突破17 豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動一、豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題“輕繩、輕桿”模型1.“輕繩”模型和“輕桿”模型不同的原因在于“輕繩”只能對小球產(chǎn)生拉力，而“輕桿”既可對小球產(chǎn)生拉力也可對小球產(chǎn)生支持力。2.有關(guān)臨界問題出現(xiàn)在變速圓周運(yùn)動中，豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動是典型的變速圓周運(yùn)動，一般情況下，只討論最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況。物理情景最高點(diǎn)無支撐最高點(diǎn)有支撐實例球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌道的“過山車”等球與桿連接、球在光滑管道中運(yùn)動等圖示異同點(diǎn)受力特征除重力外，物體受到的彈力方向：向下或等于零除重力外，物體受到的彈力方向：向下、等于零或向上受力示意圖力學(xué)方程mgFNmmgFNm臨界特征FN0mgmmin即vminv0即F向0FNmg過最高點(diǎn)的條件 在最高點(diǎn)的速度vv0 【典例1】如圖甲所示，輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動。小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其Fv2圖象如圖乙所示，則( ) A小球的質(zhì)量為B當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮镃v2c時，小球?qū)U的彈力方向向上Dv22b時，小球受到的彈力與重力大小相等【答案】： ACD 【典例2】用長L 0.6 m的繩系著裝有m 0.5 kg水的小桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，成為“水流星”。G 10 m/s2。求： (1) 最高點(diǎn)水不流出的最小速度為多少？(2) 若過最高點(diǎn)時速度為3 m/s，此時水對桶底的壓力多大？【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向豎直向上【解析】(1) 水做圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)水不流出的條件是：水的重力不大于水所需要的向心力。這是最小速度即是過最高點(diǎn)的臨界速度v0。以水為研究對象， mgm0解得v0 m/s 2.45 m/s(2) 因為 v 3 m/s>v0，故重力不足以提供向心力，要由桶底對水向下的壓力補(bǔ)充，此時所需向心力由以上兩力的合力提供。V 3 m/s>v0，水不會流出。設(shè)桶底對水的壓力為F，則由牛頓第二定律有：mgFm解得Fmmg0.5(10)N2.5N根據(jù)牛頓第三定律FF所以水對桶底的壓力F2.5N，方向豎直向上?！靖櫠逃?xùn)】1. 如圖所示，一內(nèi)壁光滑、質(zhì)量為m、半徑為r的環(huán)形細(xì)圓管，用硬桿豎直固定在天花板上有一質(zhì)量為m的小球(可看做質(zhì)點(diǎn))在圓管中運(yùn)動小球以速率v0經(jīng)過圓管最低點(diǎn)時，桿對圓管的作用力大小為( ) Am0 Bmgm0C2mgm0 D2mgm0【答案】C 2. (多選)如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道豎直固定放置，小球m在圓形軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動對于半徑R不同的圓形軌道，小球m通過軌道最高點(diǎn)時都恰好與軌道間沒有相互作用力下列說法中正確的有( )A半徑R越大，小球通過軌道最高點(diǎn)時的速度越大B半徑R越大，小球通過軌道最高點(diǎn)時的速度越小C半徑R越大，小球通過軌道最低點(diǎn)時的角速度越大D半徑R越大，小球通過軌道最低點(diǎn)時的角速度越小【答案】 AD【解析】 在最高點(diǎn)時，由mgm可得v，所以半徑R越大，小球通過軌道最高點(diǎn)時的速度越大，A正確；由機(jī)械能守恒可知mv2mg2Rmv，所以v0，由，故半徑R越大，小球通過軌道最低點(diǎn)時的角速度越小，D正確3(多選)如圖所示，長為L的輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，另一端固定轉(zhuǎn)軸O，現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動P為圓周軌道的最高點(diǎn)若小球通過圓周軌道最低點(diǎn)時的速度大小為，則以下判斷正確的是( ) A小球不能到達(dá)P點(diǎn)B小球到達(dá)P點(diǎn)時的速度小于C小球能到達(dá)P點(diǎn)，但在P點(diǎn)不會受到輕桿的彈力D小球能到達(dá)P點(diǎn)，且在P點(diǎn)受到輕桿向上的彈力【答案】 BD 4. 