第1課時參數(shù)方程的概念及圓的參數(shù)方程學(xué)習(xí)目標1.理解曲線參數(shù)方程的有關(guān)概念.2.掌握圓的參數(shù)方程.3.能夠根據(jù)圓的參數(shù)方程解決最值問題知識點一參數(shù)方程的概念思考在生活中，兩個陌生的人通過第三方建立聯(lián)系，那么對于曲線上點的坐標(x，y)，直接描述它們之間的關(guān)系比較困難時，可以怎么辦呢？答案可以引入?yún)?shù)，作為x，y聯(lián)系的橋梁梳理參數(shù)方程的概念(1)參數(shù)方程的定義在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t(，)的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，t叫做參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫普通方程(2)參數(shù)的意義參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x，y的橋梁，可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實際意義的變數(shù)特別提醒：普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同表達形式，參數(shù)方程可以與普通方程進行互化知識點二圓的參數(shù)方程思考如圖，角的終邊與單位圓交于一點P，P的坐標如何表示？答案P(cos，sin)，由任意角的三角函數(shù)的定義即xcos，ysin.梳理圓的參數(shù)方程圓心和半徑圓的普通方程圓的參數(shù)方程圓心O(0,0)，半徑rx2y2r2(為參數(shù))圓心C(a，b)，半徑r(xa)2(yb)2r2(為參數(shù))類型一參數(shù)方程及應(yīng)用例1已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù))(1)判斷點M1(0,1)，M2(5,4)與曲線C的位置關(guān)系；(2)已知點M3(6，a)在曲線C上，求a的值解(1)把點M1的坐標(0,1)代入方程組，得解得t0.點M1在曲線C上同理可知，點M2不在曲線C上(2)點M3(6，a)在曲線C上，解得t2，a9.a9.反思與感悟參數(shù)方程是曲線方程的另一種表達形式，點與曲線位置關(guān)系的判斷，與平面直角坐標普通方程下的判斷方法是一致的跟蹤訓(xùn)練1在平面直角坐標系中，已知曲線C的參數(shù)方程是(為參數(shù))(1)求曲線C上的點Q(，3)對應(yīng)的參數(shù)的值；(2)若點P(m，1)在曲線C上，求m的值解(1)把點Q的坐標(，3)代入?yún)?shù)方程，得即解得2k(kZ)，故曲線上的點Q對應(yīng)的參數(shù)的值是2k(kZ)(2)把點P的坐標(m，1)代入?yún)?shù)方程，得解得sin，故cos，即m，即所求m的值是.類型二求曲線的參數(shù)方程例2如圖，ABP是等腰直角三角形，B是直角，腰長為a，頂點B，A分別在x軸、y軸上滑動，求點P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程解方法一設(shè)點P(x，y)，過P點作x軸的垂線交x軸于點Q.如圖所示，則RtOABRtQBP.取OBt，t為參數(shù)(0<t<a)|OA|，|BQ|.又|PQ|OB|t，點P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為(0<t<a)方法二設(shè)點P(x，y)，過點P作x軸的垂線交x軸于點Q，如圖所示取QBP，為參數(shù)，則ABO，在RtOAB中，|OB|acosasin.在RtQBP中，|BQ|acos，|PQ|asin.點P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，0<<)反思與感悟求曲線參數(shù)方程的主要步驟(1)畫出軌跡草圖，設(shè)M(x，y)是軌跡上任意一點的坐標(2)選擇適當?shù)膮?shù)，參數(shù)的選擇要考慮以下兩點曲線上每一點的坐標x，y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯，容易列出方程；x，y的值可以由參數(shù)惟一確定(3)根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問題的物理意義等，建立點的坐標與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，證明可以省略跟蹤訓(xùn)練2長為3的線段兩端點A，B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動，3，點P的軌跡為曲線C.(1)以直線AB的傾斜角為參數(shù)，求曲線C的參數(shù)方程；(2)求點P到點D(0，2)距離的最大值解(1)設(shè)P(x，y)，由題意，得x|AB|cos()2cos，y|AB|sin()sin.所以曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，<<)(2)由(1)得|PD|2(2cos)2(sin2)24cos2sin24sin43sin24sin832.當sin時，|PD|取得最大值.類型三圓的參數(shù)方程及應(yīng)用例3如圖，圓O的半徑為2，P是圓O上的動點，Q(4,0)在x軸上M是PQ的中點，當點P繞O作勻速圓周運動時，(1)求點M的軌跡的參數(shù)方程，并判斷軌跡所表示的圖形；(2)若(x，y)是M軌跡上的點，求x2y的取值范圍解(1)設(shè)點M(x，y)，令xOP，則圓O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，點P的坐標為(2cos，2sin)又Q(4,0)，xcos2，ysin.點M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))由參數(shù)方程知，點M的軌跡是以(2,0)為圓心，1為半徑的圓(2)x2ycos22sinsin()2，tan.1sin()1，2x2y2.