考點(diǎn)規(guī)范練3命題及其關(guān)系、充要條件一、基礎(chǔ)鞏固1.已知a,b,cR,命題“若a+b+c=3,則a2+b2+c23”的否命題是()A.若a+b+c3,則a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,則a2+b2+c2<3C.若a+b+c3,則a2+b2+c23D.若a2+b2+c23,則a+b+c=3答案A解析a+b+c=3的否定是a+b+c3,a2+b2+c23的否定是a2+b2+c2<3.2.命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù),則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()A.“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù),則它的平方不是正數(shù)”B.“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù),則它是負(fù)數(shù)”C.“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù),則它的平方不是正數(shù)”D.“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù),則它不是負(fù)數(shù)”答案B解析將原命題的條件與結(jié)論互換即得逆命題,故原命題的逆命題為“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù),則它是負(fù)數(shù)”.3.(2018重慶期末)命題p:“若x>1,則x2>1”,則命題p以及它的否命題、逆命題、逆否命題這四個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案B解析命題p:“若x>1,則x2>1”是真命題,則其逆否命題為真命題;其逆命題:“若x2>1,則x>1”是假命題,則其否命題也是假命題.綜上可得,四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為2.4.已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面,內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析若直線a,b相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則Pa,Pb.又因?yàn)閍,b,所以P,P.故,相交.反之,若,相交,設(shè)交線為l,當(dāng)a,b都與直線l不相交時(shí),有ab.顯然a,b可能相交,也可能異面、平行.綜上,“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件.5.下列命題中為真命題的是()A.命題“若x>y,則x>|y|”的逆命題B.命題“若x>1,則x2>1”的否命題C.命題“若x=1,則x2+x-2=0”的否命題D.命題“若x2>0,則x>1”的逆否命題答案A解析對(duì)于A,逆命題是:若x>|y|,則x>y.因?yàn)閤>|y|y,必有x>y,所以逆命題是真命題;對(duì)于B,否命題是:若x1,則x21.因?yàn)閤=-5,有x2=25>1,所以否命題是假命題;對(duì)于C,否命題是:若x1,則x2+x-20.因?yàn)閤=-2,有x2+x-2=0,所以否命題是假命題;對(duì)于D,若x2>0,則x0,不一定有x>1,因此逆否命題是假命題.6.若xR,則“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析由|x-2|<1,解得1<x<3.因?yàn)椤?<x<2”能推出“1<x<3”,“1<x<3”推不出“1<x<2”,所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分不必要條件.7.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是()A.m>14B.0<m<1C.m>0D.m>1答案C解析不等式x2-x+m>0在R上恒成立,則=1-4m<0,解得m>14.所以“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是m>0.8.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.命題“若x2-3x-4=0,則x=4”的逆否命題為“若x4,則x2-3x-40”B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分不必要條件C.命題“若m>0,則關(guān)于x的方程x2+x-m=0有實(shí)根”的逆命題為真命題D.命題“若m2+n2=0,則m=0,且n=0”的否命題是“若m2+n20,則m0或n0”答案C解析若關(guān)于x的方程x2+x-m=0有實(shí)根,則=1+4m0,即m-14,不能推出m>0.所以“若m>0,則方程x2+x-m=0有實(shí)根”的逆命題不是真命題,故選C.9.若a,b都是不等于1的正數(shù),則“3a>3b>3”是“l(fā)oga3<logb3”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案B解析3a>3b>3,a>b>1.log3a>log3b>0.1log3a<1log3b,即loga3<logb3.“3a>3b>3”是“l(fā)oga3<logb3”的充分條件.當(dāng)0<a<1,b>1時(shí),滿足loga3<logb3.而由3a>3b>3,得a>b>1,由loga3<logb3不能推出3a>3b>3,“3a>3b>3”不是“l(fā)oga3<logb3”的必要條件.“3a>3b>3”是“l(fā)oga3<logb3”的充分不必要條件,故選B.10.若實(shí)數(shù)a,b滿足a>0,b>0,則“a>b”是“a+ln a>b+ln b”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析設(shè)f(x)=x+lnx,顯然f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,a>b,f(a)>f(b),即a+lna>b+lnb,故充分性成立,a+lna>b+lnb,f(a)>f(b),a>b,故必要性成立,故“a>b”是“a+lna>b+lnb”的充要條件,故選C.11.