第二章 幾個(gè)重要的不等式章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.梳理本章的重點(diǎn)知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).2.進(jìn)一步理解柯西不等式、排序不等式和貝努利不等式，并能夠熟練應(yīng)用.3.理解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，初步形成“歸納猜想證明”的思維模式1柯西不等式定理1：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2.當(dāng)向量(a，b)與向量(c，d)共線時(shí)，等號(hào)成立定理2：設(shè)a1，a2，an與b1，b2，bn是兩組實(shí)數(shù)，則有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.當(dāng)向量(a1，a2，an)與向量(b1，b2，bn)共線時(shí)，等號(hào)成立即時(shí)(規(guī)定ai0時(shí)，bi0)等號(hào)成立推論：設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是兩組實(shí)數(shù)，則有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.當(dāng)向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時(shí)等號(hào)成立2排序不等式定理1：設(shè)a，b和c，d都是實(shí)數(shù)，如果ab，cd，那么acbdadbc.當(dāng)且僅當(dāng)ab(或cd)時(shí)取“”號(hào)定理2：(排序不等式)設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組a1a2an及b1b2bn，則(順序和)a1b1a2b2anbn(亂序和)(逆序和)a1bna2bn1anb1.其中j1，j2，jn是1,2，n的任一排列方式，上式當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an(或b1b2bn)時(shí)取“”號(hào)3貝努利不等式對(duì)任何實(shí)數(shù)x1和任何正整數(shù)n，有(1x)n1nx.4數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法原理是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題步驟：(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n01或2等)時(shí)命題正確(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)(kN，kn0)命題正確，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也正確.類型一利用柯西不等式證明不等式例1已知a，b，c，d為不全相等的正數(shù)，求證：.證明由柯西不等式知，2，于是.等號(hào)成立abcd.又已知a，b，c，d不全相等，則中等號(hào)不成立即.反思與感悟利用柯西不等式證題的技巧(1)柯西不等式的一般形式為(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，biR，i1,2，n)，形式簡(jiǎn)潔、美觀、對(duì)稱性強(qiáng)，靈活地運(yùn)用柯西不等式，可以使一些較為困難的不等式的證明問題迎刃而解(2)利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，運(yùn)用時(shí)要注意體會(huì)跟蹤訓(xùn)練1設(shè)a，b，c為正數(shù)且abc1，求證：222.證明左邊(121212)222(19)2.等號(hào)成立的條件均為abc，原結(jié)論成立類型二利用排序不等式證明不等式例2設(shè)A，B，C表示ABC的三個(gè)內(nèi)角弧度數(shù)，a，b，c表示其對(duì)邊，求證：.證明不妨設(shè)abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.三式相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得.引申探究若本例條件不變，求證：.證明不妨設(shè)abc，于是ABC.由0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)得.反思與感悟利用排序不等式證明不等式的策略(1)在利用排序不等式證明不等式時(shí)，首先考慮構(gòu)造出兩個(gè)合適的有序數(shù)組，并能根據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理選擇(2)根據(jù)排序不等式的特點(diǎn)，與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題，利用排序不等式解決往往很簡(jiǎn)捷跟蹤訓(xùn)練2設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：a10b10c10.證明由a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)abc，于是a12b12c12，.由排序不等式，得.又因?yàn)閍11b11c11，再次由排序不等式，得.由得a10b10c10.等號(hào)成立的條件為abc.類型三歸納猜想證明例3已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an(2)證明當(dāng)n2時(shí)，a252225，公式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)成立，即ak52k2(k2，kN)，當(dāng)nk1時(shí)，由已知條件和假設(shè)，有ak1Ska1a2ak551052k2552k1.故當(dāng)nk1時(shí)公式也成立由可知，對(duì)n2，nN均有an52n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)an反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路：觀察歸納猜想證明即先通過觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn)，進(jìn)行歸納，判斷并猜想出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明跟蹤訓(xùn)練3在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，并猜想an，bn的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想(1)解由條件可得2bnanan1，abnbn1，則a22b1a16，b29；a32b2a212，b316；a42b3a320，b425.猜想ann(n1)，bn(n1)2.(2)證明當(dāng)n1時(shí)，由a12，b14知，結(jié)論正確假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)結(jié)論正確，即akk(k1)，bk(k1)2.則當(dāng)nk1時(shí)，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.即當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論正確由知猜想的結(jié)論正確類型四利用柯西不等式或排序不等式求最值例4(1)求實(shí)數(shù)x，y的值，使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2達(dá)到最小值解由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時(shí)，上式取等號(hào)故x，y.(2)設(shè)a1，a2，a3，a4，a5是互不相等的正整數(shù)，求Ma1的最小值解設(shè)b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一個(gè)排列，且b1b2b3b4b5.因此b11，b22，b33，b44，b55.又1.由排序不等式，得a1b11123451.即M的最小值為.反思與感悟利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧(1)有關(guān)不等式問題往往要涉及對(duì)式子或量的范圍的限定，其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理在這類題目中，利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值時(shí)，要關(guān)注等號(hào)成立的條件，不能忽略跟蹤訓(xùn)練4已知正數(shù)x，y，z滿足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范圍解.