1.5.1比較法在理解比較法的基礎(chǔ)上，會用作差、作商兩種形式的比較法比較兩個代數(shù)式的大小，會用比較法證明較簡單的不等式.自學(xué)導(dǎo)引1.因?yàn)閍>bab>0，要證a>b，只需要證ab>0，同樣要證a<b，只需證ab<0.2.如果a、b都是正數(shù)，要證a>b，只需證>1；如果a、b都是負(fù)數(shù)，要證a>b，只需證<1.基礎(chǔ)自測1.下列關(guān)系中對任意a<b<0的實(shí)數(shù)都成立的是()A.a2<b2 B.lg b2<lg a2C.>1 D.>b2解析a<b<0，a2>b2>0，lg a2>lg b2，故選B.答案B2.已知a>0且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，則P、Q的大小關(guān)系是()A.P>Q B.P<QC.PQ D.大小不確定解析當(dāng)a>1時，a31>a21，loga(a31)>loga(a21)，當(dāng)0<a<1時，a31<a21，loga(a31)>loga(a21)，綜合以上兩種情況知P>Q，故選A.答案A3.設(shè)Pa2b25，Q2aba24a，且ab1，a2.則P、Q的大小關(guān)系是_.解析PQa2b252aba24a(ab1)2(a2)2>0，P>Q.答案P>Q知識點(diǎn)1兩代數(shù)式大小的比較【例1】 已知x<y<0，試比較(x2y2)(xy)與(x2y2)(xy)的大小.解(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy).x<y<0，xy>0，xy<0，2xy(xy)>0，(x2y2)(xy)>(x2y2)(xy).反思感悟：實(shí)數(shù)大小的比較常用a>bab>0或“>1，且b>0a>b”來解決，比較法的關(guān)鍵是第二步的變形，一般來說，變形越徹底，越有利于下一步的符號判斷.1.設(shè)a>0，b>0且ab，試比較aabb與abba的大小.解aabbba.當(dāng)a>b>0時，>1，ab>0，則>1，于是aabb>abba.當(dāng)b>a>0時，0<<1，ab<0，則>1，于是aabb>abba.綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba.知識點(diǎn)2作差比較法證明不等式【例2】 設(shè)a>0，b>0，求證ab.證明方法一：左邊右邊()0.原不等式成立.方法二：左邊>0，右邊>0.1，原不等式成立.反思感悟：用比較法證不等式，一般要經(jīng)歷作差(或作商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要手段是通分、因式分解或配方，在變形過程中，也可利用基本不等式放縮.2.設(shè)ab>0，求證：3a32b33a2b2ab2.證明3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab).因?yàn)閍b>0，所以ab0，3a22b2>0，從而(3a22b2)(ab)0.即3a32b33a2b2ab2.知識點(diǎn)3作商比較法證明不等式【例3】 已知a>b>c>0，求證：aabbcc>(abc)(abc).證明abcabc.a>b>0，ab>0，>1，>1.同理可證>1，>1，aabbcc>(abc)(abc).反思感悟：作商后通常利用不等式的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來判斷商式與1的大小.3.設(shè)m，n，那么它們的大小關(guān)系是m_n.解析1，mn.答案課堂小結(jié)1.比較法有兩種形式，一是作差；二是作商.用作差證明不等式是最基本、最常用的方法.它的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì).2.步驟是：作差(商)變形判斷.變形的目的是為了判斷.若是作差，就判斷與0的大小關(guān)系，為了便于判斷，往往把差式變?yōu)榉e或完全平方式.若是作商，兩邊為正，就判斷與1的大小關(guān)系.3.有時要先對不等式作等價變形再進(jìn)行證明，有時幾種證明方法綜合使用.隨堂演練1.a、b都是正數(shù)，P，Q，則P，Q的大小關(guān)系是() A.P>Q B.P<QC.PQ D.PQ解析1，PQ，應(yīng)選D.答案D2.