第11課時 直線與圓錐曲線的位置關系1若過原點的直線l與雙曲線1有兩個不同交點，則直線l的斜率的取值范圍是()A.B(，)C. D.答案B解析1，其兩條漸近線的斜率分別為k1，k2，要使過原點的直線l與雙曲線有兩個不同的交點，畫圖可知，直線l的斜率的取值范圍應是.2已知橢圓x22y24，則以(1，1)為中點的弦的長度為()A3B2C. D.答案C解析設y1k(x1)，ykx1k.代入橢圓方程，得x22(kx1k)24.(2k21)x24k(1k)x2(1k)240.由x1x22，得k，x1x2.(x1x2)2(x1x2)24x1x24.|AB|.3(2018遼寧師大附中期中)過點M(2，0)的直線n與橢圓y21交于P1，P2兩點，線段P1P2的中點為P，設直線m的斜率為k1(k10)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為()A2 B2C. D答案D解析設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，則兩式相減，得(y1y2)(y1y2)0.即2y(y1y2)0.k1，又k2.k1k2.4(2017山東師大附中模擬)已知兩定點A(0，2)，B(0，2)，點P在橢圓1上，且滿足|2，則為()A12 B12C9 D9答案D解析易知A(0，2)，B(0，2)為橢圓1的兩焦點，|248，又|2，|5，|3.|4，ABP為直角三角形，|29.5(2018福建廈門中學期中)設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()A. B.C2 D3答案B解析不妨設雙曲線C：1(a>0，b>0)，焦點F(c，0)，對稱軸為直線y0.由題意知1，y，4a，b22a2，c2a22a2，c23a2，e.故選B.6(2018德州一中期末)已知拋物線C：y24x的焦點為F，準線為l.若射線y2(x1)(x1)與C，l分別交于P，Q兩點，則()A. B2C. D5答案C解析拋物線C：y24x的焦點為F(1，0)，設準線l：x1與x軸的交點為F1，過點P作直線l的垂線，垂足為P1，由得點Q的坐標為(1，4)，所以|FQ|2.根據(jù)拋物線的定義可得，|PF|PP1|，所以，故選C.7已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線與直線y2x1交于P、Q兩點，若|PQ|，則拋物線的方程為()Ay24x By212xCy24x或y212x D以上都不對答案C解析由題意設拋物線的方程為y22px，聯(lián)立方程得消去y，得4x2(2p4)x10，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2.|PQ|x1x2|，所以，p24p120，p2或6，所以y24x或y212x.8(2018衡水中學調研)過拋物線x24y的焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD，則()A2 B4C. D.答案D解析根據(jù)題意，拋物線的焦點為(0，1)，設直線AB的方程為ykx1(k0)，直線CD的方程為yx1，由得y2(24k2)y10，由根與系數(shù)的關系得yAyB24k2，所以|AB|yAyB244k2，同理|CD|yCyD24，所以，故選D.9(2018福州外國語學校適應性考試)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的焦距為2，拋物線yx2與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為()A.1 B.1Cx21 D.y21答案D解析由題意可得c，即a2b25，雙曲線的漸近線方程為yx.將漸近線方程和拋物線方程yx2聯(lián)立，可得x2x0，由漸近線和拋物線相切可得40，即有a24b2，又a2b25，解得a2，b1，可得雙曲線的方程為y21.故選D.10(2018天津紅橋區(qū)期末)已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p>0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點若雙曲線的離心率為2，AOB的面積為，則p()A1 B.C2 D3答案C解析因為雙曲線方程為1，所以雙曲線的漸近線方程是yx.又拋物線y22px(p>0)的準線方程是x，故A，B兩點的縱坐標分別是y.因為雙曲線的離心率為2，所以2，所以3，則，A，B兩點的縱坐標分別是y.又AOB的面積為，x軸是AOB的平分線，所以p，解得p2.故選C.11設F為拋物線C：y22px(p>0)的焦點，過F且傾斜角為60的直線交拋物線C于A，B兩點(B在第一象限，A在第四象限)，O為坐標原點，過A作C的準線的垂線，垂足為M，則|OB|與|OM|的比值為()A. B2C3 D4答案C解析拋物線C：y22px(p>0)的焦點F(，0)，準線x，直線AB：y(x)，與拋物線方程聯(lián)立，消去x得，y22pyp20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1p，y2p，故M(，p)，則|OM|p，將y2p代入直線AB的方程得x2p，故B(p，p)，則|OB|p，所以|OB|3|OM|.