專題04 平面向量1平面向量的有關(guān)概念問題名稱定義表示方法注意事項向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量或；?；蚱矫嫦蛄渴亲杂上蛄苛阆蛄块L度等于0的向量，方向是任意的記作零向量方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量常用表示非零向量的單位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量與共線可記為與任一向量平行或共線共線向量平行向量又叫共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量的相反向量為2平面向量的線性運算(1)應用平行四邊形法則與三角形法則進行向量的加法運算與減法運算，注意法則應用的區(qū)分，向量共起點時可以使用平行四邊形法則；一個向量的終點在另一個向量的起點時，這兩個向量的加法則可以使用三角形法則，如.(2)共線向量體現(xiàn)了兩個向量在同向或反向的情況下其模的大小的等量關(guān)系，通?？杀硎緸?，其中，為確定的常數(shù).3平面向量基本定理(1)平面向量基本定理反映了如何用平面內(nèi)兩個不共線的向量來唯一線性表示任意向量的原理，數(shù)學表達式為，此處要不共線，要唯一確定.通常把不共線的稱為一組基底.應該明確基底不唯一，只要兩個向量不共線，都可以作為基底去表示平面內(nèi)的任意一個向量.(2)當基底單位正交時（即垂直且模為1），可以建立平面直角坐標系，利用坐標來表示向量，也可以利用向量的起點、終點坐標的確定來表示向量，如若，則.(3)向量的坐標化線性運算：設(shè)，則，；若，則.4平面向量數(shù)量積的運算及其坐標化運算(1)掌握向量數(shù)量積運算的定義，理解其幾何意義：在方向上的投影：.注意根據(jù)向量夾角的變化，其投影可能為負，可能為正，也可能為0.(2)掌握向量的運算法則及相關(guān)性質(zhì)：如；若，則等，并作簡單的應用.(3)掌握向量數(shù)量積的坐標化運算：設(shè)，則；若，則；.5平面向量的應用(1)應用向量考查模的大小或模的取值范圍問題，可以從向量坐標化的角度進行處理，注意對模的使用，同時注意對等式含義的表述，如表示向量的終點在以為圓心，半徑為的圓上等.也可以利用條件中所呈現(xiàn)的幾何意義，結(jié)合向量數(shù)量積公式進行轉(zhuǎn)化.(2)以向量為載體研究三角函數(shù)問題，利用向量數(shù)量積的坐標表示，確立三角函數(shù)關(guān)系式，并利用三角恒等變換化簡為的形式，然后利用整體代換來考查函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等.一、平面向量的概念及線性運算【例1】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是AE的中點，若，則等于Aab BabCab Dab【答案】A【解析】.故選A【名師點睛】（1）對于向量的概念問題：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件，要特別注意零向量的特殊性（2）平面向量的線性運算是高考考查的熱點內(nèi)容，題型以選擇題、填空題為主，難度較小，屬中、低檔題，主要考查向量加法的平行四邊形法則與三角形法則及減法的三角形法則或向量相等，做題時，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素【例2】已知O為內(nèi)一點，且，若B,O,D三點共線，則t的值為A BC D【答案】B【解析】設(shè)線段BC的中點為M，則，因為，所以，則，由B,O,D三點共線，得，解得.故選B【名師點睛】（1）證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線（2）對于三點共線有以下結(jié)論：對于平面上的任一點O，不共線，滿足(x，yR)，則P，A，B共線xy=1.二、平面向量基本定理及坐標表示【例3】如圖，在中，為線段上靠近的三等分點，點在上且，則實數(shù)的值為A1 B C D【答案】D【解析】設(shè)，又，解得，選D【名師點睛】應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至關(guān)重要的作用當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的【例4】已知向量，若與共線，則A BC D【答案】B【解析】依題意，得，因為與共線，則，解得，故選B【名師點睛】（1）向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標（2）向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的三、平面向量的數(shù)量積【例5】已知是邊長為的等邊三角形，點在邊上，且，則的值為A B C D【答案】B【解析】是邊長為的等邊三角形，且， ，故選B【名師點睛】兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點不同，應通過移動，使其起點相同，再觀察夾角 【例6】在平面直角坐標系中，已知點，則向量與的夾角的余弦值為A BC D【答案】B【解析】依題意，故的夾角的余弦值為，故選B【名師點睛】兩向量夾角的范圍為0，特別地當兩向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向時，其夾角為.在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時，一定要注意兩向量夾角的范圍四、平面向量的應用【例7】已知非零向量，是一組平行向量，且數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為_.【答案】【解析】非零向量，是一組平行向量，數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)公比為，故數(shù)列的前項和為.【名師點睛】向量的兩個作用：(1)載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學問題；(2)工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題【例8】G是的重心，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若，則角A90 B60C45 D30【答案】D【解析】因為G是的重心，所以有.又，所以abc111，設(shè)c，則有ab1，由余弦定理可得，cosA，所以A30，故選D. 【名師點睛】若點G是的重心，則或(其中P為平面內(nèi)任意一點)反之，若，則點G是的重心1已知向量，則向量在向量上的投影是A2 B1 C1 D2【答案】D【解析】向量在向量上的投影是，選D2已知向量和的夾角為，且，則等于A B C D【答案】D【解析】向量和的夾角為，且，故選D3已知正方形中，點，分別是，的中點，那么A B C D【答案】D【解析】因為點是的中點，所以， 點是的中點，所以， 所以，故選D 4已知向量，且，則實數(shù)A 3 B 1 C 4 D 2【答案】A【解析】,根據(jù)得,解得,故選A5已知向量滿足，若，則的最小值為A BC D【答案】C【解析】因為，所以，所以，又因為所以，所以，故選C.6在中，點是的重心，則的最小值是A BC D【答案】B【解析】設(shè)的中點為，因為點是的重心，所以，再令，則， ，當且僅當時取等號，故選B7已知拋物線的焦點到準線的距離為2，其中，且，（為坐標原點），則A BC D【答案】B【解析】依題意，拋物線，準線方程為，故在拋物線C上.因為，所以，則，故選B8已知向量的夾角為，且，若，點是線段的中點，則_.【答案】【解析】依題意，知，則，則，故.9已知兩個不共線向量的夾角為，M、N分別為線段OA、OB的中點，點C在直線MN上，且，則的最小值為_【答案】【解析】因為三點共線，所以，所以，表示原點與直線上的點的距離的平方，它的最小值為，故填1（2018新課標全國文科）已知向量，滿足，則A4B3C2D0【答案】B【解析】向量，滿足，則.故選B.2（2017新課標全國文科）設(shè)非零向量，滿足，則A BC D【答案】A【解析】由平方得，即，則，故選A.3（2018天津文科）在如圖的平面圖形中，已知,則的值為A B C D0【答案】C【解析】如圖所示，連結(jié)MN，由 可知點M,N分別為線段AB,AC上靠近點A的三等分點，則，由題意可知：，結(jié)合數(shù)量積的運算法則可得：.本題選擇C選項.4（2018北京文科）設(shè)向量a=（1,0），b=（1,m）,若，則m=_.【答案】-1【解析】，ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m)，由得：，即m=-1.5（2018新課標全國文科）已知向量，若，則_【答案】【解析】向量，.，解得.6（2017天津文科）在中，若，且，則的值為_【答案】【解析】由題可得，則