第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)考情考向分析1.函數(shù)的概念和函數(shù)的基本性質(zhì)是B級要求，主要是利用函數(shù)圖象，即通過數(shù)形結(jié)合思想解決問題. 2.指數(shù)與對數(shù)的運算、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)都是考查熱點， B級要求.3.函數(shù)與方程是B級要求，但經(jīng)常與二次函數(shù)等基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合起來考查，試題難度中等偏上熱點一函數(shù)性質(zhì)及其運用例1(1)(2018江蘇徐州銅山中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)exex1(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若f(2x1)f(4x2)>2，則實數(shù)x的取值范圍是_答案(1,3)解析令g(x)f(x)1 ，則g(x)為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，由f(2x1)f(4x2)>2，得g(2x1)g(4x2)>0，所以g(2x1)>g(x24)，即2x1>x24，所以x22x3<0，解得1<x<3.(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)|xa|a(aR)若xR，f(x2 016)>f(x)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，504)解析當(dāng)a0時，f(x)x，xR，滿足條件；當(dāng)a<0時，f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，也滿足條件；當(dāng)a>0時，f(x)要滿足條件，需4a<2 016 ，即0<a<504，綜上，實數(shù)a的取值范圍是a<504.思維升華(1)可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性，將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為給出解析式的范圍內(nèi)的函數(shù)值(2)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是化成f(x1)<f(x2)的形式跟蹤演練1(1)(2018江蘇省前黃中學(xué)等三校聯(lián)考)若f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x(0,1)時， f(x)x28x30，則f()_.答案24解析f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x(0,1)時， f(x)x28x30，fff24.(2)(2018常熟期中)已知奇函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，且f(2)0，則不等式>0的解集為_答案(2,0)(1,2)解析函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且在(，0)上單調(diào)遞減，f(x)在(0，)上也單調(diào)遞減，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且f(2)0，f(2)f(2)0，當(dāng)x2或0x2時，f(x)0，當(dāng)2x0或x2時，f(x)0(如圖)，不等式>0等價于或解得x(2,0)(1,2)熱點二函數(shù)圖象及其運用例2(1) 已知函數(shù)f(x)若|f(x)|ax，則實數(shù)a的取值范圍是_答案2,0解析函數(shù)y|f(x)|的圖象如圖，yax為過原點的一條直線，當(dāng)a0時，與y|f(x)|在y軸右側(cè)總有交點，不合題意；當(dāng)a0時，成立；當(dāng)a0時，找與y|x22x|(x0)相切的情況，即y2x2，切線方程為y(2x02)(xx0)，由分析可知x00，所以a2，綜上，a2,0(2)已知函數(shù)f(x)若a<b<c且fff，則(ab1)c的取值范圍是_答案解析作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示當(dāng)a<b<c時，f(a)f(b)f(c)，log4alog4b，即log4alog4b0，則log4(ab)0，<a<1<b<4<c<6，且ab1，1624<c2c<2664，即c的取值范圍是.思維升華(1)涉及到由圖象求參數(shù)問題時，常需構(gòu)造兩個函數(shù)，借助兩函數(shù)圖象求參數(shù)范圍； (2)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用常與圖象數(shù)形結(jié)合研究跟蹤演練2(1)已知定義在區(qū)間上的函數(shù)yf的圖象如圖所示，對于滿足0<x1<x2<1的任意x1，x2給出下列結(jié)論：ff>x2x1；x2f>x1f；<f.其中正確的結(jié)論是_(把所有正確結(jié)論的序號都填寫在橫線上)答案解析由ff>x2x1，可得>1，即兩點與連線的斜率大于1，顯然不正確；由x2f>x1f，得>，即表示兩點，與原點連線的斜率的大小，可以看出結(jié)論正確；結(jié)合函數(shù)圖象，容易判斷結(jié)論正確(2)(2018江蘇省常州市橫林高中月考)已知函數(shù)f(x)則不等式f(2x2|x|)5的解集為_答案解析方法一作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示若2x2<0，則不等式f5恒成立，此時<0，得0<<；若2x20, f5，不等式f5等價于ff，則2x21, 則01, 又或0，1或0，綜上，01，故1x1.方法二f(1)5，f(2x2|x|)5等價于2x2|x|1，解得0|x|1，故1x1.熱點三函數(shù)與方程例3(1)函數(shù)f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零點個數(shù)為_答案2解析f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，令f(x)0，得sin 2x|ln(x1)|.