(2018江西撫州七校聯(lián)考)A,B,C三名學(xué)生參加了一次考試,A,B的得分均為70分,C的得分為65分.已知命題p:若及格分低于70分,則A,B,C都沒有及格.在下列四個(gè)命題中,p的逆否命題是()A.若及格分不低于70分,則A,B,C都及格B.若A,B,C都及格,則及格分不低于70分C.若A,B,C至少有一人及格,則及格分不低于70分D.若A,B,C至少有一人及格,則及格分高于70分答案C解析根據(jù)原命題與它的逆否命題之間的關(guān)系知,p的逆否命題是:若A,B,C至少有一人及格,則及格分不低于70分.故選C.12.有下列幾個(gè)命題:“若a>b,則a2>b2”的否命題;“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題;“若x2<4,則-2<x<2”的逆否命題.其中真命題的序號(hào)是.答案解析原命題的否命題為“若ab,則a2b2”,是假命題;原命題的逆命題為“若x,y互為相反數(shù),則x+y=0”,是真命題;原命題的逆否命題為“若x2或x-2,則x24”,是真命題.二、能力提升13.已知命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+)內(nèi)是增函數(shù),則m1”,則下列結(jié)論正確的是()A.否命題是“若函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+)內(nèi)是減函數(shù),則m>1”,是真命題B.逆命題是“若m1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+)內(nèi)是增函數(shù)”,是假命題C.逆否命題是“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+)內(nèi)是減函數(shù)”,是真命題D.逆否命題是“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+)內(nèi)不是增函數(shù)”,是真命題答案D解析由f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+)內(nèi)是增函數(shù),可知f(x)=ex-m0在區(qū)間(0,+)內(nèi)恒成立,故m1.因此命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+)內(nèi)是增函數(shù),則m1”是真命題,所以其逆否命題“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+)內(nèi)不是增函數(shù)”是真命題.14.已知條件p:k=3;條件q:直線y=kx+2與圓x2+y2=1相切,則p是q的()A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析直線y=kx+2與圓x2+y2=1相切,可得d=2k2+1=1,解得k=3,所以p是q的充分不必要條件,則p是q的必要不充分條件.15.設(shè)xR,則“2-x0”是“|x-1|1”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析x=-3滿足2-x0,但不滿足|x-1|1,“2-x0”不是“|x-1|1”的充分條件.若|x-1|1,則-1x-11,即0x2,可得2-x0,即“2-x0”是“|x-1|1”的必要條件.故“2-x0”是“|x-1|1”的必要不充分條件.故選B.16.已知p:實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,其中a0,q:實(shí)數(shù)x滿足x2-x-60,x2+2x-8>0,若p是q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案(1,2解析p是q的必要不充分條件,qp,且pq.設(shè)A=x|p(x),B=x|q(x),則BA.又B=x|2<x3,當(dāng)a>0時(shí),A=x|a<x<3a;當(dāng)a<0時(shí),A=x|3a<x<a.故當(dāng)a>0時(shí),有a2,3<3a,解得1<a2;當(dāng)a<0時(shí),顯然AB=,不合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2.17.已知p:12x1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案a0a12解析q:(x-a)(x-a-1)0,解得axa+1.由p是q的充分不必要條件,知12,1a,a+1,則a12,a+11,且等號(hào)不能同時(shí)成立,解得0a12.三、高考預(yù)測(cè)18.若a,bR,則“a>b”是“a(ea+e-a)>b(eb+e-b)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件答案C解析設(shè)f(x)=ex+e-x,則f(x)=ex-e-x=e2x-1ex.當(dāng)x>0時(shí),ex>1,(ex)2-1>0.f(x)>0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)是增函數(shù);a>b>0,f(a)>f(b).ea+e-a>eb+e-b.a(ea+e-a)>b(eb+e-b).當(dāng)x<0時(shí),0<ex<1,(ex)2-1<0.f(x)<0,當(dāng)x<0時(shí),f(x)是減函數(shù);b<a<0,f(a)<f(b).ea+e-a<eb+e-b.a(ea+e-a)>b(eb+e-b).當(dāng)a>0>b時(shí),a(ea+e-a)>b(eb+e-b)顯然成立,綜上所述,當(dāng)a>b時(shí),a(ea+e-a)>b(eb+e-b)恒成立,故充分性成立;反之也成立,故必要性成立;故“a>b”是“a(ea+e-a)>b(eb+e-b)”的充要條件,故選C.