故選C.12(2018河南鄭州二測)過點P(1，0)作直線與拋物線y28x相交于A，B兩點，且2|PA|AB|，則點B到該拋物線焦點的距離為_答案5解析設A(xA，yA)，B(xB，yB)，由相似三角形知識可知.設直線的斜率為k，則其方程為y0k(x1)，即ykxk，由可得ky28y8k0，則yAyB8.由可得yB2248xB，所以xB3，由拋物線的定義可知點B到焦點的距離為35.13(2018湖北部分重點高中聯(lián)考)已知雙曲線C2與橢圓C1：1具有相同的焦點，則兩條曲線相交的四個交點形成的四邊形面積最大時雙曲線C2的離心率為_答案解析設雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，由題意知a2b2431，由解得交點的坐標滿足由橢圓和雙曲線關于坐標軸對稱知，以它們的交點為頂點的四邊形是長方形，其面積S4|xy|4884，當且僅當a21a2，即a2時，取等號，此時雙曲線的方程為1，離心率e.14(2018淮南一模)過橢圓1(a>b>0)上的動點P作圓x2y2b2的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，直線AB與x軸，y軸分別交于M，N，則MON(O為坐標原點)面積的最小值為_答案解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線PA：x1xy1yb2，直線PB：x2xy2yb2.因為P(x0，y0)在直線PA，PB上，所以可得直線AB的方程為x0xy0yb2，得M(，0)，N(0，)，則MON的面積SMON，當且僅當|時等號成立15(2018湖南永州一模)已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距為2，離心率為，y軸上一點Q的坐標為(0，3)(1)求該橢圓的方程；(2)若對于直線l：yxm，橢圓C上總存在不同的兩點A與B關于直線l對稱，且3<32，求實數(shù)m的取值范圍答案(1)y21(2)(，)解析(1)由題意知c1，所以a，b1.所以所求橢圓的方程為y21.(2)方法一：由題意設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB方程為yxn.聯(lián)立消去y并整理可得3x24nx2n220，由(4n)212(2n22)248n2>0，解得<n<.x1x2，x1x2，設直線AB的中點為P(x0，y0)，則x0，由點P在直線AB上得y0n，又點P在直線l上，m，所以m(，)又(x1，y13)，(x2，y23)，(x1，y13)(x2，y23)x1x2(y13)(y23)n22n39m26m33(3m1)(m1)<0，解得1<m<，綜合式，得m的取值范圍為(，)方法二：由題意設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的中點為P(x，y)，則2xx1x2，2yy1y2，將A，B兩點分別代入橢圓方程，并聯(lián)立兩式相減得x12x222(y12y22)0，即(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0.又ABl，所以kAB1，所以，AB的中點P的軌跡方程為yx.由得即P(2m，m)又P在橢圓內，(m)2<1，即m2<，即<m<，另一方面，易知直線AB的方程為yx3m.聯(lián)立消去y并整理得3x212mx18m220，x1x24m，x1x2.又(x1，y13)，(x2，y23)，(x1，y13)(x2，y23)x1x2(y13)(y23)2x1x2(3m3)(x1x2)9m218m99m26m33(3m1)(m1)<0，解得1<m<.綜合式，得m的取值范圍為(，)16(2016課標全國，理)已知橢圓E：1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MANA.(1)當t4，|AM|AN|時，求AMN的面積；(2)當2|AM|AN|時，求k的取值范圍答案(1)(2)(，2)解析(1)設M(x1，y1)，則由題意知y1>0.當t4時，E的方程為1，A(2，0)由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1，得7y212y0.解得y0或y，y1>0，所以y1.因此AMN的面積SAMN2.(2)由題意知t>3，k>0，A(，0)將直線AM的方程yk(x)代入1，得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()，得x1，故|AM|x1|.由題設知，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)當k時上式不成立，因此t.t>3等價于<0，即<0.由此得或解得<k<2.因此k的取值范圍是(，2)1(2017北京大興一中月考)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作平行于C的漸近線的直線交C于點P.若PF1PF2，則C的離心率為()A. B.C2 D.答案D解析取雙曲線C的漸近線為yx.因為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，所以過F2作平行于漸近線yx的直線PF2的方程為y(xc)因為PF1PF2，所以直線PF1的方程為y(xc)聯(lián)立方程組得點P的坐標為(，)因為點P在雙曲線C上，所以1，即1.因為c2a2b2，所以1，整理得c25a2.因為e>1，所以e.故選D.2已知雙曲線x21，過點A(1，1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則l的條數(shù)為()A4 B3C2 D1答案A解析斜率不存在時，方程為x1符合設斜率為k，y1k(x1)，kxyk10.(4k2)x2(2k22k)xk22k50.當4k20，k2時符合；當4k20，0，亦有一個答案，共4條3已知雙曲線T：y21，過點B(2，0)的直線交雙曲線于A點(A不是雙曲線的頂點)，若AB的中點Q在直線yx上，點P為雙曲線T上異于A，B的任意一點(不是雙曲線的頂點)，直線AP，BP分別交直線yx于M，N兩點，O為坐標原點，則()A BC D8答案A解析因為AB的中點Q在直線yx上，B(2，0)，所以A(，)設P(x0，y0)，當直線AP的斜率不存在時，易知P(，)，M(，)，N(，)，此時()().當直線AP的斜率存在時，則直線AP的方程是y(x)，與直線yx聯(lián)立得xMyM.直線BP的方程為y(x2)，與直線yx聯(lián)立得xNyN.因為y021，所以xMxNyMyN2.4(2017福建福州質檢)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，若雙曲線左支上存在一點P與點F2關于直線yx對稱，則該雙曲線的離心率為_答案解析由題意可知雙曲線左支上存在一點P與點F2關于直線y對稱，則PF1PF2.又，聯(lián)立|PF2|PF1|2a，|PF2|2|PF1|2(2c)2，可得b3a2b2c2a.所以b2a，e.5(2018河北石家莊模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P為雙曲線右支上一點，M為PF1F2的內心，滿足SMPF1SMPF2SMF1F2.若該雙曲線的離心率為3，則_(注：SMPF1，SMPF2，SMF1F2分別為MPF1，MPF2，MF1F2的面積)答案解析設PF1F2內切圓的半徑為r，則由題意，得|PF1|r|PF2|r|F1F2|r，即|PF1|PF2|F1F2|2c，又由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2a，所以2a2c，即.6已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：yx的一個交點的橫坐標為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線相交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|PB|，求FAB的面積答案(1)y28x(2)24解析(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，8)，(8)22p8，2p8，拋物線方程為y28x.(2)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l2與x軸的交點為M.由得y28y8m0，6432m>0，m>2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直線l2：xy8，M(8，0)故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.7拋物線y24x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點(1)若2，求直線AB的斜率；(2)設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值答案(1)2(2)4解析(1)依題意知F(1，0)，設直線AB的方程為xmy1.將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x，得y24my40.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因為2，所以y12y2.聯(lián)立和，消去y1，y2，得m.所以直線AB的斜率是2.(2)由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC的中點從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2SAOB.因為2SAOB2|OF|y1y2|4，所以當m0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4.8(2018河南洛陽第一次統(tǒng)考)已知拋物線C：x22py(y>0)，過焦點F的直線交C于A，B兩點，D是拋物線的準線l與y軸的交點(1)若ABl，且ABD的面積為1，求拋物線C的方程；(2)設M為AB的中點，過M作l的垂線，垂足為N，證明：直線AN與拋物線相切答案(1)x22y(2)略解析(1)ABl，|FD|p，|AB|2p.SABDp21.p1.拋物線C的方程為x22y.(2)證明：設直線AB的方程為ykx，聯(lián)立得x22kpxp20.設方程的兩根分別為x1，x2，則x1x22kp，x1x2p2.設A(x1，)，B(x2，)設M(kp，k2p)，N(kp，)kAN.又x22py，y.拋物線x22py在點A處的切線斜率k.直線AN與拋物線相切