課時作業(yè)(二十三)第23講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用時間 /45分鐘分值 /90分基礎(chǔ)熱身1.在相距500m的A,B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C,若CAB=75,CBA=60,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為 ()A.1256mB.2506mC.1006mD.756m圖K23-12.如圖K23-1,一艘海輪從A處出發(fā),以每小時42海里的速度沿南偏東40的方向直線航行,20分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是()A.72 海里B.82 海里C.103 海里D.123 海里圖K23-23.如圖K23-2所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東20,燈塔B在觀察站C的南偏東40,則燈塔A與B之間的距離為()A.akmB.2akmC.2akmD.3akm4.輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C,兩船航行方向的夾角為120,兩船的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/h,則下午2時兩船之間的距離是nmile.能力提升5.已知A,B,C是海面上的三座島嶼,測得ABC=30,BAC=105,從島嶼A到島嶼C需要30min,按照同樣的速度,從島嶼A到島嶼B需要(取21.4,31.7)()A.51minB.42minC.39minD.36min圖K23-36.如圖K23-3,測量河對岸的塔高AB時,可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D,測得BCD=15,BDC=30,CD=30m,并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60,則塔高AB等于()A.56mB.153mC.52mD.156m圖K23-47.如圖K23-4,飛機(jī)的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi),若飛機(jī)的高度為海拔18km,速度為1000km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0,經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5,則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km,參考數(shù)據(jù):31.732)()A.11.4kmB.6.6kmC.6.5kmD.5.6km圖K23-58.如圖K23-5所示,一艘海輪從A處出發(fā),測得燈塔在海輪的北偏東15方向,與海輪相距20nmile的B處,海輪按北偏西60的方向航行了30min后到達(dá)C處,又測得燈塔在海輪的北偏東75的方向,則海輪的速度為()A.32nmile/minB.23nmile/minC.63nmile/minD.33nmile/min圖K23-69.校運(yùn)動會開幕式上舉行升旗儀式,旗桿正好處在坡度為15的看臺的某一列的正前方,從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30,第一排和最后一排的距離為106m(如圖K23-6所示),旗桿底部與第一排在一個水平面上.若國歌時長為50s,要求升旗手勻速升旗,則升旗速度是 ()A.0.4m/sB.0.6m/sC.0.7m/sD.0.8m/s10.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水平面上,由炮臺頂部測得俯角分別為45和60,而且兩條船與炮臺底部連線成30角,則兩條船相距m.圖K23-711.如圖K23-7,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD=m.12.(12分)如圖K23-8所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20nmile的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援,求cos的值.圖K23-813.(13分)某航模興趣小組的同學(xué),為了測定在湖面上航模航行的速度,采用如下辦法:在岸邊設(shè)置兩個觀察點(diǎn)A,B,且AB長為80m,當(dāng)航模在C處時,測得ABC=105和BAC=30,經(jīng)過20s后,航模直線航行到D處,此時測得BAD=90和ABD=45.請你根據(jù)以上條件求出航模的速度.(答案保留根號)圖K23-9難點(diǎn)突破14.(5分)如圖K23-10,據(jù)氣象部門預(yù)報,在距離某碼頭南偏東45方向600km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動,距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為()A.14hB.15hC.16hD.17h圖K23-10圖K23-1115.(5分)2018南昌二模 如圖K23-11,有一塊半徑為20米,圓心角AOB=23的扇形展示臺,展示臺被分成了四個區(qū)域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中AOC=BOD).