1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解回歸分析的必要性及其一般步驟.2.了解隨機(jī)誤差的概念.3.會(huì)作散點(diǎn)圖，并會(huì)求線性回歸方程.4.利用殘差分析來判斷線性回歸模型的擬合效果.5.掌握建立回歸模型的基本步驟，并通過實(shí)例進(jìn)一步學(xué)習(xí)回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一回歸分析的相關(guān)概念思考1相關(guān)關(guān)系是確定性關(guān)系嗎？函數(shù)關(guān)系呢？答案相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系思考2請(qǐng)問產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有哪些？答案(1)所選用的模型不恰當(dāng)；(2)忽略了某些因素的影響；(3)存在測(cè)量誤差梳理(1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法若兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則稱相應(yīng)的回歸分析為線性回歸分析(2)線性回歸方程為x，且，其中i，i，(，)稱為樣本點(diǎn)的中心，回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心(3)樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)ybxa來描述它們之間的關(guān)系，而是用線性回歸模型ybxae來表示，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差，自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量預(yù)報(bào)變量y的值由解釋變量x和隨機(jī)誤差e共同確定，即解釋變量x只能解釋部分預(yù)報(bào)變量y的變化知識(shí)點(diǎn)二回歸模型的模擬效果思考如何評(píng)價(jià)回歸模型擬合效果的優(yōu)劣？答案計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2的值，R2越接近于1，效果就越好梳理殘差把隨機(jī)誤差的估計(jì)值i稱為相應(yīng)于點(diǎn)(xi，yi)的殘差殘差圖作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或解釋變量的數(shù)值，這樣作出的圖形稱為殘差圖殘差圖法殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高殘差平方和殘差平方和為(yii)2，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好相關(guān)指數(shù)R2R21，R2表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1，表示回歸的效果越好1回歸方程x中的表示當(dāng)x每增加一個(gè)單位時(shí)，的變化量()2R2越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差()3散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系的工具之一()4在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1.()5回歸直線x不一定過點(diǎn)(，)()類型一線性回歸方程的求解例1現(xiàn)有某高新技術(shù)企業(yè)年研發(fā)費(fèi)用投入x(百萬元)與企業(yè)年利潤(rùn)y(百萬元)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，近5年的年科研費(fèi)用和年利潤(rùn)具體數(shù)據(jù)如下表：年科研費(fèi)用x(百萬元)12345企業(yè)所獲利潤(rùn)y(百萬元)23447(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求y對(duì)x的線性回歸方程考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)建立回歸模型的基本步驟解(1)散點(diǎn)圖如下圖所示：(2)由題意可知，3，4，iyi122334445771，122232425255，根據(jù)公式，可求得1.1，41.130.7，故所求線性回歸方程為1.1x0.7.引申探究在例1基礎(chǔ)上，試估計(jì)當(dāng)x10時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)為多少？解依上例得1.1x0.7，將x10代入，得11.7(百萬元)故估計(jì)企業(yè)所獲利潤(rùn)為11.7百萬元反思與感悟(1)求線性回歸方程的基本步驟列出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系計(jì)算：，iyi.代入公式求出x中參數(shù)，的值寫出線性回歸方程并對(duì)實(shí)際問題作出估計(jì)(2)需特別注意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸方程才有實(shí)際意義，否則求出的回歸方程毫無意義跟蹤訓(xùn)練1假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：x23456y2.23.85.56.57.0由此資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系(1)求線性回歸方程；(2)求使用年限為10年時(shí)，該設(shè)備的維修費(fèi)用為多少？考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解(1)由上表中的數(shù)據(jù)可得4，5，90，iyi112.3，1.23，51.2340.08.線性回歸方程為1.23x0.08.(2)當(dāng)x10時(shí)，1.23100.0812.38.