已知0<x<1，a2，b1x，c，則其中最大的是()A.a B.bC.c D.不能確定解析顯然b>a，下面比較b，c.bc1x<0，C最大，故應(yīng)選C.答案C3.下列命題：當(dāng)b>0時，a>b>1；當(dāng)b>0時，a<b<1；當(dāng)a>0，b>0時， >1a>b；當(dāng)ab>0時，>1a>b，其中真命題有()A. B.C. D.解析正確，中若a<0時不成立，故選A.答案A4.若1<a<b<0，則，a2，b2中值最小的是_.解析a<b<0，>，又a2，b2都為正數(shù)，最小的為.答案基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.若a，b為不等的正數(shù)，則(abkakb)(ak1bk1) (kN*)的符號()A.恒正 B.恒負(fù)C.與k的奇偶性有關(guān) D.與a，b大小無關(guān)解析(abkakb)ak1bk1bk(ab)ak(ba)(ab)(bkak)a>0，b>0，若a>b，則ak>bk，(ab)(bkak)<0；若a<b，則ak<bk，(ab)(bkak)<0.答案B2.設(shè)a、b、c、d、m、nR，P，Q，則有()A.PQ B.PQC.P>Q D.P<Q解析采用先平方后作差法P2Q2(abcd2)2adbc0，P2Q2，又P>0，Q>0，PQ.答案B3.對x1>x2>0，0<a<1，記y1，y2，則x1x2與y1y2的關(guān)系為()A.x1x2>y1y2 B.x1x2y1y2C.x1x2<y1y2 D.不能確定，與a有關(guān)答案C4.已知a1a2，b1b2，則a1b1a2b2與a1b2a2b1的大小關(guān)系是_.解析a1b1a2b2a1b2a2b1a1(b1b2)a2(b2b1)(b2b1)(a2a1)0a1b1a2b2a1b2a2b1.答案a1b1a2b2a1b2a2b15.設(shè)a>5，則與的大小關(guān)系是_.解析因?yàn)閍>5，只需比較與2的大小，兩數(shù)平方，即比較與a4的大小，再平方，只需比較a28a15與a28a16的大小.答案<6.設(shè)a、b(0，)，且ab，比較與ab的大小.解(ab)(a3b3)(ab)(ab)2(a2abb2)，a、b(0，)，且ab，ab，(ab)2，(a2abb2)，均為正數(shù)，(ab)>0，>ab.綜合提高7.設(shè)asin 15cos 15，bsin 16cos 16，則下列各式正確的是()A.a<<b B.a<b<C.b<a< D.b<<a解析asin 15cos 15sin 60，bsin 16cos 16sin 61，a<b，排除C、D.又ab，>absin 60sin 61sin 61>sin 61b，故a<b<成立.答案B8.已知a，b，c，d都是正數(shù)，且bc>ad，則，中最大的是()A. B.C. D.解析<0，<，>0，>0，所以最大的是.答案D9.設(shè)xa2b25，y2aba24a，若xy，則實(shí)數(shù)a、b應(yīng)滿足的條件是_.解析若xy，則xya2b252aba24a(ab1)2(a2)20.只要a20，ab10兩個中滿足一個，即可使得xy.答案a2或ab110.設(shè)a0，b0，則下列兩式大小關(guān)系為lg(1)_lg(1a)lg(1b).解析(1a)(1b)(12)ab2()20，lg(1a)(1b)lg(1)2，即lg(a1)lg(1b)lg(1).答案11.設(shè)mR，a>b>1，f(x)，比較f(a)與f(b)的大小.解f(a)f(b).a>b>1，ba<0，a1>0，b1>0，<0.當(dāng)m>0時，<0，f(a)<f(b)；當(dāng)m<0時，>0，f(a)>f(b)；當(dāng)m0時，0，f(a)f(b).12.已知a，bR，nN，求證：(ab)(anbn)2(an1bn1).證明(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnbanbn12an12bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan).(1)若a>b>0，bnan<0，ab>0，(ab)(bnan)<0.(2)若b>a>0，bnan>0，ab<0，(ab)(bnan)<0.(3)若ab>0，(bnan)(ab)0，綜上(1)(2)(3)可知，對a，bR，nN，都有(ab)(anbn)2(an1bn1).