專題突破三數(shù)列通項(xiàng)公式的求法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是數(shù)列問(wèn)題中的一類重要題型，在數(shù)列學(xué)習(xí)和考試中占有很重要的位置，本專題就來(lái)談?wù)剶?shù)列通項(xiàng)公式的求法.一、通過(guò)數(shù)列前若干項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式例1由數(shù)列的前n項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式：(1)3,5,3,5,3,5，；(2)，；(3)2，；(4)，.解(1)這個(gè)數(shù)列前6項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為5.所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an4(1)n，nN.(2)數(shù)列中的項(xiàng)以分?jǐn)?shù)形式出現(xiàn)，分子為項(xiàng)數(shù)，分母比分子大1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an，nN.(3)數(shù)列可化為11,2，3，4，5，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為ann，nN.(4)數(shù)列可化為，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an，nN.反思感悟這類數(shù)列通常是由基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列通過(guò)加減乘除運(yùn)算得到，故解決這類問(wèn)題可以根據(jù)所給數(shù)列的特點(diǎn)(遞增及增長(zhǎng)速度、遞減及遞減速度、是否擺動(dòng)數(shù)列)聯(lián)想基本數(shù)列，再考察它與基本數(shù)列的關(guān)系需要注意的是，對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，利用前若干項(xiàng)歸納出的通項(xiàng)公式屬于“猜想”，而且表達(dá)式不一定唯一跟蹤訓(xùn)練1由數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式：(1)1，7,13，19,25，；(2)，；(3)1，.解(1)數(shù)列每一項(xiàng)的絕對(duì)值構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n+1(6n5)，nN.(2)數(shù)列化為，分子，分母分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an，nN.(3)數(shù)列化為，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n+1，nN.二、利用遞推公式求通項(xiàng)公式命題角度1累加、累乘例2(1)數(shù)列an滿足a11，對(duì)任意的nN都有an1a1ann，求通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列an滿足a1，an1an，求an.解(1)an1ann1，an1ann1，即a2a12，a3a23，anan1n(n2)等式兩邊同時(shí)相加得ana1234n(n2)即ana1234n1234n.又a11也適合上式，an，nN.(2)由條件知，分別令n1,2,3，n1，代入上式得(n1)個(gè)等式，累乘，即(n2)，又a1，an.又a1也適合上式，an，nN.反思感悟形如an1anf(n)的遞推公式求通項(xiàng)可以使用疊加法，步驟如下：第一步將遞推公式寫成an1anf(n)；第二步當(dāng)n2時(shí)，依次寫出anan1，a2a1，并將它們疊加起來(lái)；第三步得到ana1的值，解出an；第四步檢驗(yàn)a1是否滿足所求通項(xiàng)公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式疊乘法類似跟蹤訓(xùn)練2在數(shù)列an中，a11，anan1n1(n2,3,4，)，求an的通項(xiàng)公式解當(dāng)n1時(shí)，a11，當(dāng)n2時(shí)，這n1個(gè)等式累加得，ana112(n1)，故ana1且a11也滿足該式，an(nN)命題角度2構(gòu)造等差(比)數(shù)列例3已知數(shù)列an滿足an13an2，且a11，則an_.答案23n-11解析設(shè)an1A3(anA)，化簡(jiǎn)得an13an2A.又an13an2，2A2，即A1.an113(an1)，即3.數(shù)列an1是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a112，公比為3.則an123n-1，即an23n-11.反思感悟形如an1panq(其中p，q為常數(shù)，且pq(p1)0)可用待定系數(shù)法求得通項(xiàng)公式，步驟如下：第一步假設(shè)遞推公式可改寫為an1tp(ant)；第二步由待定系數(shù)法，解得t；第三步寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；第四步寫出數(shù)列an通項(xiàng)公式跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列an滿足an12an35n，a16，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解設(shè)an15n+12(an5n)，將an12an35n代入式，得2an35n5n+12an25n，等式兩邊消去2an，得35n5n+125n，兩邊除以5n，得352，則1，代入式得an15n+12(an5n)由a1516510及式得an5n0，則2，則數(shù)列an5n是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an5n2n-1，故an2n-15n(nN)命題角度3預(yù)設(shè)階梯轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列例4在數(shù)列an中，a12，an14an3n1，nN.(1)證明：數(shù)列ann是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN.因?yàn)閍1110，所以ann0，所以4，所以數(shù)列ann是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列(2)解由(1)，可知ann4n-1，nN，于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n-1n，nN.反思感悟課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)遞推公式要求不高，故對(duì)遞推公式的考查也比較簡(jiǎn)單，一般先構(gòu)造好等差(比)數(shù)列讓學(xué)者證明，再在此基礎(chǔ)上求出通項(xiàng)公式，故同學(xué)們不必在此處挖掘過(guò)深跟蹤訓(xùn)練4在數(shù)列an中，a11,3anan1anan10(n2，nN)(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明由3anan1anan10(n2)，整理得3(n2)，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)可得13(n1)3n2，所以an，nN.三、利用前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式例5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2an4，nN，則an等于()A2n+1B2nC2n-1D2n-2答案A解析因?yàn)镾n2an4，所以n2時(shí)，Sn-12an-14，兩式相減可得SnSn12an2an1，即an2an2an-1，整理得an2an1，因?yàn)镾1a12a14，即a14，所以2.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則an42n-12n+1，故選A.反思感悟已知Snf(an)或Snf(n)的解題步驟：第一步利用Sn滿足條件p，寫出當(dāng)n2時(shí)，Sn1的表達(dá)式；第二步利用anSnSn1(n2)，求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式；第三步若求出n2時(shí)的an的通項(xiàng)公式，則根據(jù)a1S1求出a1，并代入n2時(shí)的an的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式如果求出的是an的遞推公式，則問(wèn)題化歸為例3形式的問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練5在數(shù)列an中，a11，a12a23a3nanan1(nN)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.