即使用年限為10年時(shí)，該設(shè)備的維修費(fèi)用為12.38萬元類型二回歸模型的效果例2某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與運(yùn)動(dòng)員成績(jī)之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下：編號(hào)12345678次數(shù)(x)3033353739444650成績(jī)(y)3034373942464851(1)作出散點(diǎn)圖；(2)求出線性回歸方程；(3)作出殘差圖，并說明模型的擬合效果；(4)計(jì)算R2，并說明其含義考點(diǎn)殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點(diǎn)殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用解(1)該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(jī)(y)之間的散點(diǎn)圖如圖所示(2)可求得39.25，40.875，12656，iyi13180，1.0415，0.003875，線性回歸方程為1.0415x0.003875.(3)作殘差圖如圖所示，由圖可知，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適(4)R210.9855，說明了該運(yùn)動(dòng)員成績(jī)差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的反思與感悟(1)該類題屬于線性回歸問題，解答本題應(yīng)先通過散點(diǎn)圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析(2)刻畫回歸效果的三種方法殘差圖法，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適殘差平方和法：殘差平方和(yii)2越小，模型的擬合效果越好相關(guān)指數(shù)法：R21越接近1，表明回歸的效果越好跟蹤訓(xùn)練2(1)甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量進(jìn)行回歸分析，分別得到散點(diǎn)圖與殘差平方和(yii)2如下表：甲乙丙丁散點(diǎn)圖殘差平方和115106124103則_同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量間關(guān)系的模型的擬合效果最好考點(diǎn)殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點(diǎn)殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用答案丁解析殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，因丁對(duì)應(yīng)的殘差平方和最小，故丁所對(duì)應(yīng)的模型擬合效果最好(2)關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070現(xiàn)有兩個(gè)線性模型：(1)6.5x17.5；(2)7x17.試比較哪一個(gè)擬合效果更好考點(diǎn)殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點(diǎn)殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用解由(1)可得yii與yi的關(guān)系如下表：yii0.53.5106.50.5yi201010020(yii)2(0.5)2(3.5)2102(6.5)20.52155，(yi)2(20)2(10)2102022021000.R110.845.由(2)可得yii與yi的關(guān)系如下表：yii15893yi201010020(yii)2(1)2(5)282(9)2(3)2180，(yi)2(20)2(10)2102022021000.R110.82.由于R0.845，R0.82,0.845>0.82，R>R.(1)的擬合效果好于(2)的擬合效果.1設(shè)回歸方程為73x，當(dāng)變量x增加兩個(gè)單位時(shí)()Ay平均增加3個(gè)單位By平均減少3個(gè)單位Cy平均增加6個(gè)單位Dy平均減少6個(gè)單位考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)回歸直線的概念答案D解析因?yàn)閮蓚€(gè)相關(guān)變量為負(fù)相關(guān)關(guān)系2已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程x必過點(diǎn)()A(2,2) B(1,2)C(1.5,0) D(1.5,4)考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)樣本點(diǎn)中心的性質(zhì)答案D解析過樣本點(diǎn)中心3在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說明殘差平方和()A越大B越小C可能大也可能小D以上均不正確考點(diǎn)殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點(diǎn)殘差及相關(guān)指數(shù)的概念答案B解析因?yàn)镽21，所以當(dāng)R2越大時(shí)，(yii)2越小，即殘差平方和越小，故選B.4某學(xué)生課外活動(dòng)興趣小組對(duì)兩個(gè)相關(guān)變量收集到5組數(shù)據(jù)如表：x1020304050y62758189由最小二乘法求得回歸方程為0.67x54.9，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清，請(qǐng)推斷該點(diǎn)數(shù)據(jù)的值為_考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)樣本點(diǎn)中心的性質(zhì)答案68解析由題意可得(1020304050)30，設(shè)要求的數(shù)據(jù)為t，則有(62t758189)，因?yàn)榛貧w直線0.67x54.9過樣本點(diǎn)的中心(，)，所以0.673054.9，解得t68.5已知方程0.85x82.71是根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，其中x的單位是cm，的單位是kg，那么針對(duì)某個(gè)體(160,53)的殘差是_考點(diǎn)殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點(diǎn)殘差及相關(guān)指數(shù)的運(yùn)算答案0.29解析把x160代入0.85x82.71，可得0.8516082.7153.29，所以殘差y5353.290.29.