專題17 圓錐曲線的綜合應用【自主熱身，歸納總結】1、已知雙曲線y21的左焦點與拋物線y212x的焦點重合，則雙曲線的右準線方程為_【答案】：x【解析】：因為拋物線的焦點為(3，0)，即為雙曲線的左焦點，所以a2918，所以雙曲線的右準線方程為x.2、若雙曲線x2my21過點(，2)，則該雙曲線的虛軸長為_【答案】 4【解析】：將點(，2)代入可得24m1，即m，故雙曲線的標準方程為1，即虛軸長為4. 本題易錯在兩個地方：一是忘記了虛軸的概念；二是沒有把雙曲線方程化成標準式雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b，需要記住雙曲線的幾何性質的研究都需要借助于標準方程才能進行，所以拿到雙曲線方程要先化為標準式3、在平面直角坐標系中，已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為 【答案】【解析】焦點在軸，不妨取焦點坐標為，漸近線方程為，即，所以焦點到漸近線距離為,則所以離線率為.【解題反思】雙曲線的焦點到漸近線的距離為短半軸長，這一點要熟記.4、 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y22px(p>0)的焦點為F，雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別與拋物線交于A，B兩點(A，B異于坐標原點O)若直線AB恰好過點F，則雙曲線的漸近線方程是_【答案】： y2x【解析】：由題意得A，B，雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx，不妨設點A在漸近線yx上，則p，所以2，于是該雙曲線的漸近線方程是y2x.5、若雙曲線的兩條漸近線與拋物線交于三點，且直線經過拋物線的焦點，則該雙曲線的離心率為 解法2 由題意可得A(2，0)，設P(a，a2)，則AP的中點M，AP，故以AP為直徑的圓M的方程為.由題意得圓C與圓M相切(內切和外切)，故，解得a或a5.故點P的橫坐標的取值集合為. 在解決與圓相關的綜合問題時，需要充分利用圓的幾何性質及一些簡單的軌跡方程的知識將問題轉化為直線與圓或圓與圓的問題去處理，另外本題的難點還在于方程的處理【問題探究，變式訓練】 例1、如圖，橢圓的左，右焦點分別為，是橢圓右準線上的兩個動點，且（1）求的最小值；（2）以為直徑的圓是否過定點？請證明你的結論OMNF2F1yx解 （1）設，則，又，當且僅當時，等號成立， 所以的最小值為（2）圓心的坐標為，半徑圓的方程為，整理得：， 令，得，所以圓過定點【變式1】、 如圖，已知圓，直線，圓O與x軸交A，B兩點，M是圓O上異于A，B的任意一點，直線AM交直線l于點P，直線BM交直線l于點Q求證：以PQ為直徑的圓C過定點，并求出定點坐標解 設，則直線方程為，則同理：所以以為直徑的圓的方程是：又，所以令，所以以PQ為直徑的圓C過定點為【變式2】、在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，橢圓上動點P到一個焦點的距離的最小值為3(1)(1) 求橢圓C的標準方程；(2) 已知過點M(0，1)的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由(2) 當直線l的斜率不存在時，以AB為直徑的圓的方程為x2y29；(7分)當直線l的斜率為零時，以AB為直徑的圓的方程為x2(y1)216.(8分)這兩圓僅有唯一公共點，也是橢圓的上頂點D(0，3)猜想以AB為直徑的圓恒過定點D(0，3)(9分)證明如下：證法1(向量法) 設直線l的方程為ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)只要證x1x2(y13)(y23)x1x2(kx14)(kx24)0即可即要證(1k2)x1x24k(x1x2)160.(11分)由消去y，得(12k2)x24kx160，16k264(12k2)>0，此方程總有兩個不等實根x1，x2.x1，2，所以x1x2，x1x2.(14分)所以(1k2)x1x24k(x1x2)16160.所以DADB，所以以AB為直徑的圓恒過定點D(0，3)(16分)證法2(斜率法) 若設DA，DB的斜率分別為k1，k2，只要證k1k21即可設直線l的斜率為，則.由點A在橢圓x22y218上，得x2y18，變形得，即k1.設yA3m(yA3)n(yA1)，可得m，n，得k1.從而k1(3k1)1，即k3k110.同理k3k210，所以k1，k2是關于k的方程k23k10的兩實根由根與系數關系，得k1k21.所以DADB，所以以AB為直徑的圓恒過定點D(0，3)【關聯(lián)1】、如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，左焦點F(2，0)，直線l：yt與橢圓交于A，B兩點，M為橢圓E上異于A，B的點(1) 求橢圓E的方程；(2) 若M(，1)，以AB為直徑的圓P過點M，求圓P的標準方程；(3) 設直線MA，MB與y軸分別相交于點C，D，證明：OCOD為定值 第(2)問要求圓P的方程，就是要求得t的值，為此，由圓P過點M，可得MAMB，可用向量或斜率關系轉化為坐標表示，通過解方程，可得t的值；第(3)問的本質就是求點C，D的縱坐標，由于點C，D隨著點M的變化而變化，因此以點M的坐標為參數，通過設出點M的坐標，進而表示出點C，D的縱坐標，通過計算得OCOD為定值【解析】： (1) 因為e，且c2，所以a2，b2.(2分)所以橢圓方程為1.(4分)(2)設A(s，t)，則B(s，t)，且s22t28.因為以AB為直徑的圓P過點M，所以MAMB，所以0，(5分)又(s，t1)，(s，t1)，所以6s2(t1)20.(6分)由解得t，或t1(舍，因為M(，1)，所以t>0)，所以s2.(7分)又圓P的圓心為AB的中點(0，t)，半徑為|s|，(8分)所以圓P的標準方程為x2.(9分)(3)設M(x0，y0)，則lMA的方程為yy0(xx0)，若k不存在，顯然不符合條件令x0得yC；同理yD，(11分)所以OCOD|yCyD|.