1.1歸納推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解歸納推理的含義.2.能用歸納方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用知識(shí)點(diǎn)歸納推理思考(1)一個(gè)人看見(jiàn)一群烏鴉都是黑的，于是說(shuō)“天下烏鴉一般黑”；(2)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電以上屬于什么推理？答案屬于歸納推理符合歸納推理的定義特征，即由部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理梳理歸納推理的定義及特征定義根據(jù)一類(lèi)事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類(lèi)事物中每一個(gè)事物都有這種屬性，我們將這種推理方式稱(chēng)為歸納推理特征(1)歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理(2)利用歸納推理得出的結(jié)論不一定是正確的1歸納推理得到的結(jié)論可作為定理應(yīng)用()2由個(gè)別到一般的推理為歸納推理()3由歸納推理得出的結(jié)論一定是正確的()類(lèi)型一歸納推理在數(shù)與式中的應(yīng)用例1(1)觀察下列等式：1121，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)(2)已知f(x)，設(shè)f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n>1，且nN)，則f3(x)的表達(dá)式為_(kāi)，猜想fn(x)(nN)的表達(dá)式為_(kāi)考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案(1)(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(2)f3(x)fn(x)解析(1)觀察規(guī)律可知，左邊為n項(xiàng)的積，最小項(xiàng)和最大項(xiàng)依次為(n1)，(nn)，右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n，則第n個(gè)等式為(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(2)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根據(jù)前幾項(xiàng)可以猜想fn(x).引申探究在本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改為“fn(x)f(fn1(x)”，其他條件不變，試猜想fn(x) (nN)的表達(dá)式解f(x)，f1(x).又fn(x)f(fn1(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x).因此，可以猜想fn(x).反思與感悟已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法(1)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；(2)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形成的特征；(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)；(4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論跟蹤訓(xùn)練1已知：1>；1>1；1>；1>2；.根據(jù)以上不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，歸納出一般性結(jié)論考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用解1211,3221,7231,15241，猜想不等式左邊最后一項(xiàng)的分母為2n1，而不等式右端依次分別為，.歸納得一般性結(jié)論：1>(nN)類(lèi)型二歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用例2已知數(shù)列an中，a11，且an1(n1,2,3，)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用解當(dāng)n1時(shí)，a11，當(dāng)n2時(shí)，a2，當(dāng)n3時(shí)，a3，當(dāng)n4時(shí)，a4，歸納得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n1,2,3，)反思與感悟用歸納推理解決數(shù)列問(wèn)題的方法在求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式中，經(jīng)常用到歸納推理得出結(jié)論，在得出具體結(jié)論后，要注意統(tǒng)一形式，以便尋找規(guī)律，然后歸納猜想得出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練2如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，則運(yùn)用歸納推理得到第11行第2個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為()A.B.C.D.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)陣(表)中的應(yīng)用答案B解析由“萊布尼茲調(diào)和三角形”中數(shù)的排列規(guī)律，我們可以推斷：第10行的第一個(gè)數(shù)為，第11行的第一個(gè)數(shù)為，第11行的第2個(gè)數(shù)為.類(lèi)型三歸納推理在圖形中的應(yīng)用例3如圖(1)是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖(2)，圖(3)是由(1)中的小正方體木塊疊放而成的按照這樣的規(guī)律擺放下去，第7個(gè)圖形中，小正方體木塊的總個(gè)數(shù)是_考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案91解析記第n個(gè)圖形中木塊的總數(shù)為an，觀察前三個(gè)圖形中的木塊數(shù)可知，a11，a21(14)156，a315(54)15915，按照題中的規(guī)律放下去，可知，第7個(gè)圖形中小木塊的總個(gè)數(shù)為1592591.反思與感悟歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略跟蹤訓(xùn)練3如圖，在所給的四個(gè)選項(xiàng)中，能使兩組圖呈現(xiàn)一定的規(guī)律性的為()考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案A解析觀察第一組中的三個(gè)圖，可知每一個(gè)黑色方塊都從右向左循環(huán)移動(dòng)，每次向左移動(dòng)一格，由第二組的前兩個(gè)圖，可知整體圖形再次向左移動(dòng)一格，第三個(gè)圖，左邊沒(méi)有格的情況下，應(yīng)從最右邊出現(xiàn)，故選A.1根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)12345697等于()192111293111123941111123495111111234596111111A1111110B1111111C1111112D1111113考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案B解析由數(shù)塔猜測(cè)應(yīng)是各位都是1的七位數(shù)，即1111111.2已知a11，a2，a3，a4，則數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式an等于()A.B.C.D.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用答案C解析a1，a2，a3，a4，則an.3已知x>1，由不等式x>2；x2>3；x3>4；，可以推廣為()Axn>nBxn>n1Cxn>n1Dxn>n考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案B解析不等式左邊是兩項(xiàng)的和，第一項(xiàng)是x，x2，x3，右邊的數(shù)是2,3,4，利用此規(guī)律觀察所給的不等式，都是寫(xiě)成xn>n1的形式，從而歸納出一般性結(jié)論：xn>n1，故選B.4有一串彩旗，代表藍(lán)色，代表黃色兩種彩旗排成一行：，那么在前200個(gè)彩旗中黃旗的個(gè)數(shù)為()A111B89C133D67考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案D解析觀察彩旗排列規(guī)律可知，顏色的交替成周期性變化，周期為9，每9個(gè)旗子中有3個(gè)黃旗，則200922余2，則200個(gè)旗子中黃旗的個(gè)數(shù)為223167.