第二章 數(shù)列章末復習學習目標1.整合知識結構，梳理知識網(wǎng)絡，進一步鞏固、深化所學知識.2.熟練掌握解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的基本技能.3.依托等差數(shù)列、等比數(shù)列解決一般數(shù)列的常見通項、求和等問題1等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本概念與公式等差數(shù)列等比數(shù)列定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q0)遞推公式an1andq中項由三個數(shù)x，A，y組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列這時A叫做x與y的等差中項，并且A如果在x與y中間插入一個數(shù)G，使x，G，y成等比數(shù)列，那么G叫做x與y的等比中項，且G通項公式ana1(n1)dana1qn1前n項和公式Snna1d當q1時，Sn，當q1時，Snna1性質am，an的關系aman(mn)dqmnm，n，s，tN，mnstamanasatamanasat性質kn是等差數(shù)列，且knN 是等差數(shù)列是等比數(shù)列n2k1，kNS2k1(2k1)aka1a2a2k1a判斷方法利用定義an1an是同一常數(shù)是同一常數(shù)利用中項anan22an1anan2a利用通項公式anpnq，其中p，q為常數(shù)anabn(a0，b0)利用前n項和公式Snan2bn (a，b為常數(shù))SnA(qn1)，其中A0，q0且q1或Snnp(p為非零常數(shù))2.數(shù)列中的基本方法和思想(1)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式時，分別用到了疊加法和疊乘法；(2)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和時，分別用到了倒序相加法和錯位相減法(3)等差數(shù)列和等比數(shù)列各自都涉及5個量，已知其中任意三個求其余兩個，用到了方程思想(4)在研究等差數(shù)列和等比數(shù)列單調性，等差數(shù)列前n項和最值問題時，都用到了函數(shù)思想題型一方程思想求解數(shù)列問題例1等差數(shù)列an各項為正整數(shù)，a13，前n項和為Sn，等比數(shù)列bn中，b11且b2S264，是公比為64的等比數(shù)列，求an，bn的通項公式解設an的公差為d，bn的公比為q，則d為正整數(shù)，an3(n1)d，bnqn1.依題意有由q(6d)64知q為正有理數(shù)，又由q知d為6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8，故an2n1，bn8n1.反思感悟在等比數(shù)列和等差數(shù)列中，通項公式an和前n項和公式Sn共涉及五個量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首項a1和公比q(公差d)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉換成關于a1，an，n，q(d)，Sn的方程組，通過方程的思想解出需要的量跟蹤訓練1記等差數(shù)列an的前n項和為Sn，設S312，且2a1，a2，a31成等比數(shù)列，求Sn.解設數(shù)列an的公差為d，依題設有即解得或因此Snn(3n1)或Sn2n(5n)，nN.題型二轉化與化歸思想求解數(shù)列問題例2在數(shù)列an中，Sn14an2，a11.(1) 設cn，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；(2) 求數(shù)列an的通項公式及前n項和的公式(1)證明Sn14an2，當n2，nN時，Sn4an12.得an14an4an1.方法一對an14an4an1兩邊同除以2n1，得2，即2，即cn1cn12cn，數(shù)列cn是等差數(shù)列由Sn14an2，得a1a24a12，則a23a125，c1，c2，故公差d，cn是以為首項，為公差的等差數(shù)列方法二an12an2an4an12(an2an1)，令bnan12an，則bn是以a22a14a12a12a13為首項，2為公比的等比數(shù)列，bn32n1.cn，cn1cn，c1，cn是以為首項，為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)可知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，(n1)n，an(3n1)2n2.Sn14an22n(3n1)2.Sn2n1(3n4)2(n2)當n1時，S11a1，符合Sn2(3n4)2n1(nN)反思感悟由遞推公式求通項公式，要求掌握的方法有兩種，一種求法是先找出數(shù)列的前幾項，通過觀察、歸納得出，然后證明；另一種是通過變形轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再采用公式求出跟蹤訓練2設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)(1)求a2，a3的值；(2)求證：數(shù)列Sn2是等比數(shù)列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)，當n1時，a1212；當n2時，a12a2(a1a2)4，a24；當n3時，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)證明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)，當n2時，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列題型三函數(shù)思想求解數(shù)列問題命題角度1借助函數(shù)性質解數(shù)列問題例3一個等差數(shù)列an中，3a85a13，a1>0.