函數,滿足.若，則（）ABCD(2)(2017天津卷)已知奇函數f(x)在R上是增函數，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，則a，b，c的大小關系為()Aa<b<cBc<b<aCb<a<cDb<c<a解析(1)因為是定義域為的奇函數，且，所以，,因此，因為，所以，從而，選C. (2)法一易知g(x)xf(x)在R上為偶函數，奇函數f(x)在R上是增函數，且f(0)0g(x)在(0，)上是增函數又3>log25.1>2>20.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，則c>a>b法二(特殊化)取f(x)x，則g(x)x2為偶函數且在(0，)上單調遞增，又3>log25.1>20.8，從而可得c>a>b答案(1)C(2)C探究提高1利用函數的奇偶性和周期性可以轉化函數的解析式、圖象和性質，把不在已知區(qū)間上的問題，轉化到已知區(qū)間上求解2函數單調性應用：可以比較大小、求函數最值、解不等式、證明方程根的唯一性【訓練2】(1)(2017淄博診斷)已知奇函數f(x)則f(2)的值等于_(2)(2017西安質檢)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x1)f(x1)，且當x1，1時，f(x)x，則()Af(3)<f(2)<fBf <f(3)<f(2)Cf(2)<f(3)<fDf(2)<f<f(3)解析(1)因為函數f(x)為奇函數，所以f(0)0，則30a0，a1當x0時，f(x)3x1，則f(2)3218，因此f(2)f(2)8(2)f(x1)f(x1)，則函數f(x)的周期T2當x1，1時，f(x)xx，則f(x)xxxf(x)，則函數f(x)為偶函數，因此ff，f(3)f(1)f(1)，f(2)f(0)當0x1時，函數yx與y1均為增函數且都不小于0，所以f(x)x在區(qū)間0，1上是增函數f(1)>f>f(0)，即f(3)>f>f(2)答案(1)8(2)D熱點三基本初等函數的圖象與性質【例3】(1)(2017鄭州一模)若函數ya|x|(a>0，且a1)的值域為y|y1，則函數yloga|x|的圖象大致是()(2)(2018襄陽聯考)設函數，則是（）A奇函數，且在上是增函數B奇函數，且在上是減函數C偶函數，且在上是增函數D偶函數，且在上是減函數解析(1)由于ya|x|的值域為y|y1，a>1，則ylogax在(0，)上是增函數，又函數yloga|x|的圖象關于y軸對稱因此yloga|x|的圖象應大致為選項B(2)因為，所以函數是偶函數，又在上是減函數，故選D答案(1)B(2) D探究提高1指數函數、對數函數的圖象和性質受底數a的影響，解決與指數、對數函數特別是與單調性有關的問題時，首先要看底數a的范圍2研究對數函數的性質，應注意真數與底數的限制條件如求f(x)ln(x23x2)的單調區(qū)間，只考慮tx23x2與函數yln t的單調性，忽視t>0的限制條件【訓練3】(1) (2018德州一模)函數的圖象大致為（）ABCD(2)(2017成都沖刺)設函數f(x)則滿足f(f(t)2f(t)的t的取值范圍是_解析(1)令,解得,該函數有三個零點,故排除B；當時,當時,排除C、D故選A (2)若f(t)1，顯然成立，則有或解得t若f(t)<1，由f(f(t)2f(t)，可知f(t)1，所以t1，得t3綜上，實數t的取值范圍是答案(1) A(2)熱點四函數的零點與方程【例4】(1) (2018屯溪一中)已知是函數的一個零點，若，則（）ABCD(2)(2017歷城沖刺)已知函數f(x)lnx3，若函數yf(x)f(kx2)有兩個零點，則實數k的取值范圍是()ABCD解析(1)因為，所以在和上單調遞增,由題知，函數在上單調遞增，若，所以，故選C. (2)因為f(x)lnx3在區(qū)間(1，1)上單增，且是奇函數；令yf(x)f(kx2)0，則f(x)f(kx2)f(x2k)，由函數yf(x)f(kx2)有兩個零點，等價于方程x2xk0在區(qū)間(1，1)上有兩個根，令g(x)x2xk，則滿足解得<k<