某次菊花展分別在這四個區(qū)域按上述順序依次擺放泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜,預(yù)計這三種菊花展示帶來的日效益依次是50元/米2,30元/米2,40元/米2.為使預(yù)計日總效益最大,COD的余弦值應(yīng)等于.課時作業(yè)(二十三)1.B解析 在ABC中,由已知可得ACB=45,由正弦定理得ACsin 60=500sin 45,所以AC=5003222=2506(m).故選B.2.A解析 依題意,在 ABC中,AB=422060=14(海里),CAB=30,ACB=45,根據(jù)正弦定理得BCsin 30=ABsin 45,解得BC=72(海里).故選A.3.D解析 由題圖可知,ACB=120,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=a2+a2-2aa-12=3a2,解得AB=3a(km).故選D.4.70解析 設(shè)兩船之間的距離為dnmile,則d2=502+302-25030cos120=4900,所以d=70(nmile),即兩船相距70nmile.5.B解析 設(shè)從島嶼A到島嶼C的速度為v,從島嶼A到島嶼B需要tmin,由正弦定理,得30vsin 30=vtsin(180-30-105),得t=30sin 45sin 30=30242(min).故選B.6.D解析 在BCD中,CBD=180-15-30=135,由正弦定理得BCsin 30=30sin 135,所以BC=152(m).在直角三角形ABC中,AB=BCtanACB=1523=156(m).故選D.7.B解析 因?yàn)锳B=1000160=503(km),ACB=45,在ABC中,由正弦定理得BC=ABsin 45sin30=5032(km),所以航線離山頂?shù)母叨萮=5032sin75=5032sin(45+30)11.4(km).所以山頂?shù)暮０胃叨葹?8-11.4=6.6(km).故選B.8.C解析 由已知得ACB=45,B=60,由正弦定理得ACsinB=ABsinACB,所以AC=ABsinBsinACB=20sin 60sin 45=106(nmile),所以海輪航行的速度為10630=63(nmile/min).故選C.9.B解析 依題意可知AEC=45,ACE=180-60-15=105,所以EAC=180-45-105=30.由正弦定理可知CEsinEAC=ACsinCEA,所以AC=CEsinCEAsinEAC=203(m).所以在直角三角形ABC中,AB=ACsinACB=20332=30(m).因?yàn)閲钑r長為50s,所以升旗速度為3050=0.6(m/s).故選B.10.103解析 如圖,設(shè)炮臺的頂部為A,底部為O,兩條小船分別為M,N,且由炮臺頂部測得M的俯角為60,由炮臺頂部測得N的俯角為45,則AO=30m,AMO=60,ANO=45,MON=30,ON=AOtan45=30(m),OM=AOtan30=3330=103(m),在MON中,由余弦定理得MN=900+300-23010332=300=103(m).11.1006解析 依題意,在ABC中,AB=600m,BAC=30,ACB=75-30=45,由正弦定理得BCsinBAC=ABsinACB,即BCsin 30=600sin 45,所以BC=3002(m).在BCD中,CBD=30,CD=BCtanCBD=3002tan30=1006(m).12.解:在ABC中,AB=40nmile,AC=20nmile,BAC=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=2800,得BC=207(nmile).由正弦定理,得ABsinACB=BCsinBAC,所以sinACB=ABBCsinBAC=217.由BAC=120,知ACB為銳角,則cosACB=277.由=ACB+30,得cos=cos(ACB+30)=cosACBcos30-sinACBsin30=2114.13.解:在ABD中,因?yàn)锽AD=90,ABD=45,所以ADB=45,所以AD=AB=80m,所以BD=802m.在ABC中,ACB=180-105-30=45,由正弦定理得BCsin30=ABsin45,所以BC=ABsin30sin45=801222=402(m).在DBC中,DC2=DB2+BC2-2DBBCcos60=(802)2+(402)2-280240212=9600.所以DC=406(m),航模的速度v=40620=26(m/s).故航模的速度為26m/s.14.B解析 記開始熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A,t小時后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點(diǎn)位置,在OAB中,OA=600,AB=20t,OAB=45,根據(jù)余弦定理得OB2=6002+400t2-260020t22,令OB24502,得4t2-1202t+15750,解得302-152t302+152,所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為302+152-302-152=15(h).15.12解析 設(shè)COD=0<<23,則AOC=BOD=3-2.展示臺的各區(qū)域的面積依次為SOCD=12202sin=200sin,S弓形CMD=12202-12202sin=200-200sin,S扇形AOC=S扇形BOD=122023-2=2003-2,所以預(yù)計日總效益y=SOCD50+S弓形CMD30+(S扇形AOC+S扇形BOD)40=20002sin-+83.令f()=2sin-+83,則f()=2cos-1.當(dāng)0<<3時,f()>0,當(dāng)3<<23時,f()<0,所以當(dāng)f()=0,即cos=12時,f()取得最大值,即預(yù)計日總效益最大,所以COD的余弦值等于12.