若Sn為an的前n項和，則S1，S2，Sn中沒有最大值？請說明理由解因為此等差數(shù)列不是常數(shù)列，所以其前n項和Sn是關于n的二次函數(shù)，我們可以利用配方法，結合二次函數(shù)的性質求解設an的首項為a1，公差為d，則有3(a17d)5(a112d)，所以da1，所以Snna1dn2a1na1a1(n20)2a1，故n20時，Sn最大，即前20項之和最大反思感悟數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時，若涉及參數(shù)取值范圍、最值問題或單調性時，均可考慮采用函數(shù)的性質及研究方法指導解題值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或1,2,3，n，這一特殊性對問題結果可能造成影響跟蹤訓練3已知數(shù)列an的通項公式為an2n2019，問這個數(shù)列前多少項的和最??？解設an2n2 019，對應的函數(shù)為y2x2 019，易知y2x2 019在R上單調遞增，且當y0時，x，因此，數(shù)列an為單調遞增數(shù)列，a1 009<0，a1 010>0，故當1n1 009時，an<0；當n>1 009時，an>0.數(shù)列an中前1 009項的和最小命題角度2以函數(shù)為載體給出數(shù)列例4已知函數(shù)f(x)，數(shù)列an滿足a11，an1f，nN.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn.解(1)an1fan，an1an，an是以為公差的等差數(shù)列又a11，ann.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)(2n23n)反思感悟以函數(shù)為載體給出數(shù)列，只需代入函數(shù)式即可轉化為數(shù)列問題跟蹤訓練4設yf(x)是一次函數(shù)，f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，則f(2)f(4)f(2n)_.答案2n23n解析設f(x)kxb(k0)，又f(0)1，則b1，所以f(x)kx1(k0)又f(4)2f(1)f(13)，所以(4k1)2(k1)(13k1)，解得k2.所以f(x)2x1，則f(2n)4n1.所以f(2n)是公差為4的等差數(shù)列所以f(2)f(4)f(2n)2n23n.1設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a111，a4a66，則當Sn取最小值時，n等于()A6B7C8D9答案A解析設等差數(shù)列an的公差為d，a4a66，a53，d2，a61<0，a71>0，故當?shù)炔顢?shù)列an的前n項和Sn取得最小值時，n等于6.2數(shù)列1,12,1222，12222n1，的前99項和為()A2100101B299101C210099D29999答案A解析由數(shù)列可知an12222n-12n1，所以，前99項的和為S99(21)(221)(2991)22229999992100101.3在等比數(shù)列an中，已知a24，a616，則a4_.答案8解析aa2a641664，a48.若a48，則aa2a40.a48舍去a48.4等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a1a54，則log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_.答案5解析log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a5)log2a，又a1a5a4，且a30，a32.log2alog2255.5若數(shù)列an的前n項和Snn2n(n1,2,3，)，則此數(shù)列的通項公式為_；數(shù)列nan中數(shù)值最小的項是第_項答案an3n163解析利用an求得an3n16.則nan3n216n3，所以n3時，nan的值最小1等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中階段學習的兩種最基本的數(shù)列，也是高考中經(jīng)常考查并且重點考查的內容之一，這類問題多從數(shù)列的本質入手，考查這兩種基本數(shù)列的概念、基本性質、簡單運算、通項公式、求和公式等問題2數(shù)列求和的方法：一般的數(shù)列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉化為與特殊數(shù)列有關或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和3在求通項求和的基礎上，可以借助不等式、單調性等研究數(shù)列的最值、取值范圍、存在性問題