第2講綜合大題部分1. (2018高考全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a17，S315.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解析：(1)設(shè)an的公差為d，由題意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通項(xiàng)公式為ana1(n1)d2n9.(2)由(1)得Snnn28n(n4)216.所以當(dāng)n4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為16.2(2017高考全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通項(xiàng)公式；(2)若T321，求S3.解析：設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.聯(lián)立和解得(舍去)，因此bn的通項(xiàng)公式為bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200，解得q5或q4.當(dāng)q5時(shí)，由得d8，則S321.當(dāng)q4時(shí)，由得d1，則S36.3(2018高考全國(guó)卷)在等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63，求m.解析：(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.4(2018高考天津卷)設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)；bn是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn(nN*)已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整數(shù)n的值解析：(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q(q>0)由b11，b3b22，可得q2q20.因?yàn)閝>0，可得q2，故bn2n1.所以Tn2n1.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得3a113d16，從而a11，d1，故ann，所以Sn.(2)由(1)，有T1T2Tn(21222n)nn2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn可得2n1n2n2n1，整理得n23n40，解得n1(舍去)，或n4.所以，n的值為4.1. 已知首項(xiàng)為2的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn13Sn2Sn1(n2，nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)因?yàn)镾n13Sn2Sn1(n2)，所以Sn1Sn2Sn2Sn1(n2)，即an12an(n2)，所以an12n1，則an2n，當(dāng)n1時(shí)，也滿足，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)因?yàn)閎n(n1)()n，所以Tn23()24()3(n1)()n，Tn2()23()34()4n()n(n1)()n1，得Tn2()2()3()n(n1)()n1()1()2()3()n(n1)()n1(n1)()n11()n(n1)()n1.故數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn3.2已知數(shù)列an滿足a14a242a34n1an(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bnbn1的前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1.因?yàn)閍14a242a34n2an14n1an，所以a14a242a34n2an1(n2，nN*)，得4n1an(n2，nN*)，所以an(n2，nN*)由于a1，故an(nN*)(2)由(1)得bn，所以bnbn1()，故Tn()().3已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*，且a23，S525.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn<1.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍23，S525，所以解得所以an2n1.(2)由(1)知，an2n1，所以Snn2.所以bn.所以Tnb1b2b3bn(1)()()1<1.4在數(shù)列an中，a15，an14an3.令bnlog4(an1)，nN*.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求bn的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，若不等式(1)nkbn<2Snn4對(duì)所有的正奇數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解析：(1)因?yàn)閎n1log4(an11)log44(an1)1log4(an1)1bn，所以bn1bn1，所以數(shù)列bn是以b1log441為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以bn1(n1)1n.(2)由(1)知bnn，則Sn，所以(1)nkbn<2Snn4等價(jià)于(1)nkn<n22n4，即(1)nk<n2.因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以原式變形為k>(n)2，則k>(n)2max.令函數(shù)f(x)(x)2，x>0，則f(x)，所以當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)<0，即f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，由f(1)7<f(3)，得f(n)max(n為正奇數(shù))，所以k>，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(，)