培優(yōu)點二 函數零點1零點的判斷與證明例1：已知定義在上的函數，求證：存在唯一的零點，且零點屬于【答案】見解析【解析】，在單調遞增，使得因為單調，所以的零點唯一2零點的個數問題例2：已知函數滿足，當，若在區(qū)間內，函數有三個不同零點，則實數的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】，當時，所以，而有三個不同零點與有三個不同交點，如圖所示，可得直線應在圖中兩條虛線之間，所以可解得：3零點的性質例3：已知定義在上的函數滿足：，且，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為（ ）ABCD【答案】C【解析】先做圖觀察實根的特點，在中，通過作圖可發(fā)現在關于中心對稱，由可得是周期為2的周期函數，則在下一個周期中，關于中心對稱，以此類推。從而做出的圖像（此處要注意區(qū)間端點值在何處取到），再看圖像，可視為將的圖像向左平移2個單位后再向上平移2個單位，所以對稱中心移至，剛好與對稱中心重合，如圖所示：可得共有3個交點，其中，與關于中心對稱，所以有。所以4復合函數的零點例4：已知函數，若方程恰有七個不相同的實根，則實數的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】考慮通過圖像變換作出的圖像（如圖），因為最多只能解出2個，若要出七個根，則，所以，解得：對點增分集訓一、選擇題1設，則函數的零點所在的區(qū)間為（ ）ABCD【答案】B【解析】，函數的圖象是連續(xù)的，且為增函數，的零點所在的區(qū)間是2已知是函數的零點，若，則的值滿足（ ）ABCD的符號不確定【答案】C【解析】在上是增函數，若，則3函數的一個零點在區(qū)間內，則實數的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】因為在上是增函數，則由題意得，解得，故選C4若，則函數的兩個零點分別位于區(qū)間（ ）A和內B和內C和內D和內【答案】A【解析】，由函數零點存在性定理可知，在區(qū)間，內分別存在零點，又函數是二次函數，最多有兩個零點因此函數的兩個零點分別位于區(qū)間，內，故選A5設函數是定義在上的奇函數，當時，則的零點個數為（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】因為函數是定義域為的奇函數，所以，即0是函數的一個零點，當時，令，則，分別畫出函數和的圖象，如圖所示，兩函數圖象有一個交點，所以函數有一個零點，根據對稱性知，當時函數也有一個零點綜上所述，的零點個數為36函數的零點個數為（ ）A3B2C7D0【答案】B【解析】方法一：由得或，解得或，因此函數共有2個零點方法二：函數的圖象如圖所示，由圖象知函數共有2個零點7已知函數，則使方程有解的實數的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】當時，即，解得；當時，即，解得，即實數的取值范圍是故選D8若函數在區(qū)間內存在一個零點，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】當時，與軸無交點，不合題意，所以；函數在區(qū)間內是單調函數，所以，即，解得或故選B9已知函數，則使函數有零點的實數的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】函數的零點就是方程的根，畫出的大致圖象（圖略）觀察它與直線的交點，得知當或時，有交點，即函數有零點故選D10已知是奇函數且是上的單調函數，若函數只有一個零點，則實數的值是（ ）ABCD【答案】C【解析】令，則，因為是上的單調函數，所以，只有一個實根，即只有一個實根，則，解得11已知當時，函數的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】在同一直角坐標系中，分別作出函數與的大致圖象分兩種情形：（1）當時，如圖，當時，與的圖象有一個交點，符合題意（2）當時，如圖，要使與的圖象在上只有一個交點，只需，即，解得或（舍去）綜上所述，故選B12已知函數和在的圖像如下，給出下列四個命題：（1）方程有且只有6個根（2）方程有且只有3個根（3）方程有且只有5個根（4）方程有且只有4個根則正確命題的個數是（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】每個方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內層函數能取得的值，從而統(tǒng)計出的總數（1）中可得，進而有2個對應的，有2個，有2個，總計6個，（1）正確；（2）中可得，進而有1個對應的，有3個，總計4個，（2）錯誤；（3）中可得，進而有1個對應的，有3個，有1個，總計5個，（3）正確；（4）中可得：，進而有2個對應的，有2個，共計4個，（4）正確則綜上所述，正確的命題共有3個二、填空題13函數的零點個數為_【答案】2【解析】由，得，作出函數和的圖象，由上圖知兩函數圖象有2個交點，故函數有2個零點14設函數與的圖象的交點為，若，則所在的區(qū)間是_【答案】【解析】令，則，易知為增函數，且，所在的區(qū)間是15函數的零點個數是_【答案】2【解析】當時，令，解得（正根舍去），所以在上有一個零點；當時，恒成立，所以在上是增函數又因為，所以在上有一個零點，綜上，函數的零點個數為216已知函數，若方程恰有4個互異的實數根，則實數的取值范圍是_【答案】【解析】設，在同一直角坐標系中作出，的圖象如圖所示由圖可知有4個互異的實數根等價于與的圖象有4個不同的交點且4個交點的橫坐標都小于1，所以有兩組不同解，消去得有兩個不等實根，所以，即，解得或又由圖象得，或三、解答題17關于的二次方程在區(qū)間上有解，求實數的取值范圍【答案】【解析】顯然不是方程的解，時，方程可變形為，又在上單調遞減，在上單調遞增，在上的取值范圍是，故的取值范圍是18設函數（1）作出函數的圖象；（2）當且時，求的值；（3）若方程有兩個不相等的正根，求的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）2；（3）【解析】（1）如圖所示（2）故在上是減函數，而在上是增函數由且，得且，（3）由函數的圖象可知，當時，方程有兩個不相等的正根