考點測試61幾何概型高考概覽考綱研讀1了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計概率2了解幾何概型的意義一、基礎(chǔ)小題1在區(qū)間(0，4)上任取一數(shù)x，則<2x1<1的概率是()A B C D答案C解析由題設(shè)可得2<x1<0，即1<x<1，所以d1，D4，則由幾何概型的概率公式可知所求概率P故選C2取一個正方形及其外接圓，隨機(jī)向圓內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落入正方形外的概率為()A B C D答案B解析設(shè)圓的半徑為r，所以正方形的邊長為r，正方形的面積為2r2，圓的面積為r2，所求概率P13要產(chǎn)生3，3上的均勻隨機(jī)數(shù)y，現(xiàn)有0，1上的均勻隨機(jī)數(shù)x，則進(jìn)行平移與伸縮變換為()A3x B3x C6x3 D6x3答案C解析利用伸縮和平移變換進(jìn)行判斷得36x33，故y取6x34在以AOB90為圓心角的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得AOC和BOC都不小于30的概率為()A B C D答案A解析記M“射線OC使得AOC和BOC都不小于30”如圖所示，作射線OD，OE使AOD30，AOE60當(dāng)OC在DOE內(nèi)時，使得AOC和BOC都不小于30，此時的測度為度數(shù)30，所有基本事件的測度為直角的度數(shù)90所以P(M)5一個長方體空屋子，長，寬，高分別為5 m，4 m，3 m，地面三個角上各裝有一個捕蠅器(大小忽略不計)，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率是()A B C D答案D解析屋子的體積為54360 m3，捕蠅器能捕捉到的空間體積為133 m3，故蒼蠅被捕捉的概率是6如圖所示，A是圓上一定點，在圓上其他位置任取一點A，連接AA，得到一條弦，則此弦的長度小于或等于半徑長度的概率為()A B C D答案C解析當(dāng)AA的長度等于半徑長度時，AOA，A點在A點左右都可取得，故由幾何概型的概率計算公式得所求概率P故選C7有四個游戲盤，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，即可中獎，小明希望中獎，則他應(yīng)當(dāng)選擇的游戲盤為()答案A解析A游戲盤的中獎概率為，B游戲盤的中獎概率為，C游戲盤的中獎概率為(其中r為圓的半徑)，D游戲盤的中獎概率為(其中r為圓的半徑)，故A游戲盤的中獎概率最大故選A8向等腰直角三角形ABC(其中ACBC)內(nèi)任意投一點M，則AM小于AC的概率為()A B1 C D答案D解析以A為圓心，AC為半徑畫弧與AB交于點D依題意，滿足條件的概率P故選D9在長為12 cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形的面積大于20 cm2的概率為()A B C D答案B解析不妨設(shè)矩形的長為x cm，則寬為(12x) cm，由x(12x)>20，解得2<x<10，所以該矩形的面積大于20 cm2的概率為故選B10如圖所示，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為_答案018解析由題意知，018S正1，S陰01811過等腰RtABC的直角頂點C在ACB內(nèi)部隨機(jī)作一條射線，設(shè)射線與AB相交于點D，則AD<AC的概率是_答案075解析在AB上取一點E，使AEAC，連接CE(如圖)，則當(dāng)射線CD落在ACE內(nèi)部時，AD<AC易知ACE675，AD<AC的概率P07512利用隨機(jī)模擬方法計算yx2與y4圍成的面積時，利用計算器產(chǎn)生兩組01之間的均勻隨機(jī)數(shù)a1RAND，b1RAND，然后進(jìn)行平移與伸縮變換aa142，bb14，試驗進(jìn)行100次，前98次中落在所求面積區(qū)域內(nèi)的樣本點數(shù)為65，已知最后兩次試驗的隨機(jī)數(shù)a103，b108及a104，b103，那么本次模擬得出的面積約為_答案1072解析由a103，b108，得a08，b32，(08，32)落在yx2與y4圍成的區(qū)域內(nèi)；由a104，b103，得a04，b12，(04，12)落在yx2與y4圍成的區(qū)域內(nèi)，所以本次模擬得出的面積約為161072二、高考小題13(2018全國卷)右圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，ACABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為在整個圖形中隨機(jī)取一點，此點取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3答案A解析不妨取ABAC2，則BC2，所以區(qū)域的面積為SABC2；區(qū)域的面積為2；區(qū)域的面積為(2)2，所以根據(jù)幾何概型的概率公式，易得p1p2故選A14(2017全國卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A