第3講矩陣與變換、坐標(biāo)系與參數(shù)方程考情考向分析1.考查常見的平面變換與矩陣的乘法運(yùn)算，二階矩陣的逆矩陣及其求法，矩陣的特征值與特征向量的求法，屬B級(jí)要求.2.考查直線、曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬B級(jí)要求熱點(diǎn)一二階矩陣與平面變換例1已知矩陣A所對(duì)應(yīng)的變換T把曲線C變成曲線C1：1，求曲線C的方程解設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為(x，y)，經(jīng)過變換T變成(x0，y0)，則，即x0x，y0y.由1，得曲線C的方程為x24y24.思維升華解決這類問題一般是設(shè)變換T：，求出原曲線在T的變換下得到的曲線，再根據(jù)條件求相應(yīng)的系數(shù)值跟蹤演練1已知曲線C1：x2y21，對(duì)它先作矩陣A對(duì)應(yīng)的變換，再作矩陣B對(duì)應(yīng)的變換，得到曲線C2：y21，求實(shí)數(shù)b的值解從曲線C1變到曲線C2的變換對(duì)應(yīng)的矩陣為BA.在曲線C1上任意選一點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)它在矩陣BA對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x，y)，則有 ，即.故解得代入曲線C1方程得，y221.即曲線C2方程為2x2y21.與已知的曲線C2的方程y21比較得(2b)24.所以b1.熱點(diǎn)二二階矩陣的逆矩陣及其求法例2已知點(diǎn)P(3,1)在矩陣A變換下得到點(diǎn)P(5，1)試求矩陣A和它的逆矩陣A1.解依題意得 ，所以解得所以A.因?yàn)閐et(A)1(1)021，所以A1.思維升華由二階矩陣與向量的乘法及向量相等建立方程組，常用于求二階矩陣，要注意變換的前后順序跟蹤演練2二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換TM將曲線x2xy10變?yōu)榍€2y2x20，求M1.解設(shè)曲線2y2x20上一點(diǎn)P(x，y)在M1對(duì)應(yīng)變化下變成P(x，y)，設(shè)M1，所以代入x2xy10得，方程(axby)2(axby)(cxdy)10，即b2y2(ac)x(bd)y2abxya2x210，與方程y210比較得，a0，b1，c，d1或a0，b1，c，d1.所以M1或M1.熱點(diǎn)三特征值與特征向量例3已知二階矩陣M有特征值8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1,2)變換成(2,4)(1)求矩陣M；(2)求矩陣M的另一個(gè)特征值解(1)設(shè)M，M8，M，則解得即M.(2)令特征多項(xiàng)式f()(6)(4)80，解得18，22.故矩陣M的另一個(gè)特征值為2.思維升華求矩陣M就是要求待定的字母，利用條件建立方程組，確立待定的字母的值，從而求出矩陣，待定系數(shù)法是求這類問題的通用方法跟蹤演練3已知矩陣A的逆矩陣A1.(1)求矩陣A；(2)求矩陣A1的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量解(1)因?yàn)榫仃嘇是矩陣A1的逆矩陣，且|A1|221130，所以A.(2)矩陣A1的特征多項(xiàng)式為f()243(1)(3)，令f()0，得矩陣A1的特征值為11，23，所以1是矩陣A1的屬于特征值11的一個(gè)特征向量，2是矩陣A1的屬于特征值23的一個(gè)特征向量熱點(diǎn)四曲線的極坐標(biāo)方程例4(2018江蘇沖刺預(yù)測(cè))已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 .(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)射線OP：與C2交于P點(diǎn)，射線OQ：與C2交于Q點(diǎn)，求的值解(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2y20，所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 2sin 20，因?yàn)?，所?(2sin2)6，所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為2x23y26.(2)依題意得，點(diǎn)P的極坐標(biāo)滿足所以O(shè)P，點(diǎn)Q的極坐標(biāo)滿足所以O(shè)Q，所以.思維升華解決這類問題一般有兩種思路：一是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再將其化為極坐標(biāo)；二是將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，根據(jù)限制條件求出極坐標(biāo)要注意題目所給的限制條件及隱含條件跟蹤演練4在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說(shuō)明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2(a0)，C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin 1a20.(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)或a1.當(dāng)a1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上所以a1.熱點(diǎn)五參數(shù)方程例5在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為2sin .(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，求PAPB.解方法一(1)由2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得225，即t23t40.由于(3)2442>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，所以又直線l過點(diǎn)P(3，)，故由上式及t的幾何意義，得PAPB|t1|t2|t1t23.方法二(1)同方法一(2)因?yàn)閳AC的圓心為(0，)，半徑r，直線l的普通方程為yx3.由得x23x20.解得或不妨設(shè)A(1,2)，B(2,1)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)故PAPB3.