第2講計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)歸納法考情考向分析1.考查分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理與排列、組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，B級(jí)要求. 2.考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差，B級(jí)要求.3.考查數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，B級(jí)要求熱點(diǎn)一 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理例1(2018蘇州調(diào)研)已知fn(x)n，nN*.(1)當(dāng)a1時(shí)，求f5(x)展開式中的常數(shù)項(xiàng)；(2)若二項(xiàng)式fn(x)的展開式中含有x7的項(xiàng)，當(dāng)n取最小值時(shí)，展開式中含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為10，求實(shí)數(shù)a的值解二項(xiàng)式n的展開式通項(xiàng)為Tr1CnrrC(3a)rx2n5r (r0,1,2，n)，(1)當(dāng)n5，a1時(shí)，f(x)的展開式的常數(shù)項(xiàng)為T39C90.(2)令2n5r7，則rN，所以n的最小值為6，當(dāng)n6時(shí)，二項(xiàng)式6的展開式通項(xiàng)為Tr1C(3a)rx125r (r0,1,2，6)，則展開式中含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)為T1，T2，T3，它們的系數(shù)之和為CC(3a)C(3a)2135a218a110，即15a22a10，解得a或.思維升華涉及二項(xiàng)式定理的試題要注意以下幾個(gè)方面：(1)某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與這一項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，必須嚴(yán)格加以區(qū)別(2)根據(jù)所給式子的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)二項(xiàng)式定理的逆用或變用，注意活用二項(xiàng)式定理是解決二項(xiàng)式問(wèn)題應(yīng)具備的基本素質(zhì)(3)關(guān)于x的二項(xiàng)式(abx)n(a，b為常數(shù))的展開式可以看成是關(guān)于x的函數(shù)，且當(dāng)x給予某一個(gè)值時(shí)，可以得到一個(gè)與系數(shù)有關(guān)的等式，所以，當(dāng)展開式涉及到與系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可以利用函數(shù)思想來(lái)解決跟蹤演練1(2018江蘇丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)期中)設(shè)n3，nN*，在集合的所有元素個(gè)數(shù)為2的子集中，把每個(gè)子集的較大元素相加，和記為a，較小元素之和記為b.(1)當(dāng)n3時(shí)，求a，b的值；(2)求證：對(duì)任意的n3，nN*，為定值(1)解當(dāng)n3時(shí)，集合的所有元素個(gè)數(shù)為2的子集為， ，所以a2338, b1124.(2)證明當(dāng)n3，nN*時(shí)，依題意，b1C2C3C，a2C3C4CCnC 213243n.則CCCC CCCCCCCC，所以a2C.又ab(n1)(123n)3C，所以bC.故.熱點(diǎn)二隨機(jī)變量及其概率分布例2(2018南京師大附中考前模擬)如圖，設(shè)P1，P2，P6為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn)現(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S.(1)求S的概率；(2)求S的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(S)解(1)從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形共有C種不同選法，其中S的為有一個(gè)角是30的直角三角形，(如P1P4P5)，共6212種，所以P.(2)S的所有可能取值為，.S的為頂角是120的等腰三角形(如P1P2P3)，共6種，所以P.S的為等邊三角形(如P1P3P5)，共2種，所以P.又由(1)知P，故S的概率分布為SP所以E(S).思維升華求解一般的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的基本方法先根據(jù)隨機(jī)變量的意義，確定隨機(jī)變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機(jī)變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出概率分布，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算跟蹤演練2(2018南通、徐州、揚(yáng)州等六市模擬)在某公司舉行的年終慶典活動(dòng)中，主持人利用隨機(jī)抽獎(jiǎng)軟件進(jìn)行抽獎(jiǎng)：由電腦隨機(jī)生成一張如圖所示的33表格，其中1格設(shè)獎(jiǎng)300元，4格各設(shè)獎(jiǎng)200元，其余4格各設(shè)獎(jiǎng)100元，點(diǎn)擊某一格即顯示相應(yīng)金額某人在一張表中隨機(jī)不重復(fù)地點(diǎn)擊3格，記中獎(jiǎng)的總金額為X元(1)求概率P；(2)求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X)解(1)從33表格中隨機(jī)不重復(fù)地點(diǎn)擊3格，共有C種不同情形，則事件“X600”包含兩類情形：第一類是3格各得獎(jiǎng)200元；第二類是1格得獎(jiǎng)300元，一格得獎(jiǎng)200元，一格得獎(jiǎng)100元，其中第一類包含C種情形，第二類包含CCC種情形P.