解由a12a23a3nanan1，得當(dāng)n2時(shí)，a12a23a3(n1)an1an，兩式作差得nanan1an，得(n1)an13nan(n2)，即數(shù)列nan從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列，且a11，a21，于是2a22，故當(dāng)n2時(shí)，nan23n-2.于是an1已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2,0,2,0，則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不可能是()Aan(1)n-11BanCan2sinDancos(n1)1答案C解析對(duì)n1,2,3,4進(jìn)行驗(yàn)證，知an2sin不合題意，故選C.2數(shù)列0，的一個(gè)通項(xiàng)公式為()Aan(nN)Ban(nN)Can(nN)Dan(nN)答案C解析注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對(duì)照選項(xiàng)排除即可3已知數(shù)列an滿足a11，anan1(n2)，則an_.答案解析因?yàn)閍nan1(n2)，所以an1an2，a2a1.以上(n1)個(gè)式子相乘得ana1.當(dāng)n1時(shí)，a11也滿足an.綜上an.4數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn23n1，nN，則它的通項(xiàng)公式為_答案an解析當(dāng)n1時(shí)，a1S15；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n2.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an5在等比數(shù)列an中，若公比q4，且前三項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式是_答案an4n-1解析依題意a14a142a121，所以a11，所以ana1qn-14n-1.6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n.求an的通項(xiàng)公式解因?yàn)镾n2n23n，所以當(dāng)n2時(shí)，Sn12(n1)23(n1)2n27n5，所以anSnSn14n5，n2，又當(dāng)n1時(shí)，a1S11，滿足an4n5，所以an4n5，nN.7已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an，其中0.證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式解由題意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.所以an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以ann1，nN.一、選擇題1已知數(shù)列an中，a12，an1an2n(nN)，則a100的值是()A9900B9902C9904D11000答案B解析a100(a100a99)(a99a98)(a2a1)a12(999821)2229 902.2已知數(shù)列an中，a11，an1，則這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)為()A2n1B2n1C.D.答案C解析an1，a11，2.為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)1.1(n1)22n1，an.3已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a11，且滿足an1an，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an等于()A2nBn(n1)C.D.答案C解析an1an，2n+1an12nan2，即2n+1an12nan2.又21a12，數(shù)列2nan是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，2nan2(n1)22n，an.4已知數(shù)列an滿足aa4，且a11，an>0，則an等于()A.B.C.D8n答案A解析aa4，數(shù)列a是等差數(shù)列，且首項(xiàng)a1，公差d4，a1(n1)44n3.又an>0，an.5已知數(shù)列an滿足：Sn1an(nN)，其中Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則an的通項(xiàng)公式an等于()A.B.nC21-2nD2n答案B解析因?yàn)镾n1an，所以Sn11an1，得an1an1an，所以an1an.n1時(shí)，a11a1，解得a1，所以an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以ann-1n.6某種細(xì)胞開始時(shí)有2個(gè)，一小時(shí)后分裂為4個(gè)并死去1個(gè)，兩小時(shí)后分裂為6個(gè)并死去1個(gè)，按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，100小時(shí)后細(xì)胞的存活數(shù)為()A21001B21001C2991D2991答案B解析由題意得2，an2n-11，a1012101-1121001.二、填空題7如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2an1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.答案2n-1解析當(dāng)n1時(shí)，S12a11，a12a11，a11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2an1)(2an11)，an2an1，an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，an2n-1，nN.8等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_答案an23n-1解析當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意因此a12，a26，a318.所以公比q3，故an23n-1.9在數(shù)列an中，a11，an1an，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.答案n解析當(dāng)n2時(shí)，ana1n，n1時(shí)，a11也符合此式10數(shù)列an滿足a11，anan1(n2且nN)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_.答案2解析anan1(n2)，a11，a2a11，a3a2，a4a3，anan1.以上各式累加，得ana11.ana112，當(dāng)n1時(shí)，21a1，an2，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2.11若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式是an_.答案(2)n-1解析當(dāng)n1時(shí)，a11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n-1.三、解答題12已知數(shù)列an中，a11，an12an3，數(shù)列bn中，b11，且點(diǎn)(bn1，bn)在直線yx1上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解(1)an12an3，an132(an3)，2，又a134，數(shù)列an3是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，an342n-12n1，an2n+13，nN.(2)(bn1，bn)在直線yx1上，bnbn11，即bn1bn1，又b11，數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，bnn，nN.13已知Sn4an，求an與Sn.解Sn4an，Sn14an1，n2，當(dāng)n2時(shí)，SnSn1anan1an.anan1n-1.2，2nan2n-1an12，2nan是等差數(shù)列，d2，首項(xiàng)為2a1.a1S14a12a1，a11，2nan22(n1)2n.annn-1，nN，Sn4an4n4.14若數(shù)列an中，a13且an1a(n是正整數(shù))，則它的通項(xiàng)公式an為_答案an解析由題意知an>0，將an1a兩邊取對(duì)數(shù)得lg an12lg an，即2，所以數(shù)列l(wèi)g an是以lg a1lg 3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，lg an(lg a1)2n1lg ，即an.15已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，an1(nN)(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列(2)求an的通項(xiàng)an.(1)證明因?yàn)閍n1，所以.所以.又a11，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知n-1，即，所以an.