(13分)因為s22t28，x2y8，所以4為定值(16分)【關聯(lián)2】、如圖，橢圓的離心率為，焦點到相應準線的距離為1，點，分別為橢圓的左頂點、右頂點和上頂點，過點的直線交橢圓于點，交軸于點，直線與直線交于點（1）求橢圓的標準方程；（2）若，求直線的方程；（3）求證：為定值 （3）設D坐標為(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直線的方程， 聯(lián)立橢圓方程得：解得,. 12 分由，得直線BD的方程：， 直線AC方程為， 聯(lián)立得， 15 分從而=2為定值. 16 分解法2：設D坐標為(x3，y3），由C,M,D三點共線得，所以， 10 分由B,D,N三點共線得，將代入可得， 12 分 和相乘得， . 16 分【關聯(lián)3】、已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且過點P(2，1)(1) 求橢圓C的方程； (1) 在yx3中，令x0，得y3，從而b3.(2分) 由得1.所以x0.(4分) 因為PB1|x0|，所以4，解得a218.所以橢圓的標準方程為1.(6分) (2) 證法1(設點法) 直線PB1的斜率為kPB1，由QB1PB1，所以直線QB1的斜率為kQB1.于是直線QB1的方程為yx3.同理，QB2的方程為yx3.(8分) 聯(lián)立兩直線方程，消去y，得x1.(10分) 因為P(x0，y0)在橢圓1上，所以1，從而y9.所以x1.(12分) 所以2.(14分) 證法2(設線法) 設直線PB1，PB2的斜率分別為k，k，則直線PB1的方程為ykx3.由QB1PB1，直線QB1的方程為yx3.將ykx3代入1，得(2k21)x212kx0.因為P是橢圓上異于點B1，B2的點，所以x00，從而x0.(8分) 因為P(x0，y0)在橢圓1上，所以1，從而y9.所以kk，得k.(10分) 由QB2PB2，所以直線QB2的方程為y2kx3.聯(lián)立則x，即x1.(12分) 所以2.(14分) 本題的第(2)問是圓錐曲線中常見的定值問題，屬于難題探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值此處采用的是方法.【關聯(lián)2】、如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且右焦點F到左準線的距離為6.(1) 求橢圓C的標準方程；(2) 設A為橢圓C的左頂點，P為橢圓C上位于x軸上方的點，直線PA交y軸于點M，過點F作MF的垂線，交y軸于點N.當直線PA的斜率為時，求FMN的外接圓的方程；設直線AN交橢圓C于另一點Q，求APQ的面積的最大值解答 (1) 由題意，得解得則b2，所以橢圓C的標準方程為1.(4分)(2) 由題可設直線PA的方程為yk(x4)，k0，則M(0,4k)，所以直線FN的方程為y(x2)，則N.當直線PA的斜率為，即k時，M(0,2)，N(0，4)，F(xiàn)(2，0)因為MFFN，所以圓心為(0，1)，半徑為3，所以FMN的外接圓的方程為x2(y1)29.(8分)聯(lián)立消去y并整理得，(12k2)x216k2x32k2160，解得x14或x2，所以P，(10分)直線AN的方程為y(x4)，同理可得，Q，所以P，Q關于原點對稱，即PQ過原點所以APQ的面積SOA(yPyQ)28，(14分)當且僅當2k，即k時，取“”所以APQ的面積的最大值為8.(16分)【關聯(lián)3】、如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(2,1)在橢圓C上(1) 求橢圓C的方程；(2) 設直線l與圓O：x2y22相切，與橢圓C相交于P，Q兩點. 若直線l過橢圓C的右焦點F，求OPQ的面積；求證： OPOQ.(2) 解法1 橢圓C的右焦點F(，0)設切線方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切線方程為y(x)當k時，(4分)由方程組解得或所以點P，Q的坐標分別為， ， ， ，所以PQ.(6分)因為O到直線PQ的距離為，所以OPQ的面積為. 因為橢圓的對稱性，當切線方程為y(x)時，OPQ的面積也為.綜上所述，OPQ的面積為.(8分)解法2 橢圓C的右焦點F(，0)設切線方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切線方程為y(x)當k時，(4分)把切線方程 y(x)代入橢圓C的方程，消去y得5x28x60.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有x1x2.由橢圓定義可得，PQPFFQ2ae(x1x2)2.(6分)因為O到直線PQ的距離為，所以OPQ的面積為. 因為橢圓的對稱性，當切線方程為y(x)時，OPQ的面積為.綜上所述，OPQ的面積為.(8分)解法1 (i)若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為x或x.當x時，P (， )，Q(，)因為0，所以OPOQ.當x時，同理可得OPOQ.(10分)(ii)若直線PQ的斜率存在，設直線PQ的方程為ykxm，即kxym0.因為直線與圓相切，所以，即m22k22.將直線PQ方程代入橢圓方程，得(12k2) x24kmx2m260.設P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2.(12分)因為x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)kmm2.將m22k22代入上式可得0，所以OPOQ.綜上所述，OPOQ.(14分)解法2 設切點T(x0，y0)，則其切線方程為x0xy0y20，且xy2.(i)當y00時，則直線PQ的直線方程為x或x.當x時，P (， )，Q(，)因為0，所以OPOQ.當x時，同理可得OPOQ.(10分)(ii)當y00時，由方程組消去y得(2xy)x28x0x86y0.設P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2.(12分)所以x1x2y1y2x1x2.因為xy2，代入上式可得0，所以OPOQ.綜上所述，OPOQ.(14分)用斜截式設直線方程時，不要遺漏斜率不存在的情況！