如圖所示，輕桿長為3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點(diǎn)，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運(yùn)動到最高點(diǎn)時，桿對球B恰好無作用力。忽略空氣阻力。則球B在最高點(diǎn)時( ) A球B的速度為零B球A的速度大小為C水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mgD水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg【答案】 C【解析】 球B運(yùn)動到最高點(diǎn)時，桿對球B恰好無作用力，即重力恰好提供向心力，有mgm，解得vB，故A錯誤；由于球A、B的角速度相等，則球A的速度大小vA，故B錯誤；球B在最高點(diǎn)時，對桿無作用力，此時球A所受重力和桿的作用力的合力提供向心力，有Fmgm，解得：F1.5mg，則水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mg，故C正確，D錯誤。二、豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動與平拋運(yùn)動組合物體有時先做豎直面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動，后做平拋運(yùn)動；有時先做平拋運(yùn)動，后做豎直面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動，往往要結(jié)合能量關(guān)系求解，多以計算題形式考查。解題技巧(1)豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動首先要明確是“輕桿模型”還是“輕繩模型”，然后分析物體能夠到達(dá)圓周最高點(diǎn)的臨界條件。(2)速度是聯(lián)系前后兩個過程的關(guān)鍵物理量?！镜淅?】 如圖所示，一條不可伸長的輕繩上端懸掛于O點(diǎn)，下端系一質(zhì)量m1.0 kg的小球?，F(xiàn)將小球拉到A點(diǎn)(保持輕繩繃直)由靜止釋放，當(dāng)它經(jīng)過B點(diǎn)時輕繩恰好被拉斷，小球平拋后落在水平地面上的C點(diǎn)，地面上的D點(diǎn)與OB在同一豎直線上，已知輕繩長 L1.0 m，B點(diǎn)離地高度 H1.0 m，A、B兩點(diǎn)的高度差h0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不計空氣阻力，求： (1)地面上D、C兩點(diǎn)間的距離s；(2)輕繩所受的最大拉力大小。【答案】 (1)1.41 m (2)20 N 解得F20 N由牛頓第三定律得FF20 N即輕繩所受的最大拉力大小為20 N。【典例2】 為了研究過山車的原理，某物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個與水平方向夾角為60，長為L12 m的傾斜軌道AB，通過微小圓弧與長為L2 m的水平軌道BC 相連，然后在C 處設(shè)計一個豎直完整的光滑圓軌道，出口為水平軌道D，如圖所示。現(xiàn)將一個小球從距A 點(diǎn)高為h 0.9 m 的水平臺面上以一定的初速度v0 水平彈出，到A 點(diǎn)時速度方向恰沿AB 方向，并沿傾斜軌道滑下。已知小球與AB和BC 間的動摩擦因數(shù)均為。g取10 m/s2，求： (1) 小球初速度v0的大小；(2) 小球滑過C點(diǎn)時的速率vC；(3) 要使小球不離開軌道，則豎直圓弧軌道的半徑R應(yīng)該滿足什么條件?！敬鸢浮?(1) m/s (2)3 m/s (3)0R1.08 m【解析】(1) 小球做平拋運(yùn)動到達(dá)A點(diǎn)，由平拋運(yùn)動規(guī)律知豎直方向有：v2gh，即：vy3 m/s因為在A點(diǎn)的速度恰好沿AB方向，所以小球初速度：v0vytan 30 m/s(2)從水平拋出到C點(diǎn)的過程中，由動能定理得：mg(hL1sin )mgL1cos mgL2mvmv 當(dāng)圓軌道與AB相切時：R3L2tan 601.5 m，即圓軌道的半徑不能超過1.5 m綜上所述，要使小球不離開軌道，R應(yīng)該滿足的條件是：0R1.08 m。【典例3】如圖所示，一個固定在豎直平面上的光滑半圓形管道，管道里有一個直徑略小于管道內(nèi)徑的小球，小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動，從B點(diǎn)脫離后做平拋運(yùn)動，經(jīng)過0.3 s后又恰好垂直與傾角為45 的斜面相撞已知半圓形管道的半徑為R1 m，小球可看作質(zhì)點(diǎn)且其質(zhì)量為m1 kg，g取10 m/s2.則( ) A小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離是0.9 mB小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離是1.9 mC小球經(jīng)過管道的B點(diǎn)時，受到管道的作用力FNB的大小是1 ND小球經(jīng)過管道的B點(diǎn)時，受到管道的作用力FNB的大小是2 N【答案】AC