第4課時 函數(shù)的奇偶性與周期性1函數(shù)f(x)x(x0)是()A奇函數(shù)，且在(0，3)上是增函數(shù)B奇函數(shù)，且在(0，3)上是減函數(shù)C偶函數(shù)，且在(0，3)上是增函數(shù)D偶函數(shù)，且在(0，3)上是減函數(shù)答案B解析因?yàn)閒(x)x(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)x為奇函數(shù)當(dāng)x1，x2(0，3)(x1<x2)時，f(x1)f(x2)x1(x2)(x1x2).因?yàn)閤1x2<0，x1x2>0，x1x2<9，所以(x1x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在(0，3)上是減函數(shù)，故選B.2(2018黑龍江大慶模擬)下列函數(shù)中，在(0，)上單調(diào)遞減，并且是偶函數(shù)的是()Ayx2Byx3Cyln|x| Dy2x答案C解析A項(xiàng)，yx2是偶函數(shù)，在(0，)上單調(diào)遞增，不合題意；B項(xiàng)，yx3是奇函數(shù)，不合題意；C項(xiàng)，yln|x|是偶函數(shù)，在(0，)上單調(diào)遞減，符合題意；D項(xiàng)，y2x不是偶函數(shù)，不合題意故選C.3若函數(shù)f(x)ax2bx8(a0)是偶函數(shù)，則g(x)2ax3bx29x是()A奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)答案A解析由于f(x)ax2bx8(a0)是偶函數(shù)，所以b0，所以g(x)2ax39x(a0)，所以g(x)2a(x)39(x)(2ax39x)g(x)，所以g(x)2ax39x是奇函數(shù)故選A.4(2015陜西)設(shè)f(x)xsinx，則f(x)()A既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C是有零點(diǎn)的減函數(shù)D是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù)答案B解析易得f(x)是奇函數(shù)，由f(x)1cosx0恒成立，可知f(x)是增函數(shù)，故選B.5函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，又是以2為周期的周期函數(shù)，若f(x)在1，0上是減函數(shù)，則f(x)在2，3上是()A增函數(shù) B減函數(shù)C先增后減的函數(shù) D先減后增的函數(shù)答案A6(2018山東臨沭一中月考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的滿足f(x)f(x)，f(3x)f(x)，則f(2 019)()A3 B0C1 D3答案B解析用x換x，可將f(x3)f(x)f(x)，T6，f(2 019)f(33663)f(3)f(3x)f(x)，f(3)f(0)0.7(2017課標(biāo)全國)函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若f(1)1，則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是()A2，2 B1，1C0，4 D1，3答案D解析f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)1.于是1f(x2)1等價于f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)上單調(diào)遞減，1x21，1x3.故選D.8若定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足對任意的xR，都有f(x2)f(x)成立，且f(1)8，則f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)的大小關(guān)系是()Af(2 015)<f(2 016)<f(2 017)Bf(2 015)>f(2 016)>f(2 017)Cf(2 016)>f(2 015)>f(2 017)Df(2 016)<f(2 017)<f(2 015)答案A解析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f(x)滿足對任意的xR，都有f(x2)f(x)成立，所以f(x4)f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為4，且f(0)0，f(2)f(0)0，f(3)f(1)8，所以f(2 015)f(45033)f(3)8，f(2 016)f(4504)f(0)0，f(2 017)f(45041)f(1)8，即f(2 015)<f(2 016)<f(2 017)9已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：yf(x1)的圖像關(guān)于(1，0)點(diǎn)對稱，且當(dāng)x0時恒有f(x)f(x)，當(dāng)x0，2)時，f(x)ex1，則f(2 016)f(2 015)等于()A1e Be1C1e De1答案A解析yf(x1)的圖像關(guān)于(1，0)點(diǎn)對稱，則f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱當(dāng)x0時恒有f(x)f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為2.