思維升華過定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是數(shù)量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負(fù)之分使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P1，P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則P1P2|t1t2|，P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(t1t2)跟蹤演練5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)解將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入拋物線方程y24x，得24，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.1(2018江蘇)已知矩陣A.(1)求A的逆矩陣A1；(2)若點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P(3,1)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解(1)因?yàn)锳，又det(A)221310，所以A可逆，從而A1.(2)設(shè)P(x，y)，則 ，所以A1，因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，1)2(2018江蘇)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為sin2，曲線C的方程為4cos ，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)解因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為4cos ，所以曲線C是圓心為(2,0)，直徑為4的圓因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為sin2，則直線l過點(diǎn)A(4,0)，且傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B，則OAB.如圖，連結(jié)OB.因?yàn)镺A為直徑，從而OBA，所以AB4cos 2.因此，直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2.3(2017江蘇)已知矩陣A，B.(1)求AB；(2)若曲線C1：1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程解(1)因?yàn)锳，B，AB .(2)設(shè)Q(x0，y0)為曲線C1上任意一點(diǎn)，它在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)P(x，y)，則 ，即所以因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0，y0)在曲線C1上，所以1，從而1，即x2y28.因此曲線C1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線C2：x2y28.1(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市模擬)已知矩陣M的一個(gè)特征值為3，求M1.解由0，得(2)(x)40的一個(gè)解為3，代入得x1，因?yàn)镸，所以M1.2已知矩陣A，B，向量，x，y為實(shí)數(shù)若AB，求xy的值解由已知，得A ，B .因?yàn)锳B，所以.故解得所以xy.3(2015江蘇)已知x，yR，向量是矩陣A的屬于特征值2的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值解由已知，得A2，即 ，則即所以矩陣A.從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f()(2)(1)，所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.4在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)若a1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a.解(1)曲線C的普通方程為y21.當(dāng)a1時(shí)，直線l的普通方程為x4y30.由解得或從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，.(2)直線l的普通方程為x4ya40，故C上的點(diǎn)(3cos ，sin )到l的距離為d.當(dāng)a4時(shí)，d的最大值為 .由題設(shè)得，所以a8；當(dāng)a<4時(shí)，d的最大值為.由題設(shè)得，所以a16.綜上，a8或a16.5已知圓C的極坐標(biāo)方程為22sin40，求圓C的半徑解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為2240，化簡(jiǎn)，得22sin 2cos 40.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.6(2016江蘇)已知矩陣A，矩陣B的逆矩陣B1，求矩陣AB.解B(B1)1.AB .7(2016江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)解直線l的方程化為普通方程為xy0，橢圓C的方程化為普通方程為x21，聯(lián)立方程組得解得或取A(1,0)，B.故AB .8(2018揚(yáng)州模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù)，m是常數(shù))以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為6cos .(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ2，求實(shí)數(shù)m的值解(1)因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程是 (t是參數(shù))，所以直線l的普通方程為xym0.因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為6cos ，故26cos ，所以x2y26x，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是(x3)2y29.(2)曲線C表示以C(3,0)為圓心，3為半徑的圓，設(shè)圓心到直線l的距離為d，則d2， 又d2， 所以|3m|4，即 m1或m7.