培優(yōu)點(diǎn)十六 圓錐曲線的幾何性質(zhì)1橢圓的幾何性質(zhì)例1：如圖，橢圓的上頂點(diǎn)、左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為、，中心為，其離心率為，則（ ）ABCD【答案】B【解析】由，得而，所以，故選B2拋物線的幾何性質(zhì)例2：已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上的射影為，且直線的斜率為，則的面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以，由拋物線定義知，且，所以是以4為邊長(zhǎng)的正三角形，其面積為故選C3雙曲線的幾何性質(zhì)例3：已知點(diǎn)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)【答案】15【解析】在雙曲線中，對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、單選題1拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則（ ）AB1C2D4【答案】C【解析】拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值即到準(zhǔn)線的最小值，很明顯滿足最小值的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，據(jù)此可知：，本題選擇C選項(xiàng)2設(shè)點(diǎn)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，若，則的面積等于（ ）ABCD【答案】B【解析】據(jù)題意，且，解得，又，在中由余弦定理，得從而，所以，故選B3經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為的直線l，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（ ）ABCD【答案】C【解析】橢圓方程為，取一個(gè)焦點(diǎn)，則直線方程為，代入橢圓方程得，所以，故選C4過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則（ ）A4B6C8D10【答案】B【解析】設(shè)的坐標(biāo)分別為，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則，由此解得故選B5已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形（為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（ ）ABCD【答案】B【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形（為原點(diǎn)），可得，即，解得，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸，所得雙曲線的方程為，故選B6如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道繞月飛行已知橢圓軌道和的中心與F在同一直線上，設(shè)橢圓軌道和的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)分別為，半焦距分別為，則有（ ）ABCD【答案】C【解析】設(shè)圓形軌道的半徑為，由知，故選C7已知雙曲線，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且雙曲線，的離心率相同，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是（ ）A32B4C8D16【答案】D【解析】雙曲線的離心率為，設(shè)，雙曲線一條漸近線方程為，可得，即有，由，可得，即，又，且，解得，即有雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16故選D8已知是拋物線的焦點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，線段與拋物線相交于點(diǎn)，若，則（ ）A1BCD【答案】D【解析】由題意得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，所以向量：，由向量線性關(guān)系可得：，解得：，代入拋物線方程可得：，則，由兩點(diǎn)之間的距離公式可得：故選D9已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，分別是和的離心率，若，則的最小值為（ ）AB4CD9【答案】A【解析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸為，令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，又，得，將代入，得，故選A10已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有（ ）A0個(gè)B1個(gè)C3個(gè)D無(wú)數(shù)個(gè)【答案】D【解析】拋物線方程為，為曲線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為的重心，用如下辦法構(gòu)造，連接并延長(zhǎng)至，使，當(dāng)在拋物線內(nèi)部時(shí)，設(shè)，若存在以為中點(diǎn)的弦，設(shè)，則，則，兩式相減化為，所以總存在以為中點(diǎn)的弦，所以這樣的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，故選D11已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓的離心率為，直線過(guò)點(diǎn)與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為（ ）A，B，C，D，【答案】C【解析】由題，由雙曲線的定義可得| ，橢圓的離心率為：，在中，由余弦定理的，在中，由余弦定理可得：，即，整理得2a2+3c2-7ac=0，設(shè)雙曲線的離心率為，解得或（舍），即雙曲線的漸近線方程為，漸近線的傾斜角為，故選C12已知為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是，則的取值范圍為（ ）ABCD【答案】C【解析】如圖，由題意設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)又當(dāng)點(diǎn)在橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最大，且最大值的取值范圍是，故選C二、填空題13已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則_【答案】【解析】由知，由焦點(diǎn)弦性質(zhì)，而14已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為、，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在橢圓上，則的周長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【解析】設(shè)，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，則：，則，則，故的周長(zhǎng)為：15為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，直線交軸于點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為_(kāi)【答案】2【解析】，的內(nèi)切圓半徑為，由圖形的對(duì)稱(chēng)性知：，故答案為216已知直線與橢圓相切于第一象限的點(diǎn)，且直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，當(dāng)(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小時(shí)，(、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn))，若此時(shí)在中，的平分線的長(zhǎng)度為，則實(shí)數(shù)的值是_【答案】【解析】由題意，切線方程為，直線與軸分別相交于點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小，設(shè)，由余弦定理可得，的內(nèi)角平分線長(zhǎng)度為，故答案為三、解答題17設(shè)常數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，曲線：與軸交于點(diǎn)、與交于點(diǎn)、分別是曲線與線段上的動(dòng)點(diǎn)（1）用表示點(diǎn)到點(diǎn)距離；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)在直線，求的面積；（3）設(shè)，是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在上？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，【解析】（1）方法一：由題意可知：設(shè)，則，；方法二：由題意可知：設(shè)，由拋物線的性質(zhì)可知：，；（2），則，設(shè)的中點(diǎn)，則直線方程：，聯(lián)立，整理得：，解得：，（舍去），的面積；（3）存在，設(shè)，則，直線方程為，根據(jù)，則，解得：，存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在上，且18與橢圓相交于、兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓上斜率為的直線與線段相交于點(diǎn)，與橢圓相交于、兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形面積的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）由橢圓焦距為4，設(shè)，連結(jié)，設(shè)，則，又，得，解得，所以橢圓方程為（2）設(shè)直線方程：，、，由，得，所以，由（1）知直線：，代入橢圓得，得，由直線與線段相交于點(diǎn)，得，而與，知，由，得，所以，四邊形面積的取值范圍