2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解導(dǎo)數(shù)的概念以及導(dǎo)數(shù)和變化率的關(guān)系.2.會計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).3.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點(diǎn)處的切線方程知識點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率是函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)用符號f(x0)表示，記作：f(x0).知識點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的概念：如圖，對于割線PPn，當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即kf(x0)(3)切線方程：曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)特別提醒：曲線的切線并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可能有多個(gè)，甚至可以無窮多與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線1函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與x值的正、負(fù)無關(guān)()2函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值是x0時(shí)的平均變化率()3若函數(shù)yf(x)在xx0處有導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)yf(x)在xx0處有唯一的一條切線()4函數(shù)yf(x)在xx0處的切線與函數(shù)yf(x)的公共點(diǎn)不一定是一個(gè)()題型一利用定義求導(dǎo)數(shù)例1建造一棟面積為x平方米的房屋需要成本y萬元，y是x的函數(shù)，yf(x)0.3，求f(100)，并解釋它的實(shí)際意義解當(dāng)x從100變?yōu)?00x時(shí)，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為，f(100)，0.105，f(100)0.105表示當(dāng)建筑面積為100平方米時(shí)，成本增加的速度為1050元/平方米，也就是說當(dāng)建筑面積為100平方米時(shí)，每增加1平方米的建筑面積，成本就要增加1050元反思感悟求一個(gè)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)值的變化量yf(x0x)f(x0)(2)求平均變化率.(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x0).跟蹤訓(xùn)練1利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)x23x在x2處的導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)解由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x2處的導(dǎo)數(shù)f(2)，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，于是f(2) (x1)1.題型二求切線方程例2已知曲線y2x2上一點(diǎn)A(1,2)，求：(1)點(diǎn)A處的切線的斜率；(2)點(diǎn)A處的切線方程考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求在某點(diǎn)的切線方程解(1) (42x)4，點(diǎn)A處的切線的斜率為4.(2)點(diǎn)A處的切線方程是y24(x1)，即4xy20.反思感悟求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟跟蹤訓(xùn)練2曲線yx21在點(diǎn)P(2,5)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是_考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求在某點(diǎn)處的切線方程答案3解析 (4x)4，曲線yx21在點(diǎn)(2,5)處的切線方程為y54(x2)，即y4x3.切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3.題型三求切點(diǎn)坐標(biāo)例3已知拋物線y2x21分別滿足下列條件，請求出切點(diǎn)的坐標(biāo)(1)切線的傾斜角為45；(2)切線平行于直線4xy20；(3)切線垂直于直線x8y30.考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求切點(diǎn)坐標(biāo)解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則y2(x0x)212x14x0x2(x)2，4x02x，當(dāng)x趨于0時(shí)，趨于4x0，即f(x0)4x0.(1)拋物線的切線的傾斜角為45，斜率為tan451.即f(x0)4x01，得x0，切點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)拋物線的切線平行于直線4xy20，k4，即f(x0)4x04，得x01，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)(3)拋物線的切線與直線x8y30垂直，則k1，即k8，故f(x0)4x08，得x02，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9)反思感悟根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x)(3)求切線的斜率f(x0)(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0.(5)點(diǎn)(x0，y0)在曲線f(x)上，將x0代入求y0，得切點(diǎn)坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練3已知直線l：y4xa與曲線C：yf(x)x32x23相切，求a的值及切點(diǎn)坐標(biāo)考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求切點(diǎn)坐標(biāo)解設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)f(x)3x24x，由題意可知k4，即3x4x04，解得x0或x02，切點(diǎn)坐標(biāo)為或(2,3)當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，有4a，a.