突破50 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的臨界極值問題由于帶電粒子往往是在有界磁場中運(yùn)動，粒子在磁場中只運(yùn)動一段圓弧就飛出磁場邊界，其軌跡不是完整的圓，因此，此類問題往往要根據(jù)帶電粒子運(yùn)動的軌跡作相關(guān)圖去尋找?guī)缀侮P(guān)系，分析臨界條件，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和相應(yīng)物理規(guī)律分析求解1臨界條件的挖掘(1)剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡與邊界相切。(2)當(dāng)速率v一定時，弧長(或弦長)越長，圓心角越大(前提條件是劣弧)，則帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的時間越長。(3)當(dāng)速率v變化時，軌跡圓心角越大，運(yùn)動時間越長。(4)當(dāng)運(yùn)動軌跡圓半徑大于圓形磁場半徑時，則以磁場直徑的兩端點為入射點和出射點的軌跡對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大。2不同邊界磁場中臨界條件的分析(1)平行邊界：常見的臨界情景和幾何關(guān)系如圖所示。(2)矩形邊界：如圖所示，可能會涉及與邊界相切、相交等臨界問題。(3)三角形邊界：如圖所示是正ABC區(qū)域內(nèi)某正粒子垂直AB方向進(jìn)入磁場的粒子臨界軌跡示意圖。粒子能從AB間射出的臨界軌跡如圖甲所示，粒子能從AC間射出的臨界軌跡如圖乙所示。3. 審題技巧許多臨界問題，題干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語對臨界狀態(tài)給以暗示審題時，一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件【典例1】如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點是cd邊的中點。一個帶正電的粒子僅在磁場力的作用下，從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t0后剛好從c點射出磁場?，F(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，下列說法中正確的是()A若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0，則它一定從cd邊射出磁場B若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0，則它一定從ad邊射出磁場C若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0，則它一定從bc邊射出磁場D若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0，則它一定從ab邊射出磁場【答案】AC【解析】如圖所示，【典例2】放置在坐標(biāo)原點O的粒子源，可以向第二象限內(nèi)放射出質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，帶電粒子的速率均為v，方向均在紙面內(nèi)，如圖8214所示若在某區(qū)域內(nèi)存在垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(垂直紙面向外)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，則這些粒子都能在穿過磁場區(qū)后垂直射到垂直于x軸放置的擋板PQ上，求：(1)擋板PQ的最小長度；(2)磁場區(qū)域的最小面積【答案】(1)(2)【解析】(1)設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的半徑為R，由牛頓第二定律得qvB，即R【跟蹤短訓(xùn)】1. 在xOy平面上以O(shè)為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xOy平面一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，從原點O以初速度v沿y軸正方向開始運(yùn)動，經(jīng)時間t后經(jīng)過x軸上的P點，此時速度與x軸正方向成角，如圖8224所示不計重力的影響，則下列關(guān)系一定成立的是()A若r<，則0<<90 B若r，則tC若t，則r D若r，則t【答案】AD【解析】帶電粒子在磁場中從O點沿y軸正方向開始運(yùn)動，圓心一定在垂直于速度的方向上，即在x軸上，軌道半徑R.當(dāng)r時，P點在磁場內(nèi)，粒子不能射出磁場區(qū)，所以垂直于x軸過P點，最大且為90，運(yùn)動時間為半個周期，即t；當(dāng)r<時，粒子在到達(dá)P點之前射出圓形磁場區(qū)，速度偏轉(zhuǎn)角在大于0、小于180范圍內(nèi)，如圖所示，能過x軸的粒子的速度偏轉(zhuǎn)角>90，所以過x軸時0<<90，A對、B錯；同理，若t，則r，若r，則t等于，C錯、D對2. 如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0.15 T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場分布在半徑為R0.10 m的圓形區(qū)域內(nèi)，圓的左端跟y軸相切于直角坐標(biāo)系原點O，右端跟很大的熒光屏MN相切于x軸上的A點。置于原點的粒子源可沿x軸正方向以不同的速度射出帶正電的粒子流，粒子的重力不計，比荷1.0108 C/kg。