第二章 幾個重要的不等式章末檢測試卷(二)(時間：90分鐘滿分：120分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1已知m2n22，t2s28，則|mtns|的最大值為()A2B4C8D16答案B解析(m2n2)(t2s2)(mtns)2，(mtns)22816，|mtns|4.當(dāng)且僅當(dāng)msnt時，等號成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式12(n2，nN)時，第一步應(yīng)驗證不等式()A12B12C12D12答案A解析第一步驗證n2時不等式成立，即12.3已知a，b，c為正數(shù)，則(abc)的最小值為()A1B.C3D4答案D解析(abc)()2()22224，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號4設(shè)a，b，c為正數(shù)，ab4c1，則2的最大值是()A.B.C2D.答案B解析1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2(121212)(2)2，(2)23，即2，當(dāng)且僅當(dāng)ab4c時等號成立5已知數(shù)列an中，a11，a22，an12anan1(nN)，用數(shù)學(xué)歸納法證明a4n能被4整除，假設(shè)a4k能被4整除，然后應(yīng)該證明()Aa4k1能被4整除Ba4k2能被4整除Ca4k3能被4整除Da4k4能被4整除答案D解析假設(shè)當(dāng)nk時，即a4k能被4整除，然后應(yīng)證明當(dāng)nk1時，即a4(k1)a4k4能被4整除6設(shè)a，b，c均為實數(shù)，則的最大值為()A.B.C.D.答案B解析由(a22b23c2)2，即(a22b23c2)(abc)2，.7用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)”時，從“nk到nk1”時，左邊應(yīng)增加的式子是()A2k1B2k3C2(2k1) D2(2k3)答案C解析當(dāng)nk1時，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)，2(2k1)是從nk到nk1時，左邊應(yīng)增加的式子8若x，y，z是非負(fù)實數(shù)，且9x212y25z29，則函數(shù)u3x6y5z的最大值為()A9B10C14D15答案A解析u2(3x6y5z)21(3x)(2y)(z)212()2()2(9x212y25z2)9981.u9.當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)9用數(shù)學(xué)歸納法證明coscos3cos(2n1)(sin0，nN)，在驗證當(dāng)n1時，等式右邊的式子是_答案cos解析當(dāng)n1時，右邊cos.10仔細(xì)觀察下列不等式：>，>，>，>，則第n個不等式為_答案>(nN)11觀察下列不等式：1>，1>1,1>，1>2，1>，由此猜測第n個不等式為_答案1>(nN)解析1211,3221,7231,15241,31251，歸納第n個式子為1>(nN)12設(shè)nN，f(n)5n23n11，通過計算n1,2,3,4時f(n)的值，可以猜想f(n)能被數(shù)值_整除答案8三、解答題(本大題共6小題，每小題10分，共60分)13求三個實數(shù)x，y，z，使得它們同時滿足下列方程：2x3yz13,4x29y2z22x15y3z82.解將兩個方程相加，得(2x)2(3y3)2(z2)2108，又第一個方程可變形為2x(3y3)(z2)18，由及柯西不等式，得(2x)2(3y3)2(z2)22x(3y3)(z2)2，即108182108，即柯西不等式中的等號成立所以2x3y3z26，故x3，y1，z4.14(2017江蘇)已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2b24，c2d216，證明：acbd8.證明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)，因為a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.15a，b，c都是正數(shù)，求證：an(a2bc)bn(b2ac)cn(c2ab)0(n是任意正數(shù))證明設(shè)abc>0，只需證an2bn2cn2anbcbncacnab.(*)由不等式的性質(zhì)知，an1bn1cn1，又abc，由排序原理，得an2bn2cn2an1bbn1ccn1a.又由不等式單調(diào)性知，abacbc，anbncn.an1bbn1ccn1aanbcbncacnab.由可得不等式(*)成立原不等式成立16用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(n)352n123n1(nN)能被17整除證明(1)當(dāng)n1時，f(1)353243911723，故f(1)能被17整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時，命題成立即f(k)352k123k1能被17整除，則當(dāng)nk1時，f(k1)352k323k452352k15223k15223k123k425f(k)1723k1.由歸納假設(shè)可知，f(k)能被17整除，又1723k1顯然可被17整除，故f(k1)能被17整除綜合(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n，f(n)能被17整除17已知a，bR，nN.求證：n.證明(1)當(dāng)n1時，顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時，不等式成立，即k.要證nk1時，不等式成立，即證k1.在k的兩邊同時乘以，得k1.要證k1，只需證，因為2(ak1bk1)(ab)(akbk)2(ak1bk1)(ak1abkakbbk1)0ak1abkakbbk10(ab)(akbk)0.又ab與(akbk)同正負(fù)(或同時為0)，所以不等式(ab)(akbk)0顯然成立所以當(dāng)nk1時，不等式成立綜合(1)(2)可知，對任何nN，不等式恒成立18是否存在常數(shù)a，b，c，使得等式122232342n(n1)2(an2bnc)對一切正整數(shù)成立？并證明你的結(jié)論解假設(shè)存在a，b，c，使題中等式對一切正整數(shù)成立，則當(dāng)n1,2,3時，上式顯然成立，可得解得a3，b11，c10.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式122232342n(n1)2(3n211n10)對一切正整數(shù)均成立(1)當(dāng)n1時，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時，命題成立，即122232342k(k1)2(3k211k10)，則當(dāng)nk1時，有122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(k2)(3k5)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10即當(dāng)nk1時，等式也成立由(1)(2)可知，對任何正整數(shù)n，等式都成立