所以f(2 016)f(2 015)f(0)f(1)1e.故選A.10設(shè)函數(shù)yf(x)(xR)為偶函數(shù)，且xR，滿足f(x)f(x)，當(dāng)x2，3時，f(x)x，則當(dāng)x2，0時，f(x)等于()A|x4| B|2x|C2|x1| D3|x1|答案D解析因?yàn)閤R，滿足f(x)f(x)，所以xR，滿足f(x)f(x)，即f(x)f(x2)若x0，1時，則x22，3，f(x)f(x2)x2，若x1，0，則x0，1因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)(xR)為偶函數(shù)，所以f(x)x2f(x)，即f(x)x2.若x2，1，則x20，1，則f(x)f(x2)x22x4.綜上f(x)故選D.11(2018安徽合肥一模)已知函數(shù)f(x)(x22x)sin(x1)x1在1，3上的最大值為M，最小值為m，則Mm()A4 B2C1 D0答案A解析設(shè)tx1，則f(x)(x22x)sin(x1)x1(t21)sintt2，t2，2記g(t)(t21)sintt2，則函數(shù)yg(t)2(t21)sintt是奇函數(shù)由已知得yg(t)2的最大值為M2，最小值為m2，所以M2(m2)0，即Mm4.故選A.12如果函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，那么f(x)_答案2x3解析令x<0，所以x>0，g(x)2x3.因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，所以g(x)g(x)2x3，所以f(x)2x3.13已知yf(x)x2是奇函數(shù)，且f(1)1.若g(x)f(x)2，則g(1)_答案1解析令H(x)f(x)x2，則H(1)H(1)f(1)1f(1)10，f(1)3，g(1)f(1)21.14已知函數(shù)f(x)x3x，對任意的m2，2，f(mx2)f(x)<0恒成立，則x的取值范圍為_答案(2，)解析易知原函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故f(mx2)f(x)<0f(mx2)<f(x)f(x)，此時應(yīng)有mx2<xmxx2<0對所有m2，2恒成立令g(m)xmx2，此時只需即可，解得2<x<.15設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，且f(1)0，則不等式xf(x)f(x)<0的解集為_答案x|1<x<0或0<x<1解析f(x)f(x)，不等式xf(x)f(x)<0可化簡為xf(x)<0，又f(1)0，f(1)0，奇函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，從而函數(shù)f(x)的大致圖像如圖所示，則不等式xf(x)f(x)<0的解集為x|1<x<0或0<x<116若f(x)是定義在(1，1)上的奇函數(shù)，且x0，1)時f(x)為增函數(shù)，求不等式f(x)f(x)0的解集答案x|x解析f(x)為奇函數(shù)，且在0，1)上為增函數(shù)，f(x)在(1，0)上也是增函數(shù)f(x)在(1，1)上為增函數(shù)f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)x.不等式f(x)f(x)0的解集為x|x17已知函數(shù)f(x)是(，)上的偶函數(shù)，若對于x0，都有f(x2)f(x)，且當(dāng)x0，2)時，f(x)log2(x1)，求：(1)f(0)與f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2 013)f(2 014)的值答案(1)f(0)0，f(2)0(2)f(3)1(3)1解析(2)f(3)f(12)f(1)log2(11)1.(3)依題意得，x0時，f(x4)f(x2)f(x)，即x0時，f(x)是以4為周期的函數(shù)因此，f(2 013)f(2 014)f(2 013)f(2 014)f(1)f(2)而f(2)f(0)log2(01)0，f(1)log2(11)1，故f(2 013)f(2 014)1.18已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍答案(1)m2(2)(1，3解析(1)設(shè)x<0，則x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x<0時，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖像知所以1<a3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，31(2017浙江寧波十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)x3sinx1(xR)若f(m)2，則f(m)的值為()A3 B0C1 D2答案B解析把f(x)x3sinx1變形為f(x)1x3sinx.