即x2y的取值范圍是2，2反思與感悟(1)圓的參數(shù)方程中的參數(shù)是角，所以圓上的點的坐標是三角函數(shù)(2)運用圓的參數(shù)方程，可以將相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)知識解決問題跟蹤訓(xùn)練3已知實數(shù)x，y滿足(x1)2(y1)29，求x2y2的最大值和最小值解由已知，可把點(x，y)視為圓(x1)2(y1)29上的點，設(shè)(為參數(shù))則x2y2(13cos)2(13sin)2116(sincos)116sin.1sin1，116x2y2116.x2y2的最大值為116，最小值為116.1下列方程：(m為參數(shù))；(m，n為參數(shù))；xy0中，參數(shù)方程的個數(shù)為()A1B2C3D4答案A2曲線(為參數(shù))圍成圖形的面積等于()AB2C3D4答案D3圓C：(為參數(shù))的圓心坐標為_，和圓C關(guān)于直線xy0對稱的圓C的普通方程是_答案(3，2)(x2)2(y3)216(或x2y24x6y30)解析將參數(shù)方程化為標準方程，得(x3)2(y2)216，故圓心坐標為(3，2)點P(3，2)關(guān)于直線yx的對稱點為P(2,3)，則圓C關(guān)于直線yx對稱的圓C的普通方程為(x2)2(y3)216(或x2y24x6y30)4已知(t為參數(shù))，若y1，則x_.答案0或2解析yt21，t1.x112或x110.5若P(2，1)為圓O：(0<2)的弦的中點，則該弦所在直線l的方程為_答案xy30解析圓心O(1,0)，kOP1，即直線l的斜率為1.直線l的方程為xy30.1參數(shù)方程(1)參數(shù)的作用：參數(shù)是間接地建立橫、縱坐標x，y之間的關(guān)系的中間變量，起到了橋梁的作用(2)參數(shù)方程是通過變數(shù)反映坐標變量x與y之間的間接聯(lián)系2求曲線參數(shù)方程的步驟第一步，建系，設(shè)M(x，y)是軌跡上任意一點；第二步，選參數(shù)，比如選參數(shù)t；第三步，建立x，y與參數(shù)間的關(guān)系，即一、選擇題1若點P(4，a)在曲線(t為參數(shù))上，則a等于()A4B4C8D1答案B解析根據(jù)題意，將點P的坐標代入曲線方程中，得2下列的點在曲線(為參數(shù))上的是()A.B.C(2，) D(1，)答案B解析由參數(shù)方程得y21x，只有B項中的點符合上式3已知O為原點，參數(shù)方程(為參數(shù))上的任意一點為A，則|OA|等于()A1B2C3D4答案A解析|OA|1，故選A.4參數(shù)方程(t為參數(shù))表示的曲線是()A兩條直線B一條射線C兩條射線D雙曲線答案C解析當t0時，是一條射線；當t0時，也是一條射線，故選C.5圓心為點(1,2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為()A.(0<2)B.(0<2)C.(0<)D.(0<2)答案D解析圓心為點C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(0,2)故圓心為點(1,2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為(0<2)6設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的方程為x3y20，則曲線C上到直線l的距離為的點的個數(shù)為()A1B2C3D4答案B解析由得(x2)2(y1)29.曲線C表示以點(2，1)為圓心，以3為半徑的圓，則圓心C(2，1)到直線l的距離d<3，所以直線與圓相交，所以過圓心(2，1)與l平行的直線與圓的2個交點滿足題意，又3d<，故滿足題意的點有2個二、填空題7若點(3，3)在曲線(為參數(shù))上，則_.答案2k，kZ解析將點(3，3)代入?yún)?shù)方程(為參數(shù))，得解得2k，kZ.8已知圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為sin1，則直線l與圓C的交點的直角坐標為_答案(1,1)，(1,1)解析由圓C的參數(shù)方程為可求得其在直角坐標系下的方程為x2(y1)21，由直線l的極坐標方程sin1，可求得其在直角坐標系下的方程為y1，由可解得所以直線l與圓C的交點的直角坐標為(1,1)，(1,1)9在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(為參數(shù))和直線l：3x4y100，則直線l與圓C相交所得的弦長等于_答案4解析由圓C的參數(shù)方程(為參數(shù))，可得圓C的圓心為(1,2)，半徑為5，又直線l的方程為3x4y100，圓心到直線l的距離d1，直線l與圓C相交所得的弦長為24.10若x，y滿足(x1)2(y2)24，則2xy的最小值為_答案2解析令x12cos，y22sin，則有x2cos1，y2sin2，故2xy4cos22sin24cos2sin2sin()，tan2.22xy2.即2xy的最小值為2.三、解答題11已知直線yx與曲線(為參數(shù))相交于兩點A和B，求弦長|AB|.解由得(x1)2(y2)24，其圓心為(1,2)，半徑r2，則圓心(1,2)到直線yx的距離d.|AB|22.12已知曲線C：(為參數(shù))，如果曲線C與直線xya0有公共點，求實數(shù)a的取值范圍解x2(y1)21.圓與直線有公共點，則d1，解得1a1.即實數(shù)a的取值范圍是1，113.如圖所示，OA是圓C的直徑，且|OA|2a，射線OB與圓交于Q點，和經(jīng)過A點的切線交于B點，作PQOA，PBOA，試求P點的軌跡方程解設(shè)點P(x，y)是軌跡上任意一點，取DOQ，由PQOA，PBOA，得xOD|OQ|cos|OA|cos22acos2，yAB|OA|tan2atan.所以P點的軌跡的參數(shù)方程為.四、探究與拓展14設(shè)Q(x1，y1)是單位圓x2y21上一個動點，則動點P(xy，x1y1)的軌跡的參數(shù)方程是_答案解析設(shè)x1cos，y1sin，P(x，y)則即為所求15在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為2cos，.(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點D在曲線C上，曲線C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標解(1)半圓C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得半圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)(2)設(shè)D(1cost，sint)由(1)知曲線C是以C(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線CD與l的斜率相同，tant，t.故D的直角坐標為，即.