B C D答案B解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，S正方形4由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑S白S圓，所以由幾何概型知所求概率P故選B15(2016全國卷)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A B C D答案B解析解法一：7：30的班車小明顯然是坐不到的當(dāng)小明在7：50之后8：00之前到達(dá)，或者8：20之后8：30之前到達(dá)時，他等車的時間將不超過10分鐘，故所求概率為故選B解法二：當(dāng)小明到達(dá)車站的時刻超過8：00，但又不到8：20時，等車時間將超過10分鐘，7：508：30的其他時刻到達(dá)車站時，等車時間將不超過10分鐘，故等車時間不超過10分鐘的概率為1故選B16(2016全國卷)從區(qū)間0，1隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A B C D答案C解析如圖，數(shù)對(xi，yi)(i1，2，n)表示的點落在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi)，則由幾何概型的概率公式可得故選C17(2015湖北高考)在區(qū)間0，1上隨機(jī)取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“xy”的概率，p2為事件“|xy|”的概率，p3為事件“xy”的概率，則()Ap1<p2<p3 Bp2<p3<p1Cp3<p1<p2 Dp3<p2<p1答案B解析依題意知點(x，y)形成的區(qū)域是邊長為1的正方形及其內(nèi)部，其面積為S1而滿足xy的區(qū)域如圖1中的陰影部分，其面積為S11，p1；滿足|xy|的區(qū)域如圖2中的陰影部分，其面積為S21，p2；滿足xy的區(qū)域如圖3中的陰影部分，其面積為S31dxln x1ln 2，p3ln 2p1p3ln 2ln，而e3>16，p1p3>0，即p1>p3而p2p3ln 2ln<0，p2<p3，p1>p3>p218(2017江蘇高考)記函數(shù)f(x)的定義域為D在區(qū)間4，5上隨機(jī)取一個數(shù)x，則xD的概率是_答案解析由6xx20，解得2x3，D2，3如圖，區(qū)間4，5的長度為9，定義域D的長度為5，P三、模擬小題19(2018唐山模擬)右圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積為()A8 B9 C10 D12答案B解析根據(jù)面積之比與點數(shù)之比相等的關(guān)系，得黑色部分的面積S449故選B20(2018鄭州質(zhì)檢三)七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自黑色部分的概率為()ABCD答案C解析設(shè)正方形的邊長為2，則由幾何概型的概率公式，知所求概率為故選C21(2018合肥質(zhì)檢三)如圖所示的圖形是一個正六邊形及其內(nèi)切圓，現(xiàn)采取隨機(jī)模擬的方法估計圓周率的值：隨機(jī)撒一把豆子，若落在正六邊形內(nèi)的豆子個數(shù)為N，落在圓內(nèi)的豆子個數(shù)為M，則估計圓周率的值為()ABCD答案D解析設(shè)圓的半徑為r，則根據(jù)幾何概型的概率公式，可得，故，選D22(2018福建質(zhì)檢)如圖，已知曲線ysin3把邊長為4的正方形OABC分成黑色部分和白色部分若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是()ABCD答案A解析如圖，點D，E在直線y3上，F(xiàn)為y3與曲線ysin3(0x4)的交點將y3代入ysin3得sin0又因為0x4，所以x2由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知ysin3的