回歸分析的步驟(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)；(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程x)；(4)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)；(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤或模型是否合適等.一、選擇題1某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個(gè)月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量(單位：萬盒)的數(shù)據(jù)如下表所示：x(月份)12345y(萬盒)55668若x，y線性相關(guān)，線性回歸方程為0.7x，估計(jì)該制藥廠6月份生產(chǎn)甲膠囊產(chǎn)量為()A8.0萬盒B8.1萬盒C8.9萬盒D8.6萬盒考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)樣本點(diǎn)中心的性質(zhì)答案B解析回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心由已知數(shù)據(jù)可得3，6，代入線性回歸方程，可得0.73.9，即線性回歸方程為0.7x3.9.把x6代入，可近似得8.1，故選B.2如圖所示，由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)回歸直線的概念答案C解析圖(1)中的數(shù)據(jù)隨著x的增大y減小，因此變量x與變量y負(fù)相關(guān)；圖(2)中的數(shù)據(jù)隨著u的增大v增大，因此u與v正相關(guān)3已知變量x與y負(fù)相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)求得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程可能是()A.2x9.5B.2x2.4C.0.3x4.4D.0.4x2.3考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程答案A解析因?yàn)樽兞縳與y負(fù)相關(guān)，所以排除B，D，將樣本平均數(shù)3，3.5代入選項(xiàng)驗(yàn)證可知，選項(xiàng)A符合題意4對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，8)，其線性回歸方程是x，若x1x2x3x83，y1y2y3y86，則實(shí)數(shù)的值是()A.B.C.D.考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)樣本點(diǎn)中心的性質(zhì)答案D解析由x1x2x3x83，y1y2y3y86可知樣本點(diǎn)的中心為，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入回歸方程x，得.5若對(duì)某地區(qū)人均工資x(萬元)與該地區(qū)人均消費(fèi)y(萬元)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)得y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為0.7x2.1，若該地區(qū)人均消費(fèi)水平為10.5，則估計(jì)該地區(qū)人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為()A75%B87.5%C70%D10.5%考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案B解析y10.5時(shí)，由0.7x2.1得x12，故得100%87.5%.6甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量的線性相關(guān)試驗(yàn)用回歸分析的方法分別求得相關(guān)系數(shù)r如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則這四位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果能體現(xiàn)出A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是()A甲B乙C丙D丁考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的概念及計(jì)算答案D解析由相關(guān)系數(shù)的意義可知，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，結(jié)合題意可知丁的線性相關(guān)性更強(qiáng)，故選D.7某化工廠為預(yù)測(cè)某產(chǎn)品的回收率y，而要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對(duì)觀測(cè)值，計(jì)算得i52，i228，478，iyi1849，則y與x的線性回歸方程是()A.11.472.62xB.11.472.62xC.2.6211.47xD.11.472.62x考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程答案A解析由題中數(shù)據(jù)得6.5，28.5，2.62，28.52.626.511.47，y與x的線性回歸方程是2.62x11.47，故選A.