(2)X的所有可能值為300,400,500,600,700.則P，P，P，P(X600)，P.X的概率分布為X300400500600700PE300400500600700500.熱點(diǎn)三數(shù)學(xué)歸納法例3(2018江蘇姜堰、溧陽(yáng)、前黃中學(xué)聯(lián)考)已知數(shù)列滿足anC，nN*.(1)求a1, a2, a3的值；(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明解(1)a12, a24, a38.(2)猜想： an2n(nN*)證明如下：當(dāng)n1時(shí)，由(1)知結(jié)論成立； 假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時(shí)結(jié)論成立，則有akC2k.則當(dāng)nk1時(shí)，ak1C.由CCC得ak1C2k2k 2k.又CC，ak12k，于是ak12kak1.所以ak12k1,故nk1時(shí)結(jié)論也成立由得，an2n ，nN*.思維升華在數(shù)學(xué)歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復(fù)雜的式子中，注意由nk到nk1時(shí)，式子中項(xiàng)數(shù)的變化應(yīng)仔細(xì)分析，觀察通項(xiàng)同時(shí)還應(yīng)注意，不用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法跟蹤演練3(2018常州期末)記(n2且nN*)的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為Sn，含x2項(xiàng)的系數(shù)為Tn.(1)求Sn；(2)若an2bnc對(duì)n2,3,4成立，求實(shí)數(shù)a，b，c的值；(3)對(duì)(2)中的實(shí)數(shù)a，b，c用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意n2且nN*, an2bnc都成立(1)解Sn .(2)解， ， ，則解得a， b， c，(3)證明當(dāng)n2時(shí)，由(2)知等式成立；假設(shè)nk(kN*，且k2)時(shí)，等式成立，即k2k.當(dāng)nk1時(shí)，由f(x)，知Tk1Sk Tk，所以 ，又2 ，等式也成立；綜上可得，對(duì)任意n2且nN*，都有成立1(2018全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷)(1)求4C7C(nk，且n，kN*)的值(2)設(shè)f(n)1C32C32nC3n(nN*)，求方程f(n)3 840的所有解解(1)因?yàn)?C435140, 7C720140，kCk nnC(nk，且n，kN*)所以4C7C1.(2)由(1)知kCnC對(duì)1kn，且n，kN*成立所以f(n)n(C3C32C3n)，所以f(n)3n(CC3C3n1)3n(13)n13n4n1(nN*)又因?yàn)?4>1，即f(n1)>f(n)對(duì)nN*成立，所以f(n)是關(guān)于n(nN*)的遞增函數(shù)又因?yàn)閒(n)3 8403544f(5)，所以當(dāng)且僅當(dāng)n5時(shí)才滿足條件，即n5是方程f(n)3 840的唯一解2(2018江蘇)設(shè)nN*，對(duì)1,2，n的一個(gè)排列i1i2in，如果當(dāng)st時(shí)，有isit，則稱(is，it)是排列i1i2in的一個(gè)逆序，排列i1i2in的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù)例如：對(duì)1,2,3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2,1)，(3,1)，則排列231的逆序數(shù)為2.記fn(k)為1,2，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù)(1)求f3(2)，f4(2)的值；(2)求fn(2)(n5)的表達(dá)式(用n表示)解(1)記(abc)為排列abc的逆序數(shù)，對(duì)1,2,3的所有排列，有(123)0，(132)1，(213)1，(231)2，(312)2，(321)3，所以f3(0)1，f3(1)f3(2)2.對(duì)1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置因此，f4(2)f3(2)f3(1)f3(0)5.(2)對(duì)一般的n(n4)的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)：12n，所以fn(0)1.逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，所以fn(1)n1.為計(jì)算fn1(2)，當(dāng)1,2，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n1添加進(jìn)原排列，n1在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置因此，fn1(2)fn(2)fn(1)fn(0)fn(2)n.當(dāng)n5時(shí)，fn(2)fn(2)fn1(2)fn1(2)fn2(2)f5(2)f4(2)f4(2)(n1)(n2)4f4(2)，因此，當(dāng)n5時(shí)，fn(2).3已知實(shí)數(shù)數(shù)列an滿足：a13，an(an12)，n2.