專題研究 平面向量的綜合應(yīng)用1設(shè)a，b是非零向量，若函數(shù)f(x)(xab)(axb)的圖像是一條直線，則必有()AabBabC|a|b| D|a|b|答案A解析f(x)(xab)(axb)的圖像是一條直線，即f(x)的表達(dá)式是關(guān)于x的一次函數(shù)或常函數(shù)而(xab)(axb)x2ab(a2b2)xab，故ab0，即ab，故應(yīng)選A.2在平行四邊形ABCD中，a，b，則當(dāng)(ab)2(ab)2時，該平行四邊形為()A菱形 B矩形C正方形 D以上都不正確答案B解析在平行四邊形中，ab，ab，|ab|ab|，|，對角線相等的平行四邊形為矩形，故選B.3已知向量a(1，sin)，b(1，cos)，則|ab|的最大值為()A1 B.C. D2答案B解析a(1，sin)，b(1，cos)，ab(0，sincos)|ab|.|ab|最大值為.故選B.4已知A，B是圓心為C半徑為的圓上兩點(diǎn)，且|，則等于()A B.C0 D.答案A解析由于弦長|AB|與半徑相同，則ACB60|cosACBcos60.5(2017保定模擬)若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|2|，則ABC的形狀是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等邊三角形答案B解析2，|2|20，三角形為直角三角形，故選B.6(2015山東，理)已知菱形ABCD的邊長為a，ABC60，則()Aa2Ba2C.a2 D.a2答案D解析在菱形ABCD中，所以()a2aacos60a2a2a2.7(2017課標(biāo)全國，理)已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則()的最小值是()A2 BC D1答案B解析如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(1，0)，C(1，0)，設(shè)P(x，y)，則(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x22(y)2，當(dāng)x0，y時，()取得最小值，為，選B.8在ABC中，a，b，c，且abbcca，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等邊三角形答案D解析因a，b，c均為非零向量，且abbc，得b(ac)0b(ac)又abc0b(ac)，(ac)(ac)0a2c2，得|a|c|.同理|b|a|，|a|b|c|.故ABC為等邊三角形9(2018天津模擬)已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE2EF，則的值為()A B.C. D.答案B解析如圖以直線AC為x軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，C(1，0)，B(，)，F(xiàn)(1，)，(1，)，(，)，選B.10(2018安徽師大附中月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量與關(guān)于y軸對稱，向量a(1，0)，則滿足不等式2a0的點(diǎn)A(x，y)的集合用陰影表示為()答案B解析A(x，y)，向量與關(guān)于y軸對稱，B(x，y)，(2x，0)2a0，x2y22x(x1)2y210，故滿足要求的點(diǎn)在以(1，0)為圓心，1為半徑的圓上以及圓的內(nèi)部故選B.11(2016四川)在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足|，2，動點(diǎn)P，M滿足|1，則|2的最大值是()A. B.C. D.答案B解析由|知，D為ABC的外心由知，D為ABC的垂心，所以ABC為正三角形，易知其邊長為2.取AC的中點(diǎn)E，因為M是PC的中點(diǎn)，所以EMAP，所以|max|BE|，則|max2，選B.12(2015山東，文)過點(diǎn)P(1，)作圓x2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則_答案解析在平面直角坐標(biāo)系xOy中作出圓x2y21及其切線PA，PB，如圖所示連接OA，OP，由圖可得|OA|OB|1，|OP|2，|，APOBPO，則，的夾角為，所以|cos.13在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60，E為CD的中點(diǎn)若1，則AB的長為_答案解析如圖所示，在平行四邊形ABCD中，.所以()()|2|2|2|11，解方程得|(舍去|0)，所以線段AB的長為.14設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|_答案6解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1，0)，所以(x1x2x33，y1y2y3)0，得x1x2x33.又由拋物線定義可得|(x11)(x21)(x31)6.15.如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是的三等分點(diǎn)，M，N是線段AB的三等分點(diǎn)，若OA6，則_答案26解析連接OC、OD、MC、ND，則()()4661826.16(2014陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點(diǎn)P(x，y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上，且mn(m，nR)(1)若mn，求|；(2)用x，y表示mn，并求mn的最大值答案(1)2(2)1解析(1)mn，(1，2)，(2，1)，(1，2)(2，1)(2，2)|2.(2)m(1，2)n(2，1)(m2n，2mn)，兩式相減，得mnyx.令mnt，由圖知，當(dāng)直線yxt過點(diǎn)B(2，3)時，t取得最大值1，故mn的最大值為1.17(2017江西上饒中學(xué)調(diào)研)已知在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，mnsin2C.(1)求角C的大?。?2)若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且()18，求c邊的長答案(1)(2)6解析(1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)，對于ABC，ABC，0<C<，sin(AB)sinC，mnsinC，又mnsin2C，sin2CsinC，cosC，C.(2)由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，可得2sinCsinAsinB，由正弦定理得2cab.()18，18，即abcosC18，ab36.由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)23ab，c24c2336，c236，c6.1(2017浙江)如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC與BD交于點(diǎn)O.記I1，I2，I3，則()AI1<I2<I3BI1<I3<I2CI3<I1<I2DI2<I1<I3答案C解析如圖所示，四邊形ABCE是正方形，F(xiàn)為正方形的對角線的交點(diǎn)，易得AO<AF，而AFB90，AOB與COD為鈍角，AOD與BOC為銳角所以I1<0，I3<0，I2>0，只需再比較I1與I3的大小作AGBD于G，又ABAD，OB<BGGD<OD，而OA<AFFC<OC，|<|，而cosAOBcosCOD<0，>，即I1>I3，I3<I1<I2，故選C.