第3章 三角函數(shù)、解三角形 第7講A組基礎(chǔ)關(guān)1如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10 B北偏西10C南偏東80 D南偏西80答案D解析由題意可知ACD40，DCB60.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，CACB，CABCBA.ACD40，DCB60，CABCBA(1804060)40.BCD60，CDB90，CBD906030，DBA403010.故燈塔A在燈塔B南偏西80.2如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測(cè)量方案：測(cè)量A，C，b；測(cè)量a，b，C；測(cè)量A，B，a.則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號(hào)為()A B C D答案D解析知兩角一邊可用正弦定理解三角形，故方案可以確定A，B間的距離，知兩邊及其夾角可用余弦定理解三角形，故方案可以確定A，B間的距離3(2019東北三校聯(lián)考)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a km C2a km D.a km答案D解析由圖可知ACB1802040120，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACBa2a22a23a2.所以ABa，即燈塔A與燈塔B的距離為a km.4如圖所示，一座建筑物AB的高為(3010) m，在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD.在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15和60，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30，則通信塔CD的高為()A30 m B60 mC30 m D40 m答案B解析在RtABM中，AM20(m)過(guò)點(diǎn)A作ANCD于點(diǎn)N，如圖所示易知MANAMB15，所以MAC301545.又AMC1801560105，所以ACM30.在AMC中，由正弦定理得，解得MC40(m)在RtCMD中，CD40sin6060(m)，故通信塔CD的高為60 m.5如圖，據(jù)氣象部門(mén)預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45方向600 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450 km以內(nèi)(含450 km)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為()A10 h B15 h C10 h D20 h答案B解析記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點(diǎn)位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，根據(jù)余弦定理得OB26002400t2260020t，令OB24502，即4t2120t15750，解得t，所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為15.6如圖所示，一艘海輪從A處出發(fā)，測(cè)得燈塔在海輪的北偏東15方向，與海輪相距20 n mile的B處，海輪按北偏西60的方向航行了30 min后到達(dá)C處，又測(cè)得燈塔在海輪的北偏東75的方向上，則海輪的速度為_(kāi) n mile/min.()A. B. C3 D10答案A解析由已知得ACB45，B60，由正弦定理得，所以AC10，所以海輪航行的速度為(n mile/min)7如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得BCD15，BDC30，CD30，并在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為60，則塔高AB等于()A5 B15 C5 D15答案D解析在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.8(2018惠州調(diào)研)如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角，在山坡的A處測(cè)得DAC15，沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處，又測(cè)得DBC45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos_.答案1解析由DAC15，DBC45，可得DBA135，ADB30.在ABD中，根據(jù)正弦定理可得，即，所以BD100sin15100sin(4530)25()在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBCD1.所以coscos(BCD90)sinBCD1.B組能力關(guān)1如圖所示，為了了解某海域海底構(gòu)造，在海平面上取一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知AB50 m，BC120 m，于A處測(cè)得水深A(yù)D80 m，于B處測(cè)得水深BE200 m，于C處測(cè)得水深CF110 m，則DEF的余弦值為()A. B. C. D.答案A解析如圖所示，作DMAC交BE于N，交CF于M，則DF10(m)，DE130(m)，EF150(m)在DEF中，由余弦定理，得cosDEF.2為測(cè)出所住小區(qū)的面積，某人進(jìn)行了一些測(cè)量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所示，則小區(qū)的面積是()A. km2B. km2C. km2D. km2答案D解析連接AC，根據(jù)余弦定理可得AC km，故ABC為直角三角形，且ACB90，BAC30，故ADC為等腰三角形，設(shè)ADDCx km，根據(jù)余弦定理得x2x2x23，即x23(2)，所以所求的面積為13(2)(km2)3(2018湖北武漢模擬)A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間為_(kāi)小時(shí)答案1解析由題意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB45，所以ADB105.在DAB中，由正弦定理得，所以DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20海里，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900，所以CD30海里，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間t1(小時(shí))