證明：當(dāng)n2時(shí)，an是單調(diào)減數(shù)列證明當(dāng)n1時(shí)，有an1anan(n3nan)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：an>1(n2，nN*)(1)當(dāng)n2時(shí)，a2(32)>1；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k2)時(shí)，結(jié)論成立，即ak>1.那么，ak1(ak2)>1>1.故由(1)(2)知，an>1(n2，nN*)因此，當(dāng)n2，nN*時(shí)，an1an(n3nan)<0，即當(dāng)n2時(shí)，an是單調(diào)減數(shù)列4(2018江蘇鹽城中學(xué)模擬)某樂(lè)隊(duì)參加一戶外音樂(lè)節(jié)，準(zhǔn)備從3首原創(chuàng)新曲和5首經(jīng)典歌曲中隨機(jī)選擇4首進(jìn)行演唱(1)求該樂(lè)隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率；(2)假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為a(a為常數(shù))，演唱一首經(jīng)典歌曲觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為2a.求觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)之和X的概率分布及數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“至少演唱1首原創(chuàng)新曲”為事件A，則事件A的對(duì)立事件為“沒(méi)有1首原創(chuàng)新曲被演唱”所以P(A)1P()1.所以該樂(lè)隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率為.(2)設(shè)隨機(jī)變量x表示被演唱的原創(chuàng)新曲的首數(shù)，則x的所有可能值為0,1,2,3.依題意知，Xax2a(4x)，故X的所有可能值依次為8a,7a,6a,5a.則P(X8a)P(x0)，P(X7a)P(x1)，P(X6a)P(x2)，P(X5a)P(x3).從而X的概率分布為X8a7a6a5aP所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)8a7a6a5aa.A組專題通關(guān)1某年級(jí)星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機(jī)選擇1節(jié)作為綜合實(shí)踐課(上午不排該課程)，張老師與王老師分別任教甲、乙兩個(gè)班的綜合實(shí)踐課程(1)求這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率；(2)設(shè)這兩個(gè)班“在一周中同時(shí)上綜合實(shí)踐課的節(jié)數(shù)”為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望E(X)解(1)這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率為P1.(2)由題意得XB，P(Xk)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.所以X的概率分布為X012345P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)5.2(2018江蘇省南京師大附中模擬)設(shè)集合A，B是非空集合M的兩個(gè)不同子集(1)若Ma1，a2，且A是B的子集，求所有有序集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)；(2)若Ma1，a2，a3，an，且A的元素個(gè)數(shù)比B的元素個(gè)數(shù)少，求所有有序集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)解(1)若集合B含有2個(gè)元素，即Ba1，a2，則A，則(A，B)的個(gè)數(shù)為3；若集合B含有1個(gè)元素，則B有C種，不妨設(shè)Ba1，則A，此時(shí)(A，B)的個(gè)數(shù)為C12.綜上，(A，B)的個(gè)數(shù)為5.(2)集合M有2n個(gè)子集，又集合A，B是非空集合M的兩個(gè)不同子集，則不同的有序集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為2n(2n1)若A的元素個(gè)數(shù)與B的元素個(gè)數(shù)一樣多，則不同的有序集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為C(C1)C(C1)C(C1)C(C1) 2222(CCCC)，又(x1)n(x1)n的展開式中xn的系數(shù)為2222, 且(x1)n(x1)n(x1)2n的展開式中xn的系數(shù)為C，所以2222C.因?yàn)镃CCC2n，所以當(dāng)A的元素個(gè)數(shù)與B的元素個(gè)數(shù)一樣多時(shí)，有序集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為C2n.所以，A的元素個(gè)數(shù)比B的元素個(gè)數(shù)少時(shí)，有序集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為. 3已知2n1a0a1xa2x2a2n1x2n1，nN*.記Tn ank.(1)求T2的值；(2)化簡(jiǎn)Tn的表達(dá)式，并證明：對(duì)任意的nN*, Tn都能被4n2整除解由二項(xiàng)式定理，得aiC(i0,1,2，2n1)(1)T2a23a15a0C3C5C30.(2)CC，Tn ank CC C2 CC2CC222n1C.TnC2C.CN*，Tn能被4n2整除4是否存在正整數(shù)m使得f(n)(2n7)3n9對(duì)任意正整數(shù)n都能被m整除？