在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)ysin 2x與函數(shù)y|ln(x1)|的大致圖象如圖所示觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個交點，故函數(shù)f(x)有2個零點(2)已知函數(shù)yf(x)(xR)滿足f(x)2f(x1)，當(dāng)x時，f(x)x2，若函數(shù)yaf(x)log4(x1)(a>0)恰有4個零點，則a的取值范圍是_答案4<a16log46解析函數(shù)yaf(x)log4(x1)恰有4個零點，等價于yaf(x)與ylog4的圖象有4個交點，則a0，畫出yaf(x)與ylog4(x1)的圖象f(x)滿足f(x)2f(x1)，當(dāng)x時，f(x)x2，當(dāng)x時，f(x)2(x1)2，由圖象知在上兩圖象有一個交點，在上有兩個交點，只需在上有一個交點即可，如圖，解得4<a16log46.思維升華(1)求解零點或零點個數(shù)的方法：解方程法、利用零點存在的判定定理、數(shù)形結(jié)合法(2)利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)范圍的方法：利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解；轉(zhuǎn)化為熟悉的兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系，從而構(gòu)建不等式求解跟蹤演練3(1)(2016江蘇)定義在區(qū)間0,3上的函數(shù)ysin 2x的圖象與ycos x的圖象的交點個數(shù)是_答案7解析在區(qū)間0,3上分別作出ysin 2x和ycos x的簡圖如下：由圖象可得兩圖象有7個交點(2)(2018江蘇省海門中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)若f(x)在區(qū)間0，)上有且只有2個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_答案解析當(dāng)0x1時，由2x22mx10，得 mx(x0顯然不是零點)，當(dāng)x>1時，函數(shù)的零點滿足mx20，則m，由題意可得函數(shù)ym與函數(shù)g(x)有兩個不同的交點， 繪制函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，實數(shù)m的取值范圍是.1(2016江蘇)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1)上，f(x)其中aR.若ff，則f(5a)的值是_答案解析由已知得，fffa，fff.又ff，則a，a，f(5a)f(3)f(34)f(1)1.2(2018江蘇)若函數(shù)f(x)2x3ax21(aR)在(0，)內(nèi)有且只有一個零點，則f(x)在1,1上的最大值與最小值的和為_答案3解析f(x)6x22ax2x(3xa)(x0)當(dāng)a0時，f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又f(0)1，f(x)在(0，)上無零點，不合題意當(dāng)a0時，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得0x，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又f(x)只有一個零點，f10，a3.此時f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，當(dāng)x1,1時，f(x)在1,0上單調(diào)遞增，在(0,1上單調(diào)遞減又f(1)0，f(1)4，f(0)1，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.3(2017江蘇)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f(x)其中集合D，則方程f(x)lg x0的解的個數(shù)是_答案8解析由于f(x)0,1)，則只需考慮1x<10的情況，在此范圍內(nèi)，xQ，且xZ時，設(shè)x，p，qN*，p2且p，q互質(zhì)若lg xQ，則由lg x(0,1)，可設(shè)lg x，m，nN*，m2且m，n互質(zhì)因此，則10nm，此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾因此lg xQ，因此lg x不可能與每個周期內(nèi)xD對應(yīng)的部分相等，只需考慮lg x與每個周期內(nèi)xD部分的交點，畫出函數(shù)草圖圖中交點除(1,0)外其他交點橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個周期內(nèi)xD部分，且x1處(lg x)<1，則在x1附近僅有1個交點，因此方程解的個數(shù)為8.4(2018無錫期中)已知函數(shù)f(x)，則f(a1)f(a21)>0的解集為_答案(1,0)解析函數(shù)f(x)的定義域為R.f(x)，f(x)，所以f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)又f(x)在R上單調(diào)遞減，所以f(a1)f(a21)>0f(a1)>f(1a2)，所以a1<1a2，解得1<a<0.5(2018江蘇高考預(yù)測)已知a>0，若函數(shù)f(x)且g(x)f(x)ax2有且只有5個零點，則a的取值范圍是_答案(2，e)解析由題意可知，x0是g(x)的1個零點，當(dāng)x0時，由f(x)ax2可得a令h(x)(x0)，則h(x).當(dāng)0<x<時，h(x)>0，當(dāng)x>時，h(x)<0，h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減，h(x)h()e，且當(dāng)x時，h(x)0，當(dāng)x0時，h(x)<0.