0答案(1)C(2)B探究提高1函數零點(即方程的根)的確定問題，常見的類型有：(1)函數零點值大致存在區(qū)間的確定；(2)零點個數的確定；(3)兩函數圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定2判斷函數零點個數的主要方法：(1)解方程f(x)0，直接求零點；(2)利用零點存在定理；(3)數形結合法：對于給定的函數不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉化為兩個能畫出的函數圖象交點問題【訓練4】(2017石家莊調研)已知函數f(x)sinx(x<0)與g(x)logax(0<a<1，x>0)的圖象有且只有3對關于y軸對稱的點，則實數a的取值范圍是()AB(0，1)CD解析由題意，設函數f(x)圖象上點P(x0，f(x0)(x0<0)關于y軸對稱的點P(x0，f(x0)必在函數g(x)的圖象上，即sinx0loga(x0)，將問題轉化成y1f(x)sinx(x<0)x與y2g1(x)loga(x)(x<0)的圖象有且僅有3個交點，作出函數圖象如圖所示則即解得<a<所以實數a的取值范圍是答案A1(2018全國卷)函數的圖像大致為（）ABCD2(2018全國I卷)設函數，則滿足的的取值范圍是（）ABCD3(2018全國卷)設，則（）ABCD4(2017全國卷)設x，y，z為正數，且2x3y5z，則()A2x<3y<5zB5z<2x<3yC3y<5z<2xD3y<2x<5z5(2018全國I卷)已知函數，若存在2個零點，則的取值范圍是（）ABCD1(2018甘肅調研)已知函數，若，則（）ABCD2(2018彬州一模)已知函數是奇函數，當時，則的解集是（）ABCD3(2018貴州37校聯考)已知函數有兩個零點，則的取值范圍為（）ABCD4(2017西安調研)若函數(a>0，且a1)，滿足f(1)，則f(x)的單調遞減區(qū)間是（）A(，2B2，)C2，)D(，25已知函數f(x)x22ln x，h(x)x2xa(1)求函數f(x)的極值；(2)設函數k(x)f(x)h(x)，若函數k(x)在1，3上恰有兩個不同零點，求實數a的取值范圍1(2017合肥二模)已知函數f(x)有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（）A1，0)B(1，2C(1，)D(2，)2(2018內江一模)函數的圖象大致是（）ABCD3(2018貴州37校聯考)已知定義在上的偶函數滿足：當時，且的圖像關于原點對稱，則（）ABCD4(2018銀川一中)設函數，.若存在兩個零點，則的取值范圍是_5(2017貴陽質檢)已知函數f(x)ln(x1)(a>0)(1)當a1時，求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若1<x<1時，均有f(x)0成立，求正實數a的取值范圍參考答案1【解題思路】根據函數圖象的特殊點，利用函數的導數研究函數的單調性，由排除法可得結果.【答案】函數過定點，排除，求得函數的導數，由得，得或，此時函數單調遞增，排除，故選D.2【解題思路】首先根據題中所給的函數解析式，將函數圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現若有成立，一定會有，從而求得結果.【答案】將函數的圖像畫出來，觀察圖像可知會有，解得，所以滿足的的取值范圍是，故選D.3【解題思路】求出，得到的范圍，進而可得結果【答案】，,即，又，即，故選B.4【解題思路】把指數式化為對數式求出x，y，z的值，再利用作差比較法比較2x，3y，5z的大小【答案】令t2x3y5z，x，y，z為正數，t>1則x，同理，y，z2x3y>0，2x>3y又2x5z<0，2x<5z，3y<2x<5z故選D5【解題思路】首先根據存在2個零點，得到方程有兩個解，將其轉化為有兩個解，即直線與曲線有兩個交點，根據題中所給的函數解析式，畫出函數的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動，從圖中可以發(fā)現，當時，滿足與曲線有兩個交點，從而求得結果.