第1講坐標(biāo)系考綱解讀1.了解坐標(biāo)系的作用，掌握平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換2.了解極坐標(biāo)的基本概念，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(重點(diǎn))3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心為極點(diǎn)的圓)的方程(難點(diǎn))考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的必考內(nèi)容. 預(yù)測(cè)2020年將會(huì)考查：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，要特別注意圖象的伸縮變換. 題型為解答題，屬中、低檔題型.1伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換2極坐標(biāo)一般地，不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為0，可取任意實(shí)數(shù)3極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，則它們之間的關(guān)系為：1概念辨析(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系()(2)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為.()(3)過(guò)極點(diǎn)作傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程可表示為或.()(4)圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)處，且過(guò)極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程為2asin.()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)設(shè)平面內(nèi)伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為則在這一坐標(biāo)變換下正弦曲線ysinx的方程變?yōu)?)Aysin2x By3sinxCysin Dy3sin2x答案D解析由已知得代入ysinx，得ysin2x，即y3sin2x，所以ysinx的方程變?yōu)閥3sin2x.(2)在極坐標(biāo)系中A，B兩點(diǎn)間的距離為_答案6解析解法一：(數(shù)形結(jié)合)在極坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)如圖所示，|AB|OA|OB|6.解法二：A，B的直角坐標(biāo)為A(1，)，B(2,2)，|AB|6.(3)曲線C1：與曲線C2：sin的交點(diǎn)坐標(biāo)為_答案解析將代入sin，得sin，所以1，所以曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為.(4)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sin，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A，則點(diǎn)A到直線l的距離為_答案解析由2sin得2，sincos1，化為直角坐標(biāo)方程得yx1即xy10，點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為，即(2，2)，所以點(diǎn)A到直線l的距離為.題型 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換在同一平面直角坐標(biāo)系中，求一個(gè)伸縮變換，使得圓x2y21變換為橢圓1.解設(shè)伸縮變換為由題知1，即2x22y21.與x2y21比較系數(shù)，得故所以伸縮變換為即先使圓x2y21上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，將圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，得到橢圓y21，再將該橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到橢圓1.伸縮變換后方程的求法平面上的曲線yf(x)在變換：的作用下的變換方程的求法是將代入yf(x)，得f，整理之后得到y(tǒng)h(x)，即為所求變換之后的方程見(jiàn)舉例說(shuō)明提醒：應(yīng)用伸縮變換時(shí)，要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)與變換后的坐標(biāo)(x，y).若函數(shù)yf(x)的圖象在伸縮變換：的作用下得到曲線的方程為y3sin，求函數(shù)yf(x)的最小正周期解由題意，把變換公式代入曲線y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期為.題型 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(2018全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos30.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程解(1)由xcos，ysin，得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線，曲線C1的方程為y記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l2與C2沒(méi)有公共點(diǎn). 綜上，所求C1的方程為y|x|2.條件探究把舉列說(shuō)明中曲線C1的極坐標(biāo)方程改為“(02)”，曲線C2的極坐標(biāo)方程改為“22cos2sin30”，若C1與C2有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍解由xcos，ysin得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y30，即(x1)2(y)21，由題意知，可設(shè)曲線C1的直角坐標(biāo)方程為ykx，ktan，當(dāng)曲線C1與曲線C2相切時(shí)，1，解得k，即tan，又02，所以.結(jié)合圖形可知，若C1與C2有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，則.1極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式xcos及ysin直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡(jiǎn)即可(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過(guò)變形，構(gòu)造出形如cos，sin，2的形式，再應(yīng)用公式進(jìn)行代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形技巧2極角的確定由tan確定角時(shí)，應(yīng)根據(jù)點(diǎn)P所在象限取最小正角(1)當(dāng)x0時(shí)，角才能由tan按上述方法確定(2)當(dāng)x0時(shí)，tan沒(méi)有意義，這時(shí)可分三種情況處理：當(dāng)x0，y0時(shí)，可取任何值；當(dāng)x0，y>0時(shí)，可取；當(dāng)x0，y<0時(shí)，可取. 已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為2，22cos2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程解(1)由2知24，所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2y24.因?yàn)?2cos2，所以222，所以圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程為xy1，化為極坐標(biāo)方程為cossin1，即sin.題型 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用角度1極徑幾何意義的應(yīng)用1(2018日照一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為(R)(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值解(1)將方程消去參數(shù)得x2y24x120，曲線C的普通方程為x2y24x120，將x2y22，xcos代入上式可得24cos12，曲線C的極坐標(biāo)方程為24cos12.(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)方程分別為，由消去得22120，根據(jù)題意可得1，2是方程22120的兩根，122，1212，|AB|12|2.角度2用極坐標(biāo)解最值和取值范圍問(wèn)題2(2018南平二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的方程為y21.曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C3的方程為yxtan，曲線C3與曲線C1，C2分別交于P，Q兩點(diǎn)(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)求|OP|2|OQ|2的取值范圍解(1)因?yàn)閤cos，ysin，所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為2sin21，即2，由(為參數(shù))，消去，即得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2(y1)21；將xcos，ysin，代入化簡(jiǎn)，可得曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin.(2)曲線C3的極坐標(biāo)方程為，由(1)得|OP|2；|OQ|24sin2，即|OP|2|OQ|2，因?yàn)?<<，所以0<sin<1，所以|OP|2|OQ|2(0,4)極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用的類型及解題策略(1)求極坐標(biāo)方程可在平面直角坐標(biāo)系中，求出曲線的方程，然后再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程(2)求點(diǎn)到直線的距離先將極坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)、直線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)、直線方程，然后利用直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離公式求解(3)求線段的長(zhǎng)度先將極坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線方程，然后再求線段的長(zhǎng)度 1(2018南寧模擬)已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4sin，直線l的直角坐標(biāo)方程為yx.(1)求曲線C1和直線l的極坐標(biāo)方程；(2)已知直線l分別與曲線C1，曲線C2相交于異于極點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，若A，B的極徑分別為1，2，求|21|的值解(1)曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，其普通方程為x2(y1)21，極坐標(biāo)方程為2sin.因?yàn)橹本€l的直角坐標(biāo)方程為yx，故直線l的極坐標(biāo)方程為(R)(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為2sin，直線l的極坐標(biāo)方程為，將代入C1的極坐標(biāo)方程得11，將代入C2的極坐標(biāo)方程得24，|21|3.2(2017全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解(1)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(，)(>0)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(1，)(1>0)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程為4cos(>0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B>0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos，于是OAB的面積S|OA|BsinAOB4cos22.當(dāng)時(shí)，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.