若存在，求出最大的m的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由解由f(n)(2n7)3n9，得f(1)36，f(2)336，f(3)1036，f(4)3436，由此猜想m36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時(shí)，結(jié)論成立，即f(k)能被36整除，設(shè)f(k)(2k7)3k9t36.當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)2(k1)73k19(2k7)3k123k193(2k7)3k918(3k11)336t182s36(3ts)所以當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立由可知，對(duì)一切正整數(shù)n，存在正整數(shù)m，使得f(n)(2n7)3n9都能被m整除，m的最大值為36.B組能力提高5(2018常州模擬)已知正四棱錐PABCD的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)相等，在這個(gè)正四棱錐的8條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機(jī)變量的值：若這兩條棱所在的直線相交，則的值是這兩條棱所在直線的夾角大小(弧度制)；若這兩條棱所在的直線平行，則0；若這兩條棱所在的直線異面，則的值是這兩條棱所在直線所成角的大小(弧度制)(1)求P的值；(2)求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望E.解根據(jù)題意，該四棱錐的四個(gè)側(cè)面均為等邊三角形，底面為正方形，容易得到PAC，PBD為等腰直角三角形， 的可能取值為： 0, ， ，共C28種情況，其中，當(dāng)0時(shí)，有2種；當(dāng)時(shí)，有342420(種)；當(dāng)時(shí)，有246(種)(1)P.(2)P， P，根據(jù)(1)的結(jié)論，隨機(jī)變量的概率分布如下表：0P根據(jù)上表， E0.6設(shè)P(n，m)(1)kC，Q(n，m)C，其中m，nN*.(1)當(dāng)m1時(shí)，求P(n,1)Q(n,1)的值；(2)對(duì)mN*，證明：P(n，m)Q(n，m)恒為定值(1)解當(dāng)m1時(shí)，P(n,1)(1)kC(1)kC，又Q(n,1)Cn1，顯然P(n,1)Q(n,1)1.(2)證明P(n，m)(1)kC1(1)k(CC)(1)n1(1)kC(1)kCP(n1，m)(1)kCP(n1，m)(1)kCP(n1，m)P(n，m)即P(n，m)P(n1，m)，由累乘，易求得P(n，m)，又Q(n，m)C，所以P(n，m)Q(n，m)1.7已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1，a2，a3是m展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)(1)求m展開式的中間項(xiàng)；(2)當(dāng)n2時(shí)，試比較與的大小解(1)m1CC2Cm，依題意a11，a2m，a3，由2a2a1a3，可得m1(舍去)或m8.所以m展開式的中間項(xiàng)是第五項(xiàng)，T5C4x4.(2)由(1)知，an3n2，當(dāng)n2時(shí)，>；當(dāng)n3時(shí)，>>>.猜測(cè)：當(dāng)n2時(shí)，>.以下用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：當(dāng)n2時(shí)，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)，>，則當(dāng)nk1時(shí)，>>.由k3可知，3k27k3>0，即>.綜合，可得當(dāng)n2時(shí)，>.8設(shè)|<，n為正整數(shù)，數(shù)列an的通項(xiàng)公式ansin tann，其前n項(xiàng)和為Sn.(1)求證：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an(1)tann. (2)求證：對(duì)任意正整數(shù)n，S2nsin 21(1)n1tan2n證明(1)因?yàn)閍nsin tann.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n2k(kN*)，ana2ksin tan2ksin ktan2k0，an0.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n2k1(kN*)，ana2k1sin tan2k1sintan2k1.當(dāng)k2m(mN*)時(shí)，ana2k1sintan4m1sintan4m1tan4m1，此時(shí)2m1，ana2k1tan4m1(1)2m1tan4m1(1)tann.當(dāng)k2m1(mN*)時(shí)，ana2k1sintan4m3sintan4m3tan4m3，此時(shí)2m2，ana2k1tan4m3(1)2m2tan4m3(1)tann.綜上，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an(1)tann.(2)當(dāng)n1時(shí)，由(1)得S2a1a2tan ，sin 21(1)n1tan2nsin 2(1tan2)sin cos tan .故當(dāng)n1時(shí)，命題成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時(shí)命題成立，即S2ksin 21(1)k1tan2k當(dāng)nk1時(shí)，由(1)得S2(k1)S2ka2k1a2k2S2ka2k1sin 21(1)k1tan2k(1)ktan2k1sin 2sin 2sin 2sin 21(1)k2tan2k2即當(dāng)nk1時(shí)命題成立綜上所述，對(duì)正整數(shù)n，命題成立