第2講空間中位置關(guān)系的判斷與證明1以幾何體為載體考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷，主要以選擇、填空題的形式，題目難度較??；2以解答題的形式考查空間平行、垂直的證明，并常與幾何體的表面積、體積相滲透1直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a，b，aba(2)線面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b(4)面面平行的性質(zhì)定理：，a，bab2直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a，bab(3)面面垂直的判定定理：a，a(4)面面垂直的性質(zhì)定理：，l，a，ala熱點(diǎn)一空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定【例1】(2018保定期末)已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是（ ）A，B，C，D，解析由a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，在A中，則a與b相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；在B中，則a與b相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；在C中，由，則，又，由線面垂直的性質(zhì)可知，故C正確；在D中，則a與b相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤答案C探究提高判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的方法：(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷(2)借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定(3)借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時(shí)，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷【訓(xùn)練1】(2017廣東省際名校聯(lián)考)已知，為平面，a，b，c為直線，下列命題正確的是()Aa，若ba，則bB，c，bc，則bCab，bc，則acDabA，a，b，a，b，則解析選項(xiàng)A中，b或b，不正確B中b與可能斜交，B錯(cuò)誤C中ac，a與c異面，或a與c相交，C錯(cuò)誤利用面面平行的判定定理，易知D正確答案D熱點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系的證明【例2】(2018聊城一中)如圖，在四棱錐中，平面PCD平面ABCD，（1）求證：平面PAD平面PBC；（2）求直線PB與平面PAD所成的角；（3）在棱PC上是否存在一點(diǎn)E使得直線平面PAD，若存在求PE的長(zhǎng)，并證明你的結(jié)論證明(1)因?yàn)椋?四邊形為直角梯形,，又，滿足，又，又，平面PAD平面PBC. (2)取CD的中點(diǎn)H，連接BH,PH,作于G，如圖，在四邊形ABCD中，所以為正方形，所以；因?yàn)槠矫鍼CD平面ABCD，平面PCD平面ABCD=CD，所以平面；所以，.因?yàn)椋?；在直角三角形中，所以，又，所以平面，所以到平面的距離等于；設(shè)直線PB與平面PAD所成的角為，則，即直線PB與平面PAD所成的角為，(3)存在為中點(diǎn)，即滿足條件,證明如下：取中點(diǎn)，連接.如圖，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以且，所以且，即為平行四邊形，所以;因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，此時(shí)探究提高垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直【訓(xùn)練2】(2017成都診斷)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，BD與EF交于點(diǎn)H，點(diǎn)G，R分別在線段DH，HB上，且將AED，CFD，BEF分別沿DE，DF，EF折起，使點(diǎn)A，B，C重合于點(diǎn)P，如圖2所示圖1圖2(1)求證：GR平面PEF；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑(1)證明在正方形ABCD中，A，B，C為直角在三棱錐PDEF中，PE，PF，PD兩兩垂直又PEPFP，PD平面PEF，即，在PDH中，RGPDGR平面PEF(2)解正方形ABCD邊長(zhǎng)為4由題意知，PEPF2，PD4，EF2，DF2SPEF2，SDPFSDPE4SDEF26設(shè)三棱錐PDEF內(nèi)切球的半徑為r，則三棱錐的體積為VPDEFPDSPEF(SPEF2SDPFSDEF)r，解得r三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑為1(2017全國(guó)卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()2(2016全國(guó)卷)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：如果mn，m，n，那么如果m，n，那么mn如果，m，那么m如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào))3(2016全國(guó)卷)平面過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()ABCD4(2018全國(guó)I卷)如圖，在平行四邊形中，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且（1）證明：平面平面；（2）為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積1(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線l若直線m，n滿足m，n，則()AmlBmnCnlDmn2(2017全國(guó)卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC3(2018全國(guó)II卷)如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離4(2016全國(guó)卷)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積1(2017梅州質(zhì)檢)已知，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是()A若m，n，則mnB若m，nm，則nC若m，n，則mnD若，n，mn，則m2如圖，在三棱錐DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE3(2017石家莊質(zhì)檢)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，m，則m；若，則其中真命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D34如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)MAB，點(diǎn)NAD，若，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是_5(2017石家莊模擬)在如圖所示的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB(1)求證：AC平面FBC(2)求四面體FBCD的體積(3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA平面FDM？若存在，請(qǐng)說(shuō)明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由6.