【答案】畫出函數的圖像，在軸右側的去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發(fā)現當直線過點A時，直線與函數圖像有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數的圖像有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數有兩個零點，此時滿足，即，故選C.1【解題思路】分類討論：當，即時，從而；當時，得，不成立，由此能求出結果【答案】當，即時，解得，則，當，即時，解得，舍去故選C2【解題思路】由題意，根題設條件，分別求得，當和時，的解集，由此可求解不等式的解集，得到答案【答案】由題意，當時，令，即，解得，又由函數是奇函數，函數的圖象關于原點對稱，則當時，令，可得，又由不等式，則滿足或，解得或，即不等式的解集為，故選A3【解題思路】根據零點定義，令，可得，構造函數，求導并令，解得，且根據導數的符號判斷單調性，進而可得在處取得最大值所以可得，進而根據極限值情況可得的取值范圍【答案】令，可化為，令，令，得，當時，；當時，所以，先增后減，即從負無窮增大到，然后遞減到，而函數是時由正無窮遞減到0，然后又逐漸增大，所以，即，所以選B4【解題思路】由f(1)判斷a的值，進一步判斷其單調性【答案】由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x)由于y|2x4|在(，2上遞減，在2，)上遞增，所以f(x)在(，2上遞增，在2，)上遞減故選B5【解題思路】(1)定義域求導f(x)0單調區(qū)間極值點；(2)利用極值點和端點值結合函數的單調性約束函數的圖像，使其滿足題意【答案】(1)函數f(x)的定義域為(0，)，令f(x)2x0，得x1當x(0，1)時，f(x)0，當x(1，)時，f(x)0，所以函數f(x)在x1處取得極小值為1，無極大值(2)k(x)f(x)h(x)x2ln xa(x0)，所以k(x)1，令k(x)0，得x2，所以k(x)在1，2)上單調遞減，在(2，3上單調遞增，所以當x2時，函數k(x)取得最小值k(2)22ln 2a因為函數k(x)f(x)h(x)在區(qū)間1，3上恰有兩個不同零點，即有k(x)在1，2)和(2，3內各有一個零點，所以即有解得22ln 2<a32ln 3所以實數a的取值范圍為(22ln 2，32ln 31【解題思路】分別求出每一段上的零點【答案】當x2時，由x24x0，得x0當x>2時，令f(x)log2xa0，得x2a又函數f(x)有兩個不同零點，2a0且2a>2，解得a>1故選C2【解題思路】分析四個圖象的不同，從而判斷函數的性質，利用排除法求解【答案】當時，故排除D；易知在上連續(xù)，故排除B；且，故排除A，故選C3【解題思路】根據偶函數及的圖像關于原點對稱可知，函數的周期；根據周期性及為奇函數，可得的值【答案】由題可知函數的圖像關于直線和點對稱，所以函數的周期為4，則4【解題思路】畫出f(x)的圖像，利用數形結合進行判斷【答案】,若存在兩個零點，即,和有兩個不同的交點即可，其中一個臨界是過點代入得到,且能取到，另一個臨界是過點，代入得到，故范圍是.故答案為5【解題思路】(1)定義域求導單調區(qū)間；(2)分類討論確定f(x)的最大值【答案】(1)當a1時，f(x)的定義域為(1，1)(1，)，f(x)，當1<x<0或x>3時，f(x)>0；當0<x<1或1<x<3，f(x)<0所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，0)和(3，)；單調遞減區(qū)間為(0，1)和(1，3)(2)f(x)，1<x<1，當a>0時，令f(x)0，得x1，x2若0<a<1，此時0<x1<1，對0<x<x1，有f(x)>0，f(x)>f(0)0，不符合題意若a>1，此時1<x1<0，對x1<x<0，有f(x)<0，f(x)>f(0)0，不符合題意若a1，由(1)知，函數f(x)在x0處取得最大值0，符合題意，綜上實數a的取值范圍為1