故的取值范圍是.1函數(shù)y2的最大值為()A.BC3D3答案D解析y2(1)2()212()2()2339.y3，y的最大值為3.2設(shè)x，y，m，n>0，且1，則uxy的最小值是()A()2B.C.D(mn)2答案A解析根據(jù)柯西不等式，得xy(xy)22，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，這時(shí)u取最小值()2.3設(shè)a1，a2，an都是正數(shù)，b1，b2，bn是a1，a2，an的任一排列，Pababab，Qa1a2an，則P與Q的大小關(guān)系是()APQBP>QCP<QDPQ答案D解析設(shè)a1a2an>0，可知aaa，aaa.由排序不等式，得abababaaaaaa，即abababa1a2an.PQ，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an>0時(shí)等號(hào)成立4用數(shù)學(xué)歸納法證明“n35n能被6整除”的過程中，當(dāng)nk1時(shí)，對(duì)式子(k1)35(k1)應(yīng)變形為_答案k35k3k(k1)6解析(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3k23k6k35k3k(k1)6.5用數(shù)學(xué)歸納法證明1234n2(nN)，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上_答案(k21)(k1)2解析當(dāng)nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k1)2，所以增加了(k21)(k1)2.1對(duì)于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義，從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以寫成向量形式2參數(shù)配方法是由舊知識(shí)得到的新方法，注意體會(huì)此方法的數(shù)學(xué)思想3對(duì)于排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義：兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最小，注意等號(hào)成立的條件是其中一序列為常數(shù)序列4數(shù)學(xué)歸納法是用來證明和正整數(shù)有關(guān)的命題的，要特別注意歸納奠基和歸納遞推是必不可少的兩個(gè)步驟一、選擇題1已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，則a的最大值是()A1B2C3D4答案B解析(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.5a2(3a)2.解得1a2.驗(yàn)證：當(dāng)a2時(shí)，等號(hào)成立2已知2x3y4z10，則x2y2z2取到最小值時(shí)的x，y，z的值為()A.，B.，C1，D1，答案B解析由柯西不等式，得(223242)(x2y2z2)(2x3y4z)2，即x2y2z2.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，聯(lián)立可得x，y，z.3已知x，yR，且xy1，則的最小值為()A4B2C1D.答案A解析22224.4已知a，b，x1，x2R，ab1，x1x22，則M(ax1bx2)(bx1ax2)與4的大小關(guān)系是()AM4BM4CM4DM4答案C解析M(ax1bx2)(bx1ax2)()2()2()2()2(x1x2)2(x1x2)24.5用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式成立時(shí)，當(dāng)n2時(shí)驗(yàn)證的不等式是()A1B.C.D以上都不對(duì)答案A解析當(dāng)n2時(shí)，2n13,2n15，1.6用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1(nN)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7B8C9D10答案B解析左邊12，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.二、填空題7設(shè)f(n)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)3，在假設(shè)當(dāng)nk時(shí)成立后，f(k1)與f(k)的關(guān)系是f(k1)f(k)_.答案解析f(k)，f(k1)，f(k1)f(k).8設(shè)數(shù)列an滿足a12，an12an2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an42n12的第二步中，設(shè)當(dāng)nk時(shí)結(jié)論成立，即ak42k12，那么當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)證明等式_成立答案ak142(k1)129設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n4時(shí)，f(n)_(用含n的式子表示)答案5(n2)(n1)解析f(3)2，f(4)5，f(5)9，f(6)14，每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來直線的條數(shù)f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(6)f(5)5，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(3)34(n1)(n3)f(n)(n2)(n1)10如圖，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，則陰影部分的矩形面積之和_空白部分的矩形面積之和答案解析由題圖可知，陰影部分的面積等于a1b1a2b2，而空白部分的面積等于a1b2a2b1，根據(jù)順序和逆序和可知，答案為.三、解答題11已知f(n)(2n7)3n9(nN)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被36整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)(27)3936，能被36整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，f(k)(2k7)3k9能被36整除，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)2(k1)73k19(2k7)3k123k19(2k7)3k323k193(2k7)3k92723k193(2k7)3k918(3k11)由于3k11是2的倍數(shù)，故18(3k11)能被36整除，即當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)也能被36整除根據(jù)(1)和(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有f(n)(2n7)3n9能被36整除12設(shè)x1，x2，xnR，且x1x2xn1.求證：.證明(n1)(1x11x21xn)2(x1x2xn)21，.13已知a，b，c為正數(shù)，求證：abc.證明考慮到正數(shù)a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)abc>0，則，bccaab，由排序不等式知，順序和亂序和，即abc.a，b，c為正數(shù)，兩邊同乘以，得abc.四、探究與拓展14上一個(gè)n層的臺(tái)階，若每次可上一層或兩層，設(shè)所有不同上法的總數(shù)為f(n)，則下列猜想正確的是()Af(n)nBf(n)f(n)f(n2)Cf(n)f(n)f(n2)Df(n)答案D解析當(dāng)n3時(shí)，f(n)分兩類，第一類，從第n1層再上一層，有f(n1)種方法；第二類，從第n2層再一次上兩層，有f(n2)種方法，所以f(n)f(n1)f(n2)，n3.15已知f(n)1(nN)，g(n)2(1)(nN)(1)當(dāng)n1,2,3時(shí)，分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結(jié)論)；(2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解(1)f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(3)g(3)(2)當(dāng)n1時(shí)，f(1)g(1)；當(dāng)n2時(shí)，f(2)g(2)；當(dāng)n3時(shí)，f(3)g(3)猜想：f(n)g(n)(nN)，即12(1)(nN)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，f(1)1，g(1)2(1)，f(1)g(1)，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，不等式成立，即12(1)則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)12(1)22，g(k1)2(1)22，所以只需證明22，即證2(k1)12k32，即證(2k3)24(k2)(k1)，即證4k212k94k212k8，此式顯然成立所以，當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立綜上可知，對(duì)nN，不等式都成立，即12(1)(nN)成立