圖象關(guān)于點F(2，3)對稱，所以陰影部分的面積SS四邊形BCDE4(43)4又因為S正方形OABC4416，所以此點取自黑色部分的概率是故選A23(2018長春質(zhì)檢二)若向區(qū)域(x，y)|0x1，0y1內(nèi)投點，則該點到原點的距離小于1的概率為_答案解析如圖，由題意知區(qū)域的面積為1，在區(qū)域內(nèi)，到原點的距離小于1的區(qū)域為陰影部分，即四分之一個圓，其面積為，所以所求概率為24(2018合肥質(zhì)檢二)小李從網(wǎng)上購買了一件商品，快遞員計劃在下午5：006：00之間送貨上門已知小李下班到家的時間為下午5：306：00快遞員到小李家時，若小李未到家，就將商品存放快遞柜中，則小李需要去快遞柜收取商品的概率等于_答案解析設(shè)快遞員到小李家的時間為5點x分，小李到家的時間為5點y分，則依題意，若需要去快遞柜收取商品，需滿足則可行域所表示的區(qū)域為圖中陰影部分由于隨機(jī)試驗落在矩形方框內(nèi)的任何位置的等可能性，進(jìn)而依據(jù)幾何概型的概率公式，可得小李需要去快遞柜收取商品的概率為一、高考大題本考點在近三年高考中未涉及此題型二、模擬大題1(2018湖北黃岡、黃石等八市聯(lián)考)若張三每天的工作時間在6小時至9小時之間隨機(jī)均勻分布，求張三連續(xù)兩天平均工作時間不少于7小時的概率解設(shè)第一天工作的時間為x小時，第二天工作的時間為y小時，則因為連續(xù)兩天平均工作時間不少于7小時，所以7，即xy14，表示的區(qū)域面積為9，其中滿足xy14的區(qū)域面積為9227，張三連續(xù)兩天平均工作時間不少于7小時的概率是2(2018安徽皖南地區(qū)調(diào)研)某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位停靠的時間(單位：小時)，如果停靠時間不足半小時按半小時計時，超過半小時不足1小時按1小時計時，依此類推，統(tǒng)計結(jié)果如下表：停靠時間253354455 55 6輪船數(shù)量12121720151383(1)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均?？繒r間為a小時，求a的值；(2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位?？縜小時，且在一晝夜的時間段中隨機(jī)到達(dá)，求這兩艘輪船中至少有一艘在停靠該泊位時必須等待的概率解(1)a(25123123517420451551355863)4(2)設(shè)甲船到達(dá)的時間為x，乙船到達(dá)的時間為y，則若這兩艘輪船在?？吭摬次粫r至少有一艘船需要等待，則|yx|<4，符合題意的區(qū)域為陰影部分(不包括x，y軸)，所以所求概率P，則這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r必須等待的概率為3(2018山東臨沂一模)設(shè)f(x)和g(x)都是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù)，若對任意x1，2，都有|f(x)g(x)|8，則稱f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”，設(shè)f(x)ax，g(x)(1)若a1，4，b1，1，4，求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率；(2)若a1，4，b1，4，求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率解(1)設(shè)事件A表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”，則|f(x)g(x)|(x1，2)所有的情況有：x，x，x，4x，4x，4x，共6種且每種情況被取到的可能性相同又當(dāng)a>0，b>0時，ax在上遞減，在上遞增；x和4x在(0，)上遞增，對x1，2可使|f(x)g(x)|8恒成立的有x，x，x，4x，故事件A包含的基本事件有4種，P(A)，故所求概率是(2)設(shè)事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”，a是從區(qū)間1，4中任取的數(shù)，b是從區(qū)間1，4中任取的數(shù)，點(a，b)所在區(qū)域是長為3，寬為3的矩形區(qū)域要使x1，2時，|f(x)g(x)|8恒成立，需f(1)g(1)ab8且f(2)g(2)2a8，事件B表示的點的區(qū)域是如圖所示的陰影部分P(B)，故所求概率是