第1講 小題考法空間幾何體的三視圖、表面積與體積及空間位置關(guān)系的判定一、主干知識(shí)要記牢1簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積(1)S直棱柱側(cè)ch(c為底面的周長(zhǎng)，h為高)(2)S正棱錐側(cè)ch(c為底面周長(zhǎng)，h為斜高)(3)S正棱臺(tái)側(cè)(cc)h(c與c分別為上、下底面周長(zhǎng)，h為斜高)(4)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rl(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))，S圓錐側(cè)rl(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))，S圓臺(tái)側(cè)(rr)l(r，r分別為上、下底面的半徑，l為母線長(zhǎng))(5)柱、錐、臺(tái)體的體積公式V柱Sh(S為底面面積，h為高)，V錐Sh(S為底面面積，h為高)，V臺(tái)(SS)h(S，S為上、下底面面積，h為高)(6)球的表面積和體積公式S球4R2，V球R32兩類關(guān)系的轉(zhuǎn)化(1)平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化(2)垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化3證明空間位置關(guān)系的方法已知a，b，l是直線，是平面，O是點(diǎn)，則(1)線線平行：cb，ab，ab, ab(2)線面平行：a，a， a(3)面面平行：， ， (4)線線垂直：ab, ab(5)線面垂直： l， a，a b(6)面面垂直：， 二、二級(jí)結(jié)論要用好1長(zhǎng)方體的對(duì)角線與其共點(diǎn)的三條棱之間的長(zhǎng)度關(guān)系d2a2b2c2；若長(zhǎng)方體外接球半徑為R，則有(2R)2a2b2c22棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球半徑ra，外接球的半徑Ra.又正四面體的高h(yuǎn)a，故rh，Rh三、易錯(cuò)易混要明了應(yīng)用空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理時(shí)，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯(cuò)如由，l，ml，易誤得出m的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m的限制條件考點(diǎn)一空間幾何體的三視圖1由直觀圖確定三視圖的方法根據(jù)空間幾何體三視圖的定義及畫(huà)法規(guī)則和擺放規(guī)則確定2由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面(2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置(3)確定幾何體的直觀圖形狀1(2018湖北聯(lián)考)將正方體(如圖1)截去三個(gè)三棱錐后，得到(如圖2)所示的幾何體，側(cè)視圖的視線方向(如圖2)所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(D)解析點(diǎn)A，B，C，E在左側(cè)面的投影為正方形，CA在左側(cè)面的投影為斜向下的正方形對(duì)角線，DE在左側(cè)面的投影為斜向上的正方形對(duì)角線，為不可見(jiàn)輪廓線，綜上可知故選D2(2018北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(C)A1 B2C3 D4解析由三視圖得到空間幾何體，如圖所示，則PA平面ABCD，平面ABCD為直角梯形，PAABAD2，BC1，所以PAAD，PAAB，PABC.又BCAB，ABPAA，所以BC平面PAB，所以BCPB.在PCD中，PD2，PC3，CD，所以PCD為銳角三角形所以側(cè)面中的直角三角形為PAB，PAD，PBC，共3個(gè)故選C考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積1求解幾何體的表面積與體積的技巧(1)求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的方法，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體求解(3)求表面積：其關(guān)鍵思想是空間問(wèn)題平面化2根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積或體積的步驟(1)根據(jù)給出的三視圖還原該幾何體的直觀圖(2)由三視圖中的大小標(biāo)識(shí)確定該幾何體的各個(gè)度量(3)套用相應(yīng)的面積公式或體積公式計(jì)算求解1(2018延邊模擬)已知一幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖由一個(gè)直角三角形與一個(gè)半圓組成，則該幾何體的體積為(A)A612 B624C1212 D2412解析由三視圖可知，該幾何體為一組合體，它由半個(gè)圓柱和一個(gè)底面是直角三角形的直棱柱組成，故該幾何體的體積V223243612，故選A2(2017全國(guó)卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(B)A90 B63C42 D36解析方法一(割補(bǔ)法)如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)圓柱被截去上面虛線部分所得將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱體從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V32432663.故選B方法二(估值法)由題意，知V圓柱<V幾何體<V圓柱又V圓柱321090，45<V幾何體<90觀察選項(xiàng)可知只有63符合故選B3(2018荊州三診)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(C)A84 B1242C642 D12解析由三視圖可得，該幾何體為如圖所示的棱長(zhǎng)為2的正方體中的四棱錐A1BB1D1D，且底面矩形BB1D1D中，BB12，B1D12故該多面體的表面積為S3(2)222624.選C考點(diǎn)三與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問(wèn)題求解多面體、旋轉(zhuǎn)體與球接、切問(wèn)題的策略(1)過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題(2)利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或通過(guò)畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解1(2018延邊模擬)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為_(kāi)解析正四棱錐PABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，則POAOR，PO14，OO14R，在RtAO1O中，AO1，由勾股定理R22(4R)2，得R，球的表面積為422(2018綿陽(yáng)三診)已知圓錐的高為3，側(cè)面積為20，若此圓錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則V的最大值為解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)l，底面的半徑為r，則rl20，即rl20，又l2r29，解得l5，r4. 當(dāng)球的體積最大時(shí)，該球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則(558)R38，故R，所以Vmax33已知在三棱錐PABC中，BAC90，ABAC2，BC的中點(diǎn)為M且PM，當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí)，它的內(nèi)切球半徑為_(kāi)2_解析當(dāng)PM平面ABC時(shí)， 三棱錐體積取得最大值，體積為22.SPBC22，SABC222，SPBASPAC22，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則有(22)r，解得r2考點(diǎn)四空間位置關(guān)系的判定問(wèn)題判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)命題真假的方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷(2)借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定(3)借助反證法，當(dāng)從正面入手較難時(shí)，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷1(2018攀枝花一模)已知、表示不同的平面，a、b表示不同的直線，下列命題中正確的是(D)A如果a，那么aB如果，那么C如果ab，b，那么aD如果a，a，那么解析由題意，A中，如果a，那么a或a或相交，所以不正確；B中，如果，那么或相交，所以不正確；C中，如果ab，b，那么a或a，所以不正確；D中，如果a，a，利用線面垂直的判定定理，可證得，故選D2(2018濰坊二模)已知三棱柱ABCA1B1C1，平面截此三棱柱，分別與AC，BC，B1C1，A1C1交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且直線CC1平面. 有下列三個(gè)命題：四邊形EFGH是平行四邊形；平面平面ABB1A1；若三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，則平面平面A1B1C1 .其中正確的命題為(B)ABCD解析在三棱柱ABCA1B1C1中，平面截此三棱柱，分別與AC，BC，B1C1，A1C1交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且直線CC1平面，則CC1EHFG，且CC1EHFG，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故正確；EF與AB不一定平行，平面與平面ABB1A1平行或相交，故錯(cuò)誤；若三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，則CC1平面A1B1C1.EH平面A1B1C1，又EH平面，平面平面A1B1C1，故正確故選B