第四節(jié) 橢圓限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練夯基練提能練)A級(jí)基礎(chǔ)夯實(shí)練1(2018太原一模)已知橢圓1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2y26x80的圓心，且短軸長(zhǎng)為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為()A(3，0)B(4，0)C(10，0) D(5，0)解析：選D.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y21，圓心坐標(biāo)為(3，0)，c3.又b4，a5.橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的左頂點(diǎn)為(5，0)2(2018湖北武漢模擬)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B1或1C.1 D1或1解析：選B.因?yàn)閍4，e，所以c3，所以b2a2c21697.因?yàn)榻裹c(diǎn)的位置不確定，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或1.3(2018湖北八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為()A. BC. D解析：選B.由題意知a3，b，c2.設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，則有OMPF2，因?yàn)镺MF1F2，所以PF2F1F2，所以|PF2|.又因?yàn)閨PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2a|PF2|，所以，故選B.4(2018湖南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓1(ab0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，左焦點(diǎn)為F.以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為()A. BC. D解析：選A.因?yàn)閳AO與直線BF相切，所以圓O的半徑為，即OC，因?yàn)樗倪呅蜦AMN是平行四邊形，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入橢圓方程得1，所以5e22e30，又0e1，所以e.故選A.5(2018四川涼山州模擬)以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過(guò)此橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則該橢圓的離心率是()A. BC. D解析：選D.不妨令橢圓方程為1(ab0)因?yàn)橐詸E圓短軸為直徑的圓經(jīng)過(guò)此橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以2b，即a3b，則c2b，則該橢圓的離心率e.故選D.6(2018貴陽(yáng)模擬)若橢圓1(ab0)的離心率為，短軸長(zhǎng)為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析：由題意可知e，2b4，得b2，所以解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：17設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|PF2|43，則PF1F2的面積為_(kāi)解析：因?yàn)閨PF1|PF2|14，又|PF1|PF2|43，所以|PF1|8，|PF2|6.因?yàn)閨F1F2|10，所以PF1PF2.所以SPF1F2|PF1|PF2|8624.答案：248(2018海南?？谀M)已知橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1(c，0)，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，現(xiàn)過(guò)A點(diǎn)作直線F1B的垂線，垂足為T(mén)，若直線OT(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為，則該橢圓的離心率為_(kāi)解析：因?yàn)闄E圓1(ab0)，A，B和F1點(diǎn)坐標(biāo)分別為(a，0)，(0，b)，(c，0)，所以直線BF1的方程是yxb，OT的方程是yx.聯(lián)立解得T點(diǎn)坐標(biāo)為，直線AT的斜率為.由ATBF1得，1，3b24acc2，3(a2c2)4acc2，4e24e30，又0e1，所以e.答案：9分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與橢圓1有相同的離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)；(2)已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5，3，過(guò)P且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)解：(1)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為t1或t2(t1，t20)，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)(2，)，所以t12，或t2.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)由于焦點(diǎn)的位置不確定，所以設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)，由已知條件得解得a4，c2，所以b212.故橢圓方程為1或1.10(2018蘭州市診斷考試)已知橢圓C：1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，1)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M，N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之積為.若動(dòng)點(diǎn)P滿足2，求點(diǎn)P的軌跡方程解：(1)因?yàn)閑，所以，又橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，1)，所以1，解得a24，b22，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由2得xx12x2，yy12y2，因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓1上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x1x24x)2(y4y1y24y)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)設(shè)kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，由題意知，kOMkON，因此x1x22y1y20，所以x22y220，故點(diǎn)P的軌跡方程為1.B級(jí)能力提升練11(2018湖北八校第一次聯(lián)考)如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(5，0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|OF|且|PF|6，則橢圓C的方程為()A.1 B1C.1 D1解析：選C.由題意可得c5，設(shè)右焦點(diǎn)為F，連接PF，由|OP|OF|OF|知，PFFFPO，OFPOPF，PFFOFPFPOOPF，F(xiàn)POOPF90，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|8，由橢圓定義，得|PF|PF|2a6814，從而a7，得a249，于是b2a2c2725224，所以橢圓C的方程為1，故選C.12(2018河南鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))橢圓1的左焦點(diǎn)為F，直線xa與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)FMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，F(xiàn)MN的面積是()A. BC. D解析：選C.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，由橢圓的定義知FMN的周長(zhǎng)為L(zhǎng)|MN|MF|NF|MN|(2|ME|)(2|NE|)因?yàn)閨ME|NE|MN|，所以|MN|ME|NE|0，當(dāng)直線MN過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)，所以L4|MN|ME|NE|4，即直線xa過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí)，F(xiàn)MN的周長(zhǎng)最大，此時(shí)SFMN|MN|EF|2，故選C.13(2018陜西部分學(xué)校一檢)已知P為橢圓1(ab0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2取最大值時(shí)，cosF1PF2，則橢圓的離心率為_(kāi)解析：易知F1PF2取最大值時(shí)，點(diǎn)P為橢圓1與y軸的交點(diǎn)，由余弦定理及橢圓的定義得2a24c2，即ac，所以橢圓的離心率e.答案：14(2018河南師大附中模擬)橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線xy0的對(duì)稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_(kāi)解析：設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，則AFAF，AFF，|AF|AF|，|FF|2|AF|，因此橢圓C的離心率為1.答案：115已知A(x0，0)，B(0，y0)兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，且|AB|1，若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足2.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l：xty1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，E(1，0)，試問(wèn)：當(dāng)t變化時(shí)，是否存在一條直線l，使ABE的面積為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)?，即(x，y)2(x0，0)(0，y0)(2x0，y0)，所以x2x0，yy0，所以x0x，y0y，又|AB|1，所以xy1，即1，即1，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由方程組得(3t24)y26ty90，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y20，所以|y1y2|.因?yàn)橹本€xty1過(guò)點(diǎn)F(1，0)，所以SABE|EF|y1y2|2，令2，則t2，不成立，故不存在滿足題意的直線l.16(2018湖北部分重點(diǎn)中學(xué)起點(diǎn)考試)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，左焦點(diǎn)為F(1，0)，過(guò)點(diǎn)D(0，2)且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在y軸上，是否存在定點(diǎn)E，使恒為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由解：(1)由已知可得可得a22，b21，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)D(0，2)且斜率為k的直線l的方程為ykx2，由消去y整理得(12k2)x28kx60，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，y1y2(kx12)(kx22)k(x1x2)4.設(shè)存在點(diǎn)E(0，m)，則(x1，my1)，(x2，my2)，所以x1x2m2m(y1y2)y1y2m2m.要使t(t為常數(shù))，只需t，從而(2m222t)k2m24m10t0，即解得m，從而t，故存在定點(diǎn)E，使恒為定值.C級(jí)素養(yǎng)加強(qiáng)練17已知橢圓1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0，4)，離心率e，直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長(zhǎng)；(2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線l方程的一般式解：(1)由已知得b4，且，即，解得a220，橢圓方程為1.則4x25y280與yx4聯(lián)立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦長(zhǎng)|MN|x2x1|.(2)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，0)，線段MN的中點(diǎn)為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知2，又B(0，4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即得Q的坐標(biāo)為(3，2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x26，y1y24，且1，1，以上兩式相減得0，kMN，故直線MN的方程為y2(x3)，即6x5y280.