令g(x)f(x)1x3sinx，則g(x)為奇函數(shù)，有g(shù)(m)g(m)，所以f(m)1f(m)1，得到f(m)(21)10.2(2017安徽蚌埠質(zhì)檢)函數(shù)yf(x)是R上的奇函數(shù)，滿足f(3x)f(3x)，當(dāng)x(0，3)時，f(x)2x，當(dāng)x(6，3)時，f(x)等于()A2x6 B2x6C2x6 D2x6答案D解析由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，得f(x)f(x)，當(dāng)x(6，3)時，x6(0，3)，由f(3x)f(3x)，得f(x)f(x)f3(3x)f3(3x)f(6x)26x.3x表示不超過x的最大整數(shù)，已知函數(shù)f(x)|x|x，有下列結(jié)論：f(x)的定義域?yàn)镽；f(x)的值域?yàn)?，1；f(x)是偶函數(shù)；f(x)不是周期函數(shù)；f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k，k1)(kN)其中正確的個數(shù)是()A3 B2C1 D0答案A解析顯然正確x2.1時，f(2.1)2.1(3)5.1.錯誤；f(x)圖像關(guān)于y軸不對稱，錯誤；f(x)在x>0上是周期變化，在x<0上不是周期變化，正確；kN，則在(k，k1)(kN)上f(x)xx，因?yàn)楫?dāng)x>0時xx表示x的小數(shù)部分，所以f(x)在(k，k1)(kN)上單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時，f(x)xx，yx是減函數(shù)，yx也是減函數(shù)，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間只有(k，k1)(kN)，正確故正確，故選A.4.設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(2，1上的圖像，則f(2 013)f(2 014)()A3 B2C1 D0答案C解析f(2 013)f(3671)f(0)0，f(2 014)f(36711)f(1)1，所以f(2 013)f(2 014)1.5(2017湖北黃岡調(diào)研)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)0，f(x4)f(x)，且x(2，0)時，f(x)2x，則f(log220)()A1 B.C1 D答案C解析f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)4log216<log220<log2325，f(log220)f(log2204)f(log2)f(log2)f(log2)，2<log2<0，f(log2)2log21，f(log220)1，故選C.6(2015北京，文)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()Ayx2sinx Byx2cosxCy|lnx| Dy2x答案B解析A中函數(shù)為奇函數(shù)，B中函數(shù)為偶函數(shù)，C與D中函數(shù)均為非奇非偶函數(shù)，故選B.7已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意的x1，x2R都有f(x1x2)f(x1)f(x2)5，則下列命題正確的是()Af(x)是奇函數(shù) Bf(x)是偶函數(shù)Cf(x)5是奇函數(shù) Df(x)5是偶函數(shù)答案C解析取x1x20，得f(00)f(0)f(0)5，所以f(0)5，令x1x，x2x，則fx(x)f(x)f(x)5，所以f(0)f(x)f(x)5，所以f(x)5f(x)5，所以函數(shù)f(x)5是奇函數(shù)，故選C.8(2017唐山一中月考)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x1)，當(dāng)x(0，1)時，f(x)2x2，則f(log6)_答案解析f(x1)，f(x)f(x2)f(log6)f(log6)f(log26)f(log262)(2log2622)(2). 9.設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1，1)上，f(x)其中aR.若f()f()，則f(5a)的值是_答案解析由題意可得f()f()a，f()f()|，則a，a，故f(5a)f(3)f(1)1.10定義在(，)上的函數(shù)yf(x)在(，2)上是增函數(shù)，且函數(shù)yf(x2)為偶函數(shù)，則f(1)，f(4)，f(5)的大小關(guān)系是_答案f(5)<f(1)<f(4)解析yf(x2)為偶函數(shù)，yf(x)關(guān)于x2對稱又yf(x)在(，2)上為增函數(shù)，yf(x)在(2，)上為減函數(shù)，而f(1)f(5)，f(5)f(1)f(4)11若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，且f(x)af(x)bg(x)2在(0，)上有最大值8，求f(x)在(，0)上的最小值答案4解析由題意知，當(dāng)x>0時，f(x)8.f(x)，g(x)都是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，x>0.F(x)af(x)bg(x)2af(x)bg(x)2af(x)bg(x)248.af(x)bg(x)24.f(x)af(x)bg(x)2在(，0)上有最小值4.