第2講綜合大題部分1已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，焦距為2，長軸的長為4.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設過點F1的直線l與橢圓C交于E，D兩點，試問：在x軸上是否存在定點M，使得直線ME，MD的斜率之積為定值？若存在，求出該定值及定點M的坐標；若不存在，請說明理由解析：(1)因為橢圓C的焦距為2，長軸的長為4，所以2c2,2a4，解得c1，a2，所以b2a2c23，所以橢圓C的標準方程為1.(2)設E(x1，y1)，D(x2，y2)，M(m,0)易知F1(1,0)，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為yk(x1)聯(lián)立方程，得得(4k23)x28k2x4k2120，則x1x2，x1x2.又y1y2k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x21)k2(1)，直線ME，MD的斜率kME，kMD，則kMEkMD.要使直線ME，MD的斜率之積為定值，需3m2120，解得m2.當m2時，kMEkMD；當m2時，kMEkMD.當直線l的斜率不存在時，不妨設E(1，)，D(1，)，此時，當m2時，M(2,0)，kMEkMD；當m2時，M(2,0)，kMEkMD.綜上，在x軸上存在兩個定點M，使得直線ME，MD的斜率之積為定值當定點M的坐標為(2,0)時，直線ME，MD的斜率之積為定值；當定點M的坐標為(2,0)時，直線ME，MD的斜率之積為定值.2(2018高考浙江卷)如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y24x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上(1)設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；(2)若P是半橢圓x21(x<0)上的動點，求 PAB面積的取值范圍解析：(1)證明：設P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2)因為PA，PB的中點在拋物線上，所以y1，y2為方程()24即y22y0y8x0y0的兩個不同的實根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y軸(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面積SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因為x1(x0<0)，所以y4x04x4x044,5，因此，PAB面積的取值范圍是6，3已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，過右焦點F且垂直于x軸的弦長為2.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l：yxm與橢圓C交于M，N兩點，求MFN的面積取最大值時m的值解析：(1)由題意知解得橢圓C的方程為1.(2)聯(lián)立方程得消去y，得3x24mx2m240，16m212(2m24)8m248>0，|m|<.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2，x1x2，|MN|x1x2| .又點F(，0)到直線MN的距離d，SFMN|MN|d|m|(|m|<)令u(m)(6m2)(m)2(|m|<)，則u(m)2(2m3)(m)(m)，令u(m)0，得m或m或m，當<m<時，u(m)>0；當<m<時，u(m)<0；當<m<時，u(m)>0；當<m<時，u(m)<0.又u()，u()32，u(m)max32，當m時，MFN的面積取得最大值，最大值為.4(2018高考北京卷)已知拋物線C：y22px經(jīng)過點P(1,2)，過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設O為原點，求證：為定值解析：(1)因為拋物線y22px過點(1,2)，所以2p4，即p2.故拋物線C的方程為y24x.由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設直線l的方程為ykx1(k0)，由得k2x2(2k4)x10.依題意(2k4)24k21>0，解得k<0或0<k<1.又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(1，2)從而k3.所以直線l的斜率的取值范圍是(，3)(3,0)(0,1)(2)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2.直線PA的方程為y2(x1)令x0，得點M的縱坐標為yM22.同理得點N的縱坐標為yN2.由，得1yM，1yN.所以2.所以為定值