(1)請判斷當(dāng)粒子分別以v11.5106 m/s和v20.5106 m/s的速度射入磁場時，能否打到熒光屏上；(2)要使粒子能打在熒光屏上，求粒子的速度v0的大小應(yīng)滿足的條件；(3)若粒子的速度v03.0106 m/s，且以過O點并垂直于紙面的直線為軸，將圓形磁場逆時針緩慢旋轉(zhuǎn)90，求此過程中粒子打在熒光屏上離A的最遠(yuǎn)距離?！敬鸢浮?1)速度為v1時，能速度為v2時，不能 (2)v0>1.5106 m/s(3)0.15 m【解析】 (1)粒子以不同速度射入磁場的軌跡如圖甲所示，同理，當(dāng)粒子的速度為v2時，解得r2R<R，故不能打到屏上。(2)設(shè)當(dāng)v0v3時，粒子恰好打不到熒光屏上，則這時粒子沿圖甲中軌跡從磁場的最高點豎直向上射出磁場。由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場中的軌跡半徑r3R。由洛倫茲力提供向心力，得qv3Bm，解得v31.5106 m/s。由題意可知，當(dāng)v0>1.5106 m/s時，粒子能打到熒光屏上。課后作業(yè)1. 如圖所示，圓形區(qū)域半徑為R，區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，P為磁場邊界上的最低點。大量質(zhì)量為m、電荷量大小為q的帶負(fù)電粒子，以相同的速率從P點射入磁場區(qū)域，速度方向沿位于紙面內(nèi)的各個方向。粒子的軌道半徑為2R，A、C為圓形區(qū)域水平直徑的兩個端點，粒子重力不計，空氣阻力不計，則()A粒子射入磁場的速率為vB粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間為tC不可能有粒子從C點射出磁場D若粒子的速率可以變化，則可能有粒子從A點水平射出【答案】ABD2. 如圖所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B0.60 T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l16 cm處，有一個點狀的放射源S，它向各個方向發(fā)射粒子，粒子的速率都是v3.0106 m/s。已知粒子的電荷量與質(zhì)量之比5.0107 C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域的長度。【答案】 20 cm【解析】粒子從S點垂直磁場以一定大小的速度朝各個方向射入，在磁場中均沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，可求出它們的運(yùn)動軌跡半徑R，由qvBm，得R，代入數(shù)值得R10 cm，可見2R>l>R.由于朝不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過S，可先考查速度沿負(fù)y方向的粒子，其軌跡圓心在x軸上的A1點，將粒子運(yùn)動軌跡的圓心A1點開始，沿著“軌跡圓心圓”逆時針方向移動，如圖所示。 由圖可知，當(dāng)軌跡圓的圓心移至A3 點時，粒子運(yùn)動軌跡與ab相交處P2 到S 的距離為2R，P2 即為粒子打中ab上區(qū)域的右邊最遠(yuǎn)點，由題中幾何關(guān)系得：NP2 .當(dāng)粒子的軌跡的圓心由A3點移至A4點的過程中，粒子運(yùn)動軌跡均會與ab相交，當(dāng)移動A4點后將不再與ab相交了，這說明圓心位于A4點的軌跡圓，與ab相切的P1點為粒子打中區(qū)域的左邊最遠(yuǎn)點?？蛇^A4點作平行于ab的直線cd，再過A4作ab的垂線，它與ab的交點即為P1，同樣由幾何關(guān)系可知：NP1R2-(1-R)2則所求長度為P1P2NP1NP2，代入數(shù)值得P1P220 cm.3. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第四象限有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m5.0108 kg、電量為q1.0106 C的帶電粒子，從靜止開始經(jīng)U010 V的電壓加速后，從P點沿圖示方向進(jìn)入磁場，已知OP30 cm(粒子重力不計，sin 370.6，cos 370.8)，求：(1)粒子到達(dá)P點時速度v的大??；(2)若磁感應(yīng)強(qiáng)度B2.0 T，粒子從x軸上的Q點離開磁場，求OQ的距離；(3)若粒子不能進(jìn)入x軸上方，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B滿足的條件。【答案】：(1)20 m/s(2)0.90 m (3)B>5.33 T(取“”也可)而R0.50 m由幾何關(guān)系知，粒子的軌跡圓心一定在x軸上，粒子到達(dá)Q點時速度方向垂直于x軸，軌跡如圖甲所示。由幾何關(guān)系可知：OQRRcos 37故OQ0.90 m。 (3)若粒子恰好不從x軸射出，如圖乙所示，由幾何關(guān)系得：OP>RRsin 37R聯(lián)立以上兩式并代入數(shù)據(jù)得：B> T5.33 T(取“”也可)。4. 如圖，圖中坐標(biāo)原點O(0,0)處有一帶電粒子源，沿xOy平面向y0、x0的區(qū)域內(nèi)的各個方向發(fā)射粒子。粒子的速率均為v、質(zhì)量均為m、電荷量均為q。有人設(shè)計了方向垂直于xOy平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，使上述所有帶電粒子從該區(qū)域的邊界射出時均能沿y軸負(fù)方向運(yùn)動，不考慮粒子間相互作用，不計粒子重力。求：(1)粒子與x軸相交的坐標(biāo)范圍；(2)粒子與y軸相交的坐標(biāo)范圍；(3)該勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積。