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出h(x)和y的圖象，由圖可知，g(x)f(x)ax2有且只有5個零點需滿足2<a<e，則a的取值范圍是(2，e)A組專題通關(guān)1已知f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且在(，0上單調(diào)遞增，若af()，bf(log35)，cf(0.20.5)，則a，b，c的大小關(guān)系為_(用“”連接)答案b<a<c解析f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，af()f(log53)f(log53)，1>log53>log5，log35>log331,0<0.20.5<，0.20.5<log53<log35，f(x)在上是增函數(shù)，f(x)在上為減函數(shù)，則f>f>f，即b<a<c.2已知函數(shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)當(dāng)x2,4時，f(x)，則f的值為_答案解析由函數(shù)的周期性可得fff，由函數(shù)的奇偶性可得ff|log42|.3函數(shù)ylogax(a>0且a1)在x2，)上恒有|y|>1，則a應(yīng)滿足的條件是_答案<a<1或1<a<2解析若0<a<1，當(dāng)x2時，logax<0，logax<1.由題意知loga2<1，a.若a>1，當(dāng)x2時，logax>0，logax>1.由題意知loga2>1，a(1,2)綜上可知，<a<1或1<a<2.4若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍為_答案解析由題意得a.5已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)2x2，則不等式f(x1)2的解集是_答案1,3解析因為偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且f(2)2.所以f(x1)2，即f(|x1|)f(2)，即|x1|2，所以1x3.6函數(shù)f(x)2x(x1)，x(1,3的值域為_答案(，7解析u1(x1)在(1,3上為減函數(shù)，u2(x1)在(1,3上為增函數(shù)又u32x在(1,3上也為增函數(shù)，f(x)u3u22x(x1)在(1,3上為增函數(shù)故f(x)的值域為(，77若函數(shù)f(x)(a，bR)為奇函數(shù)，則f(ab)的值為_答案1解析因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)f(1)，f(2)f(2)，即解得a1，b2.經(jīng)驗證a1，b2滿足題設(shè)條件，所以f(ab)f(1)1.8已知函數(shù)f(x)x3x，對任意的m2,2，f(mx2)f(x)<0恒成立，則x的取值范圍是_答案解析f(x)3x21>0，f(x)在R上為增函數(shù)又f(x)為奇函數(shù)，由f(mx2)f(x)<0知，f(mx2)<f(x)mx2<x，即mxx2<0，令g(m)mxx2，m2,2，由g(m)<0恒成立，可得2<x<.9若函數(shù)f(x)|x24x|2m1在區(qū)間上有3個不同零點，則實數(shù)m的取值范圍為_答案解析令g(x)|x24x|，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)yg(x)和y2m1的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)有3個不同零點等價于直線y2m1與函數(shù)yg(x)的圖象有3個不同交點因為g(0)g(4)0，g(1)5, g(2)4，g，結(jié)合圖象分析可得<2m1<4，解得<m<，所以實數(shù)m的取值范圍為.10已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)x2x.若不等式f(x)x2logax(a>0且a1)對x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析由已知得當(dāng)x>0時，f(x)x2x，故x22logax對x恒成立，即當(dāng)x時，函數(shù)yx2的圖象不在y2logax圖象的上方，可以從圖象(圖略)知0<a<1且2loga，解得a<1.B組能力提高11函數(shù)f(x)的值域為_答案解析函數(shù)f(x)的定義域為x|x1，則當(dāng)x1時，f(1)0.當(dāng)x1時，f(x)，x14，當(dāng)且僅當(dāng)x1時，等號成立，.故函數(shù)f(x)的值域為.12設(shè)函數(shù)f(x)ex(2x1)axa，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析設(shè)g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由題意知存在唯一的整數(shù)x0，使得g(x0)<h(x0)，因為g(x)ex(2x1)，可知g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出g(x)與h(x)的大致圖象如圖所示，故即所以a<1.13(2018江蘇省姜堰等三校聯(lián)考)若方程|x22x1|t0有四個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，則2的取值范圍是_答案(8,4解析如圖，作出函數(shù)y|x22x1|和yt的圖象由圖象知，0t2，因為|x22x1|t0，所以|x22x1|t，故x22x1t0或x22x1t0，則x4x1，同理可得x3x2，故2(x4x1)(x3x2)2，令f(t)2(0t2)，則f(t)，令f(t)0得t，故f(t)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，而f4，f(0)6，f(2)8，故2(x4x1)(x3x2)的取值范圍是(8,414已知函數(shù)f(x)log2(2x1)(1)求證：函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若g(x)log2(2x1)(x>0)，且關(guān)于x的方程g(x)mf(x)在1,2上有解，求m的取值范圍(1)證明任取x1<x2，則f(x1)f(x2)log2(1)log2(1)log2，x1<x2，0<2x11<2x21，0<<1，log2<0，f(x1)<f(x2)，即函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)單調(diào)遞增(2)解方法一由g(x)mf(x)，得mg(x)f(x)log2(2x1)log2(2x1)log2log2，當(dāng)1x2時，1，m的取值范圍是.方法二解方程log2(2x1)mlog2(2x1)，得xlog2，1x2，1log22，解得log2mlog2.m的取值范圍是.