第6講 平行、垂直的綜合問題1.如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G，已知ADE是ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，則下列命題中正確的是()動(dòng)點(diǎn)A在平面ABC上的射影在線段AF上；BC平面ADE；三棱錐AFED的體積有最大值A(chǔ)B.C D解析：選C.中由已知可得平面AFG平面ABC，所以點(diǎn)A在平面ABC上的射影在線段AF上BCDE，根據(jù)線面平行的判定定理可得BC平面ADE.當(dāng)平面ADE平面ABC時(shí)，三棱錐AFED的體積達(dá)到最大，故選C.2如圖所示，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD，則在三棱錐ABCD中，下列結(jié)論正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析：選D.因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，則CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，所以平面ADC平面ABC.3如圖，四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()AACBDBBAC90CCA與平面ABD所成的角為30D四面體ABCD的體積為解析：選B.若A成立可得BDAD，產(chǎn)生矛盾，故A不正確；由題設(shè)知：BAD為等腰Rt，CD平面ABD，得BA平面ACD，于是B正確；由CA與平面ABD所成的角為CAD45知C不正確；VABCDVCABD，D不正確故選B.4在直角梯形ABCD中，AB2，CDCB1，ABC90，平面ABCD外有一點(diǎn)E，平面ADE平面ABCD，AEED1.(1)求證：AEBE；(2)求點(diǎn)C到平面ABE的距離解：(1)證明：在直角梯形ABCD中，BD，AD，又AD，所以AEED.因?yàn)锳B2AD2BD2，所以ADBD，因?yàn)槠矫鍭DE平面ABCD，且交線為AD，ADBD.所以BD平面ADE.因?yàn)锳E平面ADE，所以BDAE.因?yàn)锳EBD，AEED，BDDED，所以AE平面BDE，因?yàn)锽E平面BDE，所以AEBE.(2)如圖，過點(diǎn)E作EMAD，交AD于M.因?yàn)槠矫鍭DE平面ABCD，所以EM平面ABCD.設(shè)點(diǎn)C到平面ABE的距離為h，EM，SABCABBC211，SABEEBAE1.因?yàn)閂EABCVCABE，所以1h，所以h，所以點(diǎn)C到平面ABE的距離為.5(2019太原模擬)如圖，在幾何體ABCDFE中，四邊形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF2BE2，EF3.(1)證明：平面ACF平面BEFD.(2)若cosBAD，求幾何體ABCDFE的體積解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD，因?yàn)锽E平面ABCD，所以BEAC.所以AC平面BEFD.所以平面ACF平面BEFD.(2)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，ABa(a>0)，由(1)得AC平面BEFD，因?yàn)锽E平面ABCD，所以BEBD，因?yàn)镈FBE，所以DFBD，所以BD2EF2(DFBE)28，所以BD2，所以S四邊形BEFD(BEDF)BD3，因?yàn)閏osBAD，所以BD2AB2AD22ABADcosBADa28，所以a，所以O(shè)A2AB2OB23，所以O(shè)A，所以VABCDFE2VABEFDS四邊形BEFDOA2.6(2017高考全國卷)如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)證明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD.若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AEEC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比解：(1)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO.因?yàn)锳DCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.從而AC平面DOB，故ACBD.(2)連接EO.由(1)及題設(shè)知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由題設(shè)知AEC為直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E為BD的中點(diǎn)，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11.1(2019鄭州第二次質(zhì)量檢測)如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AMCDAB1，M為AB的三等分點(diǎn)現(xiàn)將AMD沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，連接AB，AC.(1)在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD平面MPC?(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面MPC的距離解：(1)當(dāng)APAB時(shí)，有AD平面MPC.理由如下：連接BD交MC于點(diǎn)N，連接NP.在梯形MBCD中，DCMB，因?yàn)锳DB中，所以ADPN.因?yàn)锳D平面MPC，PN平面MPC，所以AD平面MPC.(2)因?yàn)槠矫鍭MD平面MBCD，平面AMD平面MBCDDM，平面AMD中AMDM，所以AM平面MBCD.所以VPMBCSMBC21.在MPC中，MPAB，MC，又PC，所以SMPC.所以點(diǎn)B到平面MPC的距離為d.2.如圖所示，已知長方體ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)O1為B1D1的中點(diǎn)(1)求證：AB1平面A1O1D.(2)若ABAA1，在線段BB1上是否存在點(diǎn)E使得A1CAE？若存在，求出；若不存在，說明理由解：(1)證明：如圖所示，連接AD1交A1D于點(diǎn)G，所以G為AD1的中點(diǎn)連接O1G.在AB1D1中，因?yàn)镺1為B1D1的中點(diǎn)，所以O(shè)1GAB1.因?yàn)镺1G平面A1O1D，且AB1平面A1O1D，所以AB1平面A1O1D.(2)若在線段BB1上存在點(diǎn)E使得A1CAE，連接A1B交AE于點(diǎn)M.因?yàn)锽C平面ABB1A1，AE平面ABB1A1，所以BCAE.又因?yàn)锳1CBCC，且A1C，BC平面A1BC，所以AE平面A1BC.因?yàn)锳1B平面A1BC，所以AEA1B.在AMB和ABE中，BAMABM90，BAMBEA90，所以ABMBEA.所以RtABERtA1AB，所以.因?yàn)锳BAA1，所以BEABBB1，即在線段BB1上存在點(diǎn)E使得A1CAE，此時(shí).3(2019福建質(zhì)量檢測)在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形BDEF是矩形(1)求證：AE平面BCF；(2)若ADDE，ADDE1，AB2，BAD60，求三棱錐FAEC的體積解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以ADBC.又AD平面BCF，BC平面BCF，所以AD平面BCF，因?yàn)樗倪呅蜝DEF是矩形，所以DEBF.又DE平面BCF，BF平面BCF，所以DE平面BCF.因?yàn)锳DDED，AD平面ADE，DE平面ADE，所以平面ADE平面BCF.因?yàn)锳E平面ADE，所以AE平面BCF.(2)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)連接OE，OF，如圖故VFAECVCAEF2VOAEF2VAOEF.在ABD中，BAD60，AD1，AB2，由余弦定理得，BD2AB2AD22ABADcosBAD，所以BD，所以AB2AD2BD2，所以ADBD.又DEAD，BDDED，BD平面BDEF，DE平面BDEF，所以AD平面BDEF，故AD的長為點(diǎn)A到平面BDEF的距離因?yàn)镈E1，所以SOEFS四邊形BDEFBDDE，所以VAOEFSOEFAD，故VFAEC2VAOEF，即三棱錐FAEC的體積為.