第三講 柯西不等式與排序不等式 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式滾動(dòng)訓(xùn)練(三)(第三講第四講)一、選擇題1設(shè)a，bR且ab16，則的最小值是()A.B.C.D.答案A解析(ab)24，.當(dāng)且僅當(dāng)，即ab8時(shí)取等號(hào)2若Axxx，Bx1x2x2x3xn1xnxnx1，其中x1，x2，xn都是正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為()AABBABCABDAB答案C解析依數(shù)列xn的各項(xiàng)都是正數(shù)，不妨設(shè)0x1x2xn，則x2，x3，xn，x1為數(shù)列xn的一個(gè)排列依排序原理，得x1x1x2x2xnxnx1x2x2x3xnx1，即xxxx1x2x2x3xnx1.3用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n21(nN)的過程中，在驗(yàn)證n1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()A1B12C1222D122223答案C解析當(dāng)n1時(shí)，左端1222，故選C.4已知x，y，z，a，b，c，k均為正數(shù)，且x2y2z210，a2b2c290，axbycz30，abck(xyz)，則k等于()A.B.C9D3答案D解析因?yàn)閤2y2z210，a2b2c290，axbycz30，所以(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2，又(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2，當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)，等號(hào)成立，則akx，bky，ckz，代入a2b2c290，得k2(x2y2z2)90，于是k3，故選D.5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n2，nN)的過程中，由nk遞推到nk1不等式左邊()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)，C增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)D以上各種情況均不對(duì)答案C解析nk(k2，kN)時(shí)，左邊，nk1時(shí)，左邊，增加了兩項(xiàng)，少了一項(xiàng).6函數(shù)y5的最大值是()A6B2C5D2答案D解析函數(shù)的定義域?yàn)?,3，且y0.由柯西不等式可得y552，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)，函數(shù)取得最大值2，故選D.7若2x3y5z29，則函數(shù)的最大值為()A.B2C2D.答案C解析由柯西不等式可得(111)2(2x13y45z6)(121212)，2x3y5z29，(111)2120，2，的最大值為2.故選C.二、填空題8已知a，b，c都是正數(shù)，且2abc6，則a2abacbc的最大值為_答案9解析a，b，c都是正數(shù)，a2abacbc(ab)(ac)2.2abc6，a2abacbc9，a2abacbc的最大值為9.9已知兩組數(shù)1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一個(gè)排列，則c12c23c3的最大值是_，最小值是_答案220180解析由排序不等式知順序和最大，反序和最小，故所求最大值為125230345220，最小值為145230325180.10已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足2xy3z32，則的最小值為_答案解析12223214，由柯西不等式可得(221232)(x1)2(y2)2z2(2x2y23z)2322，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是.11已知a，b，c都是正數(shù)，a2b3c9，則的最小值為_答案解析(a2b3c)()2()2()221，當(dāng)且僅當(dāng)a3b9c時(shí)取等號(hào)，又a2b3c9，即最小值為.三、解答題12設(shè)函數(shù)y|x1|x2|的最小值為M.(1)求實(shí)數(shù)M的值；(2)若不等式M(其中a0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，所以M3.(2)因?yàn)?)212()2(ax2x)3(a2)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)x2，a時(shí)，取得最大值，所以3.又a0，所以0a1.13已知函數(shù)f(x)|x1|2x2|.(1)求不等式f(x)x1的解集；(2)若f(x)的最大值是m，且a，b，c均為正數(shù)，abcm，求的最小值解(1)由已知可得或或解得0x2.故不等式的解集為0,2(2)f(x)得最大值，mf(1)2，abc2.又(abc)()2()2()2(abc)2，abc2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，故的最小值是2.14已知數(shù)列an和bn，其中an135(2n1)，bn122n1，當(dāng)nN時(shí)，試比較an與bn的大小，并證明你的結(jié)論解由已知得an(n1)(n1)2，bn2n1.當(dāng)n1時(shí)，a14，b11，則a1b1，當(dāng)n2時(shí)，a29，b23，則a2b2，當(dāng)n3時(shí)，a316，b37，則a3b3，當(dāng)n4時(shí)，a425，b415，則a4b4，當(dāng)n5時(shí)，a536，b531，則a5b5當(dāng)n6時(shí)，a649，b663，則a6b6，當(dāng)n7時(shí)，a764，b7127，則a7b7，由此得到，當(dāng)nN，n5時(shí)，anbn.猜想：當(dāng)nN，n6時(shí)，anbn.前一結(jié)論上面已用窮舉法證明，后一猜想用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n6時(shí)，上面已證a6b6.假設(shè)當(dāng)nk(kN，k6)時(shí)，上述結(jié)論成立，即當(dāng)k6時(shí)，(k1)22k1.當(dāng)nk1時(shí)，要證ak1bk1，即證(k2)22k11，只需證(k2)222k1，根據(jù)歸納假設(shè)，22k12(k1)211，所以只需證(k2)22(k1)21，即證k24k42k24k3，即證k21.因?yàn)閗6，所以此式顯然成立故當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立由可知，對(duì)任何nN，n6結(jié)論都成立