當(dāng)切點(diǎn)為(2,3)時(shí)，有342a，a5.當(dāng)a時(shí)，切點(diǎn)為；當(dāng)a5時(shí)，切點(diǎn)為(2,3)題型四導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例4(1)函數(shù)g(x)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是()A0<g(2)<g(3)<g(3)g(2)B0<g(3)<g(3)g(2)<g(2)C0<g(2)<g(3)g(2)<g(3)D0<g(3)g(2)<g(2)<g(3)考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析由函數(shù)g(x)的圖像知，當(dāng)x0時(shí)，g(x)>0且曲線的切線的斜率逐漸增大，g(x)是增加的，g(2)<g(3)，g(x)上升的越來越快，g(2)<g(3)g(2)<g(3)，0<g(2)<g(3)g(2)<g(3)，故選C.(2)已知曲線f(x)2x2a在點(diǎn)P處的切線方程為8xy150，則實(shí)數(shù)a的值為_考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)切點(diǎn)或切線斜率求值答案7解析設(shè)點(diǎn)P(x0,2xa)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f(x0)4x08，x02，P(2,8a)將x2，y8a代入到8xy150中，得a7.反思感悟利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義將數(shù)與形聯(lián)系起來，根據(jù)圖像中切線與割線的傾斜角的大小確定數(shù)據(jù)的大小跟蹤訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其部分圖像如圖所示，設(shè)a，則下列不等式正確的是()Af(1)<f(2)<aBf(1)<a<f(2)Cf(2)<f(1)<aDa<f(1)<f(2)考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析由圖像可知，在(0，)上，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，且曲線切線的斜率越來越大，a，易知f(1)<a<f(2)(2)曲線yx3在點(diǎn)(a，a3)(a0)處的切線與x軸及直線xa圍成的三角形的面積為，則a_.答案1解析由題意知切線的斜率為3a2，由點(diǎn)斜式得切線方程為ya33a2(xa)令y0，得xa，則|a3|，解得a1.1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b為常數(shù))，則()Af(x)aBf(x)bCf(x0)aDf(x0)b考點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)答案C解析f(x0) (abx)a.2曲線f(x)在點(diǎn)(3,3)處的切線的傾斜角等于()A45B60C135D120考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求切線的傾斜角或斜率答案C解析f(x)99，f(3)1，又直線的傾斜角范圍為0，180)，傾斜角為135.3.如圖，函數(shù)yf(x)的圖像在點(diǎn)P(2，y)處的切線是l，則f(2)f(2)等于()A4B3C2D1考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)切點(diǎn)或切線斜率求值答案D解析由題干中的圖像可得函數(shù)yf(x)的圖像在點(diǎn)P處的切線是l，與x軸交于點(diǎn)(4,0)，與y軸交于點(diǎn)(0,4)，則可知l：xy4，f(2)2，f(2)1，代入可得f(2)f(2)1，故選D.4已知函數(shù)f(x)，則f(1)_.答案解析f(1).5已知點(diǎn)P在曲線yx3x上，直線l為曲線在P點(diǎn)處的切線，求直線l的傾斜角的取值范圍考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)P(x0，y0)，函數(shù)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)為y3x11，設(shè)直線l的傾斜角為(0<)，tan1，畫出ytanx在的圖像如圖通過觀察圖像，的取值范圍為.1導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0)2利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上如果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，f(x0)，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn)一、選擇題1曲線y在點(diǎn)(1,1)處的切線的傾斜角為()A.B.C.D.考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求切線的傾斜角或斜率答案D解析函數(shù)y在x1處的導(dǎo)數(shù)為1，由tan1及0<，得，故選D.2下列點(diǎn)中，在曲線yx2上，且在該點(diǎn)處的切線傾斜角為的是()A(0,0) B(2,4)C.D.考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求切點(diǎn)坐標(biāo)答案D解析2x，又切線的傾斜角為，直線斜率為tan1，則2x1，x，y，則切點(diǎn)為.3設(shè)f(x)ax4，若f(1)2，則a等于()A2B2C3D3答案A解析因?yàn)閒(1)a，所以f(1)a2.4若曲線yx2axb在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是xy10，則()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)切點(diǎn)或切線斜率求值答案A解析由題意，知k1，a1.