二、填空題8若一個(gè)樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，則相關(guān)指數(shù)R2為_考點(diǎn)殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點(diǎn)殘差及相關(guān)指數(shù)的運(yùn)算答案0.25解析R210.25.9已知樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i1,2,3，n)在某一條直線上，則相關(guān)系數(shù)r的值為_考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的概念及計(jì)算答案1解析由題意知r1.10關(guān)于隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因分析正確的有_(填序號(hào))用線性回歸模型來近似真實(shí)模型所引起的誤差；忽略某些因素的影響所產(chǎn)生的誤差；對(duì)樣本數(shù)據(jù)觀測(cè)時(shí)產(chǎn)生的誤差；計(jì)算錯(cuò)誤所產(chǎn)生的誤差考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案解析理解線性回歸模型ybxae中隨機(jī)誤差e的含義是解決此問題的關(guān)鍵，隨機(jī)誤差可能由于觀測(cè)工具及技術(shù)產(chǎn)生，也可能因忽略某些因素而產(chǎn)生，也可以是回歸模型產(chǎn)生，但不是計(jì)算錯(cuò)誤故隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因分析正確的是.三、解答題11已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x0123y1357(1)分別計(jì)算：，x1y1x2y2x3y3x4y4，xxxx；(2)已知變量x與y線性相關(guān)，求出回歸方程考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解(1)1.5，4，x1y1x2y2x3y3x4y40113253734，xxxx0212223214.(2)2，421.51，故2x1.12某服裝批發(fā)市場(chǎng)15月份的服裝銷售量x與利潤(rùn)y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：月份12345銷售量x(萬件)36478利潤(rùn)y(萬元)1934264146(1)從這五個(gè)月的利潤(rùn)中任選2個(gè)，分別記為m，n，求事件“m，n均不小于30”的概率；(2)已知銷售量x與利潤(rùn)y大致滿足線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)前4個(gè)月的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)若由線性回歸方程得到的利潤(rùn)的估計(jì)數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的誤差不超過2萬元，則認(rèn)為得到的利潤(rùn)的估計(jì)數(shù)據(jù)是理想的請(qǐng)用表格中第5個(gè)月的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)由(2)中回歸方程所得的第5個(gè)月的利潤(rùn)的估計(jì)數(shù)據(jù)是否理想？參考公式：，.考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)回歸直線的應(yīng)用解(1)所有的基本事件為(19,34)，(19,26)，(19,41)，(19,46)，(34,26)，(34,41)，(34,46)，(26,41)，(26,46)，(41,46)，共10個(gè)記“m，n均不小于30”為事件A，則事件A包含的基本事件為(34,41)，(34,46)，(41,46)，共3個(gè)所以P(A).(2)由前4個(gè)月的數(shù)據(jù)可得，5，30，iyi652，110.所以5.2，305.254，所以線性回歸方程為5.2x4，(3)由題意得，當(dāng)x8時(shí)，45.6，|45.646|0.4<2；所以利用(2)中的回歸方程所得的第5個(gè)月的利潤(rùn)估計(jì)數(shù)據(jù)是理想的13在一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：x1416182022y1210753求出y對(duì)x的線性回歸方程，并說明擬合效果的程度考點(diǎn)殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點(diǎn)殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用解(1416182022)18，(1210753)7.4.1421621822022221 660，iyi14121610187205223620，可得回歸系數(shù)1.15，所以7.41.151828.1，所以線性回歸方程為1.15x28.1.列出殘差表：yii00.30.40.10.2yi4.62.60.42.44.4則(yii)20.3，(yi)253.2.R210.994.所以回歸模型的擬合效果很好四、探究與拓展14某公司的廣告費(fèi)支出x(萬元)與銷售額y(萬元)之間有下表所示的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，由資料顯示y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù)得到回歸方程x中的6.5，x24568y3040605070預(yù)測(cè)銷售額為115萬元時(shí)，約需_萬元廣告費(fèi)考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)回歸直線的應(yīng)用答案15解析因?yàn)?24568)5，(3040605070)50，所以506.55，則17.5，所以當(dāng)y115時(shí)，6.5x11517.5，得x15，即約需廣告費(fèi)為15萬元15某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程x，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線；(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間？考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解(1)散點(diǎn)圖如圖(2)由表中數(shù)據(jù)得iyi52.5，3.5，3.5，54，所以0.7，所以3.50.73.51.05.所以0.7x1.05.回歸直線如圖中所示(3)將x10代入線性回歸方程，得0.7101.058.05，所以預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí)