第4講 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1(2019安徽模擬)已知f(x)，則()Af(2)>f(e)>f(3)Bf(3)>f(e)>f(2)Cf(3)>f(2)>f(e) Df(e)>f(3)>f(2)解析：選D.f(x)的定義域是(0，)，f(x)，令f(x)0，得xe.所以當(dāng)x(0，e)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(e，)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故xe時(shí)，f(x)maxf(e)，而f(2)，f(3)，所以f(e)>f(3)>f(2)故選D.2若0<x1<x2<1，則()Aex2ex1>ln x2ln x1 Bex2ex1<ln x2ln x1Cx2 ex1>x1e x2 Dx2ex1<x1ex2解析：選C令f(x)，則f(x).當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，即f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，因?yàn)?<x1<x2<1，所以f(x2)<f(x1)，即<，所以x2ex1>x1 ex2，故選C3(2018高考全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x).(1)求曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)方程；(2)證明：當(dāng)a1時(shí)， f(x)e0.解：(1)f(x)，f(0)2.因此曲線(xiàn)yf(x)在(0，1)處的切線(xiàn)方程是2xy10.(2)證明：當(dāng)a1時(shí)，f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，則g(x)2x1ex1.當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.4(2019石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)ex3x3a(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aR)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)aln ，且x0時(shí)，x3a.解：(1)由f(x)ex3x3a，xR，知f(x)ex3，xR.令f(x)0，得xln 3，于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 3)ln 3(ln 3，)f(x)0f(x)3(1ln 3a)故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 3，單調(diào)遞增區(qū)間是ln 3，)，f(x)在xln 3處取得極小值，極小值為f(ln 3)eln 33ln 33a3(1ln 3a)無(wú)極大值(2)證明：待證不等式等價(jià)于exx23ax1，設(shè)g(x)exx23ax1，x0，于是g(x)ex3x3a，x0.由(1)及aln ln 31知：g(x)的最小值為g(ln 3)3(1ln 3a)0.于是對(duì)任意x0，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)aln ln 31時(shí)，對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0)而g(0)0，從而對(duì)任意x(0，)，g(x)0.即exx23ax1，故x3a.5(2019貴州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)xln xax，aR，函數(shù)f(x)的圖象在x1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x2y10垂直(1)求a的值和函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：ex>f(x)解：(1)由題易知，f(x)ln x1a，x>0，且f(x)的圖象在x1處的切線(xiàn)的斜率k2，所以f(1)ln 11a2，所以a1.所以f(x)ln x2，當(dāng)x>e2時(shí)，f(x)>0，當(dāng)0<x<e2時(shí)，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e2)(2)證明：設(shè)g(x)exf(x)exln x2，x>0，因?yàn)間(x)ex在(0，)上單調(diào)遞增，且g(1)e1>0，g()e2<0，所以g(x)在(，1)上存在唯一的零點(diǎn)t，使得g(t)et0，即et(<t<1)當(dāng)0<x<t時(shí)，g(x)<g(t)0，當(dāng)x>t時(shí)，g(x)>g(t)0，所以g(x)在(0，t)上單調(diào)遞減，在(t，)上單調(diào)遞增，所以x>0時(shí)，g(x)g(t)etln t2ln 2t2220，又<t<1，所以上式等號(hào)取不到，所以g(x)>0，即ex>f(x)6已知函數(shù)f(x)aln x，曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程為y2.(1)求a，b的值；(2)當(dāng)x>0且x1時(shí)，求證：f(x)>.解：(1)函數(shù)f(x)aln x的導(dǎo)數(shù)為f(x)，曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程為y2，可得f(1)2b2，f(1)ab0，解得ab1.(2)證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>，即為ln x1>ln x，即x2ln x>0，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>，即為x2ln x<0，設(shè)g(x)x2ln x，g(x)10，可得g(x)在(0，)上遞增，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>g(1)0，即有f(x)>，當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)<g(1)0，即有f(x)>.綜上可得，當(dāng)x>0且x1時(shí)，f(x)>都成立