培優(yōu)點四 恒成立問題1參變分離法例1：已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是_【答案】【解析】，其中，只需要令，在單調遞減，在單調遞減，2數(shù)形結合法例2：若不等式對于任意的都成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】本題選擇數(shù)形結合，可先作出在的圖像，扮演的角色為對數(shù)的底數(shù)，決定函數(shù)的增減，根據(jù)不等關系可得，觀察圖像進一步可得只需時，即，所以3最值分析法例3：已知函數(shù)，在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍_【答案】【解析】恒成立即不等式恒成立，令，只需即可，令（分析的單調性）當時 在單調遞減，則(思考：為什么以作為分界點討論？因為找到，若要不等式成立，那么一定從處起要增（不一定在上恒增，但起碼存在一小處區(qū)間是增的），所以時導致在處開始單減，那么一定不符合條件由此請體會零點對參數(shù)范圍所起的作用）當時，分是否在中討論（最小值點的選?。┤?，單調性如表所示，（1）可以比較，的大小找到最小的臨界值，再求解，但比較麻煩由于最小值只會在，處取得，所以讓它們均大于0即可（2）由于，并不在中，所以求得的只是臨界值，臨界值等于零也符合條件）若，則在上單調遞增，符合題意，綜上所述：對點增分集訓一、選擇題1已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】若，即有，分別作出函數(shù)和直線的圖象，由直線與曲線相切于原點時，則，解得，由直線繞著原點從軸旋轉到與曲線相切，滿足條件即有，解得故選B2已知函數(shù)，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可得：，令可得：，且：，據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，結合恒成立的條件可得：，求解關于的不等式可得實數(shù)的取值范圍是本題選擇C選項3若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】，在內恒成立，所以，由于，所以，所以，故選D4已知對任意不等式恒成立（其中，是自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立令，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，故實數(shù)的取值范圍是故選A5已知函數(shù)，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】若恒成立，則，所以在單調遞減，在單調遞增，所以故選D6當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】時，恒成立不等式等價于，設，在單調遞減，在單調遞增，當時，可知無論為何值，不等式均成立，當時，恒成立不等式等價于，同理設，在單調遞增，綜上所述：故選C7函數(shù)，若存在使得成立，則實數(shù)的范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】若存在使得成立，則在內即可，故在上單調遞減，故選A8設函數(shù)，若存在，使，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】的定義域是，當時，則在上單調遞增，且，故存在，使；當時，令，解得，令，解得，在上單調遞增，在上單調遞減，解得綜上，的取值范圍是故選D9若對于任意實數(shù)，函數(shù)恒大于零，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】當時，恒成立，若，為任意實數(shù)，恒成立，若時，恒成立，即當時，恒成立，設，則，當時，則在上單調遞增，當時，則在上單調遞減，當時，取得最大值為則要使時，恒成立，的取值范圍是，故選D10已知函數(shù)，若對任意，總有或成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】由，得，故對時，不成立，從而對任意，恒成立，因為，對任意恒成立，如圖所示，則必有，計算得出故選B11已知函數(shù)，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【解析】不等式，即，結合可得恒成立，即恒成立，構造函數(shù)，由題意可知函數(shù)在定義域內單調遞增，故恒成立，即恒成立，令，則，當時，單調遞減；當時，單調遞增；則的最小值為，據(jù)此可得實數(shù)的取值范圍為本題選擇D選項12設函數(shù)，其中，若有且只有一個整數(shù)使得，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】設，則，當，單調遞減；當，單調遞增，當時，取得最小值如下圖所示又，故；，故故當時，滿足在直線的下方直線恒過定點且斜率為，要使得有且只有一個整數(shù)使得，只需，又，實數(shù)的取值范圍故選C二、填空題13設函數(shù)，對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】法一：如圖，因為恒成立，則的圖像在的上方（可以有公共點），所以即，填法2：由題設有當時，；當時，有恒成立或恒成立，故或即，填14函數(shù)，其中，若對任意正數(shù)都有，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】對任意正數(shù)都有，即不等式對于恒成立設，則故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以的最小值是，所以的取值范圍是15已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)在上單調遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以恒成立，即在上恒成立，所以，故實數(shù)的取值范圍是16已知關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】當時，函數(shù)外層單調遞減，內層二次函數(shù)：當，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，函數(shù)單調遞減，解得；當，即時，無意義；當，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內先遞減后遞增，函數(shù)先遞增后遞減，則需，無解；當，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，函數(shù)單調遞增，無解當時，函數(shù)外層單調遞增，二次函數(shù)單調遞增，函數(shù)單調遞增，所以，解得：綜上所述：或三、解答題17設函數(shù)，其中，（1）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（2）若，成立，求的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1），定義域為，設，當時，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點當時，若時，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點若時，設的兩個不相等的實數(shù)根，且，且，而，則，所以當，單調遞增；當，單調遞減；當，單調遞增因此此時函數(shù)有兩個極值點；當時，但，所以當，單調遞增；當，單調遞減所以函數(shù)只有一個極值點綜上可知，當時有一個極值點；當時的無極值點；當時，的有兩個極值點（2）由（1）可知當時在單調遞增，而，則當時，符合題意；當時，在單調遞增，而，則當時，符合題意；當時，所以函數(shù)在單調遞減，而，則當時，不符合題意；當時，設，當時，在單調遞增，因此當時，于是，當時，此時，不符合題意綜上所述，的取值范圍是18設函數(shù)，（1）證明：在單調遞減，在單調遞增；（2）若對于任意，都有，求的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）【解析】，注意到，于是再求導得，由于，于是為單調遞增函數(shù)，時，時，在單調遞減，在單調遞增（2）若不等式恒成立，則，在連續(xù)，在有最大最小值，由（1）可知在單調遞減，在單調遞增，設，在單調遞減，在單調遞增，故當時，當時，則上式成立當時，由的單調性，即，當時，即，綜上，的取值范圍為