故選D.5按照?qǐng)D1、圖2、圖3的規(guī)律，第10個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案40解析圖1中的點(diǎn)數(shù)為414，圖2中的點(diǎn)數(shù)為824，圖3中的點(diǎn)數(shù)為1234，所以圖10中的點(diǎn)數(shù)為10440.1歸納推理的四個(gè)特點(diǎn)(1)前提：幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包括的范圍(2)結(jié)論：具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)，因此，歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具(3)步驟：先搜集一定的事實(shí)資料，有了個(gè)別性的、特殊性的事實(shí)作為前提，才能進(jìn)行歸納推理，因此歸納推理要在觀察和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行(4)作用：具有創(chuàng)造性的推理，通過(guò)歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論，是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段2歸納推理解決問(wèn)題的思維過(guò)程實(shí)驗(yàn)、觀察分析概括猜測(cè)總結(jié)一、選擇題1觀察下列等式：132332,13233362,13233343102，根據(jù)上述規(guī)律可知，132333435363等于()A192B202C212D222考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案C解析由題意可知，132333435363(123456)2212.2.觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫(huà)上合適的圖形為()A.BC.D考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案A解析觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果3觀察下列式子：1<，1<，1<，根據(jù)以上式子可以猜想：1小于()A.B.C.D.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案C解析觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n1)個(gè)不等式左端有n1項(xiàng)，分子為1，分母依次為12,22,32，(n1)2；右端分母為n1，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第n個(gè)不等式為1<，所以當(dāng)n2018時(shí)不等式為1<.4觀察下列各式：7249,73343,742401，則72019的末兩位數(shù)字為()A01B43C07D49考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案B解析由717,7249,73343,742401，7516807,76117649,77823543，可以看出末兩位數(shù)字呈周期出現(xiàn)，且周期為4，201945043.所以72019的末兩位數(shù)字為43.5用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖所示按照?qǐng)D中所示的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A6n2B8n2C6n2D8n2考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案C解析從可以看出，從圖開(kāi)始每個(gè)圖中的火柴棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)為6n2.6觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A28B76C123D199考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案C解析利用歸納法：ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，規(guī)律為從第三組開(kāi)始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和7記Sk1k2k3knk，當(dāng)k1,2,3，時(shí)，觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，S4n5n4n3n，S5An6n5n4Bn2，可知推測(cè)AB等于()A.B.C.D.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)陣(表)中的應(yīng)用答案D解析觀察發(fā)現(xiàn)各式等號(hào)右邊第一項(xiàng)的系數(shù)為對(duì)應(yīng)項(xiàng)指數(shù)的倒數(shù)，且各項(xiàng)系數(shù)之和為1，故A，B，所以AB.8如圖，已知ABC的周長(zhǎng)為2，連接ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類(lèi)推，第2018個(gè)三角形的周長(zhǎng)為()A.B.C.D.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案D解析第一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為2，第二個(gè)三角形的周長(zhǎng)為1，第三個(gè)三角形的周長(zhǎng)為，第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)為22n，第2018個(gè)三角形的周長(zhǎng)為222018.二、填空題9經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列不等式：<2，<2，<2，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫(xiě)出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)a，b都成立的條件不等式：_.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案已知a，b是正實(shí)數(shù)且ab，若ab20，則<210觀察下列等式：121；12223；1222326；1222324210；照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_(kāi)考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案12223242(1)n1n2(1)n1解析121，1222(12)，122232123，12223242(1234)，12223242(1)n1n2(1)n1(123n)(1)n1.11對(duì)于大于1的自然數(shù)m的n次冪可用奇數(shù)進(jìn)行如圖所示的“分裂”，仿此，記53的“分裂”中的最小數(shù)為a,52的“分裂”中的最大數(shù)是b，則ab_.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案30解析觀察題圖易得a21，b9，ab30.12n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列如表：根據(jù)規(guī)律，從2018到2020，箭頭的方向依次為_(kāi)(填序號(hào))考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案解析箭頭方向呈周期變化，且周期為4,201845042，故填.三、解答題13已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足Sn，求出a1，a2，a3，并推測(cè)通項(xiàng)an.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用解Sn，S1，又S1a1，a1，a11(負(fù)值舍去)又當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，an，anan1，a22，a21，又an>0，a21.同理，a3.a11，a21，a3.利用歸納推理，猜測(cè)：an，nN.四、探究與拓展14給出以下數(shù)對(duì)序列：(1,1)(1,2)，(2,1)(1,3)，(2,2)，(3,1)(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)記第n行的第m個(gè)數(shù)對(duì)為anm(m，nN)，如a43(3,2)，則：(1)a54_；(2)anm_.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)陣(表)中的應(yīng)用答案(1)(4,2)(2)(m，nm1)解析若anm(a，b)，則am，bnm1，a54(4,2)15某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖所示的為她們刺繡的最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成的，小正方形數(shù)越多，刺繡越漂亮現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形(1)求f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；(3)求的值考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用解(1)f(5)41.(2)f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上述規(guī)律，得f(n1)f(n)4n.f(n1)f(n)4n，f(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.(3)當(dāng)n2時(shí)，11.