又(0，b)在切線上，b1，故選A.5設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足1，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率是()A1B1C.D2考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求切線的傾斜角或斜率答案B解析1，1，f(1)1.6設(shè)P0為曲線f(x)x3x2上的點(diǎn)，且曲線在P0處的切線平行于直線y4x1，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)為()A(1,0)B(2,8)C(1,0)或(1，4)D(2,8)或(1，4)考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求切點(diǎn)坐標(biāo)答案C解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可求得f(x)3x21，由于曲線f(x)x3x2在P0處的切線平行于直線y4x1，所以f(x)在P0處的導(dǎo)數(shù)值等于4，設(shè)P0(x0，y0)，故f(x0)3x14，解得x01，這時(shí)P0點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)或(1，4)，故選C.7.函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是()A0<f(2)<f(3)<f(3)f(2)B0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)C0<f(3)<f(2)<f(3)f(2)D0<f(3)f(2)<f(2)<f(3)考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析設(shè)x2，x3時(shí)曲線上的點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)A處的切線為AT，點(diǎn)B處的切線為BQ，則f(3)f(2)kAB，f(3)kBQ，f(2)kAT，因?yàn)榍芯€BQ的傾斜角小于直線AB的傾斜角，直線AB的傾斜角小于切線AT的傾斜角，故kBQ<kAB<kAT.故選B.8設(shè)P為曲線C：f(x)x22x3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為()A.B1,0C0,1D.考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求切點(diǎn)坐標(biāo)答案D解析設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，則點(diǎn)P處的切線傾斜角與x0的關(guān)系為tanf(x0)2x02.，tan1，)，2x021，即x0.x0的取值范圍為.二、填空題9已知函數(shù)f(x)2x3，則f(5)_.考點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)答案2解析f(5)2.10曲線yx3在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸，直線x2所圍成的三角形的面積為_考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求在某點(diǎn)處的切線方程答案解析k3，曲線yx3在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y13(x1)，即3xy20，令x2，得y4，令y0，得x，則切線與x軸，直線x2所圍成的三角形面積為4.11若拋物線yx2xc上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2，拋物線過點(diǎn)P的切線恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)，則c的值為_考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)切點(diǎn)或切線斜率求值答案4解析設(shè)拋物線在P點(diǎn)處切線的斜率為k，k5，切線方程為y5x，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y5(2)10，將P(2,10)代入yx2xc，得c4.三、解答題12已知拋物線yax2bxc過點(diǎn)P(1,1)，且在點(diǎn)Q(2，1)處與直線yx3相切，求實(shí)數(shù)a，b，c的值考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)切點(diǎn)或切線斜率求值解拋物線過點(diǎn)P，abc1，又4ab，由題意知4ab1，又拋物線過點(diǎn)Q，4a2bc1，由解得a3，b11，c9.13設(shè)函數(shù)f(x)x3ax29x1(a<0)，若曲線yf(x)的斜率最小的切線與直線12xy6平行，求a的值考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)切點(diǎn)或切線斜率求值解f(x0)3x2ax09(3x0a)x(x)23x2ax09.f(x0)329，當(dāng)x0時(shí)，f(x0)取到最小值9.函數(shù)f(x)斜率最小的切線與12xy6平行，該切線的斜率為12.912，解得a3，又a<0，a3.14過點(diǎn)M(1,1)且與曲線yx31相切的直線方程為()A27x4y230B23x3y120和y3C5x17y90D27x4y230和y1考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)求曲線的切線方程答案D解析3xx3x2(x)2，所以3x2，即y3x2.設(shè)過(1,1)點(diǎn)的切線與yx31相切于點(diǎn)P(x0，x1)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為k3x，過(1,1)點(diǎn)的切線的斜率k，由得3x，解得x00或x0，當(dāng)x00時(shí)，k0，切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，切線方程為y1；當(dāng)x0時(shí)，k，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為27x4y230.綜上所述，直線方程為y1或27x4y230.15已知函數(shù)f(x)ax21(a>0)，g(x)x3bx，若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值考點(diǎn)切線方程的求解及應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)切點(diǎn)或切線斜率求值解f(x)2ax，f(1)2a，即切線斜率k12a.g(x)3x2b，g(1)3b，即切線斜率k23b.在交點(diǎn)(1，c)處有公共切線，2a3b.又a11b，即ab，故可得