第1講基礎小題部分一、選擇題1(2018高考北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)為 ()A1B2C3D4解析：將三視圖還原為直觀圖，幾何體是底面為直角梯形，且一條側棱和底面垂直的四棱錐，如圖所示易知，BCAD，BC1，ADABPA2，ABAD，PA平面ABCD，故PAD，PAB為直角三角形，PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，又BCAB，且PAABA，BC平面PAB，又PB平面PAB，BCPB，PBC為直角三角形，容易求得PC3，CD，PD2，故PCD不是直角三角形，故選C.答案：C2(2018臨汾三模)已知平面及直線a，b，則下列說法正確的是 ()A若直線a，b與平面所成角都是30，則這兩條直線平行B若直線a，b與平面所成角都是30，則這兩條直線不可能垂直C若直線a，b平行，則這兩條直線中至少有一條與平面平行D若直線a，b垂直，則這兩條直線與平面不可能都垂直解析：對于A，若直線a，b與平面所成角都是30，則這兩條直線平行、相交、異面，故錯；對于B，若直線a，b與平面所成角都是30，則這兩條直線可能垂直，如圖，直角三角形ACB的直角頂點在平面內，邊AC，BC可以與平面都成30角，故錯對于C，若直線a，b平行，則這兩條直線中至少有一條與平面平行，顯然錯；對于D，若兩條直線與平面都垂直，則直線a，b平行，故正確故選D.答案：D3已知某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為 ()A.B2C.D.解析：根據(jù)三視圖可知，該幾何體是三棱柱截取一部分所得如圖，幾何體的體積為三棱柱ABC A1B1C1的體積減去三棱錐C A1B1C1的體積，即VSABCBB1SABCBB12，故選B.答案：B4如圖，多面體ABCD EGF的底面ABCD為正方形，F(xiàn)CGD2EA，其俯視圖如圖所示，則其正視圖和側視圖正確的是 ()解析：正視圖的輪廓線是矩形DCFG，點E在平面DCFG上的投影為DG的中點，且邊界BE，BG可視，故正視圖為選項B或D中的正視圖，側視圖的輪廓線為直角梯形ADGE，且邊界BF不可視，故側視圖為選項D中的側視圖，故選D.答案：D5(2018高考全國卷)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為 ()A.B.C.D.解析：如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1與棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方體的其余棱都分別與A1A，A1B1，A1D1平行，故正方體ABCDA1B1C1D1的每條棱所在直線與平面AB1D1所成的角都相等如圖所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中點E，F(xiàn)，G，H，M，N，則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大，此截面面積為S正六邊形EFGHMN6sin 60.故選A.答案：A6(2018平頂山一模)高為5，底面邊長為4的正三棱柱形容器(下有底)內，可放置最大球的半徑是 ()A.B2C.D.解析：由題意知，正三棱柱形容器內有一個球，其最大半徑為r，r即為底面正三角形內切圓的半徑，因為底面邊長為4，所以r2.故選B.答案：B7某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內，則新工件的棱長為 ()A.B1C2D2解析：依題意知該工件為圓錐，底面半徑為，高為2，要使加工成的正方體新工件體積最大，則該正方體為圓錐的內接正方體，設棱長為2x，則有，解得x，故2x1，即新工件棱長為1.故選B.答案：B8已知直線a，b以及平面，則下列命題正確的是 ()A若a，b，則abB若a，b，則abC若ab，b，則aD若a，b，則解析：對于A，若a，b，則ab或a，b相交、異面，不正確；對于B，若a，則經(jīng)過a的平面與交于c，ac，因為b，所以bc，因為ac，所以ab，正確；對于C，若ab，b，則a或a，不正確；對于D，若a，b，則，位置關系不確定，故選B.答案：B9(2018高考全國卷)在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為 ()A.B.C.D.解析：如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側補上一個相同的長方體ABBAA1B1B1A1.連接B1B，由長方體性質可知，B1BAD1，所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角連接DB，由題意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B，cosDB1B.故選C.答案：C10(2018大慶一中模擬)設，為平面，m，n，l為直線，則m的一個充分條件是 ()A，l，mlBm，C，mDn，n，m解析：，l，ml，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，缺少條件m，故A不正確；m，而與可能平行，也可能相交，則m與不一定垂直，故B不正確；，m，而與可能平行，也可能相交，則m與不一定垂直，故C不正確；n，n，而m，則m，故D正確故選D.答案：D11.如圖，在三棱柱ABC A1B1C1中，側棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，則BB1與平面AB1C1所成的角的大小為 ()A.B.C.D.解析：分別取BC，B1C1的中點D，D1，連接AD，DD1，AD1.顯然DD1B1C1，AD1B1C1，故B1C1平面ADD1，故平面AB1C1平面ADD1，故DD1在平面AB1C1內的射影在AD1上，AD1D即為直線DD1與平面AB1C1所成的角在RtAD1D中，AD，DD13，所以tanAD1D，所以AD1D.因為BB1DD1，所以直線BB1與平面AB1C1所成的角的大小為.答案：A12(2018臨汾二模)已知四面體ABCD的頂點都在球O表面上，且ABBCAC2，DADBDC2，過AD作相互垂直的平面，若平面，截球O所得截面分別為圓M，N，則 ()AMN的長度是定值BMN長度的最小值是2C圓M面積的最小值是2D圓M，N的面積和是定值8解析：因為ABBCAC2，DADBDC2，所以DA，DB，DC兩兩互相垂直，M，N分別是AB，AC的中點，MNBC，故選A.答案：A二、填空題13在直角梯形ABCD中，ABCD，A90，C45，ABAD1，沿對角線BD折成四面體A BCD，使平面ABD平面BCD，若四面體A BCD頂點在同一球面上，則該球的表面積為_解析：設H為AO和BD的交點，O為DC中點，依題意有AHOH，四面體A BCD中，平面ABD平面BCD，所以AH平面BCD，所以AO1，又因為ODOCOB1，所以O為四面體A BCD外接球的球心，故半徑R1.則該球的表面積為4R24.答案：414某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是_ cm2.解析：由幾何體的三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示該幾何體由兩個完全相同的長方體組合而成，其中ABBC2 cm，BD4 cm，所以該幾何體表面積S(223243)236272(cm2)答案：7215(2018高考天津卷)已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M EFGH的體積為_解析：依題意，易知四棱錐MEFGH是一個正四棱錐，且底面邊長為，高為.故VMEFGH()2.答案：16(2018大同二模)已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為_解析：設該三棱錐的外接球的半徑是R.依題意得，該三棱錐的形狀如圖所示，其中AB平面BCD，AB2，CD2，BCBD2，BCBD，因此可將其補形為一個棱長為2的正方體，則有2R2，R，所以該三棱錐的外接球體積為()34.答案：4