(2018全國(guó)III卷)如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由參考答案1【解題思路】在平面MNQ中找是否有直線與直線AB平行【答案】法一對(duì)于選項(xiàng)B，如圖(1)所示，連接CD，因?yàn)锳BCD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB平面MNQ因此A項(xiàng)不正確故選A圖(1)圖(2)法二對(duì)于選項(xiàng)A，其中O為BC的中點(diǎn)(如圖(2)所示)，連接OQ，則OQAB，因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn)，即AB與平面MNQ不平行A項(xiàng)不正確故選A2【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建相應(yīng)的模型（可在長(zhǎng)方體中構(gòu)建）【答案】當(dāng)mn，m，n時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為故填3【解題思路】利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化m，n所成角【答案】如圖所示，設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1，因?yàn)槠矫鍯B1D1，所以m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面B1D1C平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1m1，故B1D1m因?yàn)槠矫鍭BB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n故m，n所成角即直線B1D1與CD1所成角，在正方體ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為故選A4【解題思路】(1)首先根據(jù)題的條件，可以得到，即，再結(jié)合已知條件BAAD，利用線面垂直的判定定理證得AB平面ACD，又因?yàn)锳B平面ABC，根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面ACD平面ABC；(2)根據(jù)已知條件，求得相關(guān)的線段的長(zhǎng)度，根據(jù)第一問(wèn)的相關(guān)垂直的條件，求得三棱錐的高，之后借助于三棱錐的體積公式求得三棱錐的體積.【答案】（1）由已知可得，BAAC又BAAD，且，所以AB平面ACD又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=又，所以作QEAC，垂足為E，則由已知及（1）可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE=1因此，三棱錐的體積為1【解題思路】構(gòu)建模型再進(jìn)一步證明【答案】由已知，l，l，又n，nl，C正確故選C2【解題思路】畫(huà)出其圖形，一一驗(yàn)證選項(xiàng)【答案】如圖，由題設(shè)知，A1B1平面BCC1B1，從而A1B1BC1又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1故選C3【解題思路】（1）連接，欲證平面，只需證明，即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，只需論證的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.【答案】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且連結(jié)因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，且，由知，由，知平面?）作，垂足為又由（1）可得，所以平面故的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離由題設(shè)可知，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為4【解題思路】(1)取BP中點(diǎn)，利用中位線；(2) N點(diǎn)到底面的距離是P點(diǎn)到底面的距離的一半【答案】(1)證明由已知得AMAD2如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TNBC，TNBC2又ADBC，故TNAM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB(2)解因?yàn)镻A平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為PA如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE由ABAC3得AEBC，AE由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM42所以四面體NBCM的體積VNBCMSBCM1【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建相應(yīng)的模型（可在長(zhǎng)方體中構(gòu)建）【答案】對(duì)于A，m，n，則mn或m，n異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m，nm，則n或n，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若n，則n或n，又m，mn，故C正確；對(duì)于D，若，n，mn，則m可能與相交，也可能與平行，也可能在內(nèi)，故D錯(cuò)誤故選C2【解題思路】等腰三角形三線合一可得線線垂直關(guān)系【答案】因?yàn)锳BCB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BEAC，同理有DEAC，又BEDEE，于是AC平面BDE因?yàn)锳C平面ABC，所以平面ABC平面BDE又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，所以選C3【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建相應(yīng)的模型（可在長(zhǎng)方體中構(gòu)建）【答案】mn或m，n異面，故錯(cuò)誤；易知正確；m或m，故錯(cuò)誤；或與相交，故錯(cuò)誤故選B4【解題思路】相似比可得平行關(guān)系【答案】由，得MNBD而B(niǎo)D平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC故填平行5【解題思路】(1)底面長(zhǎng)度確定，可用勾股定理證垂直；(2) FC即為棱錐的高；(3)先利用中點(diǎn)找出M，再證明【答案】(1)證明在ABC中，因?yàn)锳C，AB2，BC1，所以AC2BC2AB2，所以ACBC又因?yàn)锳CFB，BCFBB，BC，F(xiàn)B平面FBC，所以AC平面FBC(2)解因?yàn)锳C平面FBC，F(xiàn)C平面FBC，所以ACFC因?yàn)镃DFC，ACCDC，所以FC平面ABCD在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1所以BCD的面積為S所以四面體FBCD的體積為VFBCDSFC(3)解線段AC上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA平面FDM證明如下：連接CE，與DF交于點(diǎn)N，取AC的中點(diǎn)M，連接MN因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形，所以點(diǎn)N為CE的中點(diǎn)所以EAMN因?yàn)镸N平面FDM，EA平面FDM，所以EA平面FDM所以線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC的中點(diǎn)，使得EA平面FDM成立6.【解題思路】（1）先證,再證，進(jìn)而完成證明（2）判斷出為中點(diǎn)，證明，然后進(jìn)行證明即可【答案】（1）由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM因?yàn)镸為CD上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM又BCCM=C，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC（2）當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC平面PBD證明如下：連結(jié)AC交BD于O因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)連結(jié)OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MCOPMC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD