1.111.1正弦定理預(yù)習(xí)課本P23，思考并完成以下問題 (1)直角三角形中的邊角之間有什么關(guān)系？(2)正弦定理的內(nèi)容是什么？利用它可以解哪兩類三角形？(3)解三角形的含義是什么？1正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即.點(diǎn)睛正弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化2解三角形一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)正弦定理適用于任意三角形()(2)在ABC中，等式bsin Aasin B總能成立()(3)在ABC中，已知a，b，A，則此三角形有唯一解()解析：(1)正確正弦定理適用于任意三角形(2)正確由正弦定理知，即bsin Aasin B.(3)錯(cuò)誤在ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是無(wú)解、一解、兩解的情況，具體情況由a，b，A的值來(lái)定答案：(1)(2)(3)2在ABC中，下列式子與的值相等的是()A.B.C. D.解析：選C由正弦定理得，所以.3在ABC中，已知A30，B60，a10，則b等于()A5 B10C. D5解析：選B由正弦定理得，b10.4在ABC中，A，b2，以下錯(cuò)誤的是()A若a1，則c有一解B若a，則c有兩解C若a，則c無(wú)解 D若a3，則c有兩解解析：選Da2 sin1時(shí)，c有一解；當(dāng)a<1時(shí)，c無(wú)解；當(dāng)1<a<2時(shí)，c有兩個(gè)解；a>2時(shí)，c有一解故選D.已知兩角及一邊解三角形典例在ABC中，已知a8，B60，C75，求A，b，c.解A180(BC)180(6075)45，由正弦定理，得b4，由，得c4(1)已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路(1)由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角(2)由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊注意若已知角不是特殊角時(shí)，往往先求出其正弦值(這時(shí)應(yīng)注意角的拆并，即將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如754530)，再根據(jù)上述思路求解 活學(xué)活用在ABC中，若A60，B45，BC3，則AC()A4B2C. D.解析：選B由正弦定理得，即，所以AC2，故選B.已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形典例在ABC中，a，b，B45，求A，C，c.解由正弦定理及已知條件，有，得sin A.a>b，A>B45.A60或120.當(dāng)A60時(shí)，C180456075，c；當(dāng)A120時(shí)，C1804512015，c.綜上可知：A60，C75，c或A120，C15，c.已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論 活學(xué)活用在ABC中，c，C60，a2，求A，B，b.解：，sin A.A45或A135.又c>a，C>A.A45.B75，b1.三角形形狀的判斷典例在ABC中，acosbcos，判斷ABC的形狀解：法一化角為邊acosbcos，asin Absin B由正弦定理可得：ab，a2b2，ab，ABC為等腰三角形法二化邊為角acosbcos，asin Absin B.由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B，AB.(AB不合題意舍去)故ABC為等腰三角形利用正弦定理判斷三角形的形狀的兩條途徑(1)化角為邊將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項(xiàng)式的有關(guān)知識(shí)(分解因式、配方等)得到邊的關(guān)系，如ab，a2b2c2等，進(jìn)而確定三角形的形狀利用的公式為：sin A，sin B，sin C.(2)化邊為角將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀利用的公式為：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C活學(xué)活用在ABC中，已知acos Abcos B，試判斷ABC的形狀解：由正弦定理，2R，所以acos Abcos B可化為sin A cos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B，又ABC中，A，B，C(0，)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC的形狀為等腰或直角三角形層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1在ABC中，a5，b3，則sin Asin B的值是()A. B.C. D.解析：選A根據(jù)正弦定理得.2在ABC中，absin A，則ABC一定是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰三角形解析：選B由題意有b，則sin B1，即角B為直角，故ABC是直角三角形3在ABC中，若，則C的值為()A30 B45C60 D90解析：選B由正弦定理得，則cos Csin C，即C45，故選B.4ABC中，A，B，b，則a等于()A1 B2C. D2解析：選A由正弦定理得，a1，故選A.5在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且absin A，則sin B()A. B.C. D解析：選B由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，所以sin Asin Bsin A，故sin B.6下列條件判斷三角形解的情況，正確的是_(填序號(hào))a8，b16，A30，有兩解；b18，c20，B60，有一解；a15，b2，A90，無(wú)解；a40，b30，A120，有一解解析：中absin A，有一解；中csin B<b<c，有兩解；中A90且a>b，有一解；中a>b且A120，有一解綜上，正確答案：7在ABC中，若(sin Asin B)(sin Asin B)sin2C，則ABC的形狀是_解析：由已知得sin2Asin2Bsin2C，根據(jù)正弦定理知sin A，sin B，sin C，所以222，即a2b2c2，故b2c2a2.所以ABC是直角三角形答案：直角三角形8在銳角ABC中，BC1，B2A，則_.解析：由正弦定理及已知得，2.答案：29已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是45，60，它們所夾邊的長(zhǎng)是1，求最小邊長(zhǎng)解：設(shè)ABC中，A45，B60，則C180(AB)75.因?yàn)镃>B>A，所以最小邊為a.又因?yàn)閏1，由正弦定理得，a1，所以最小邊長(zhǎng)為1.10在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形解：，b4.C180(AB)180(3045)105，c4sin(3045)22.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于()A120B105C90 D75解析：選Aca，sin Csin Asin(18030C)sin(30C)，即sin Ccos C，tan C.又0<C<180，C120.故選A.2已知a，b，c分別是ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若ABC的周長(zhǎng)為4(1)，且sin Bsin Csin A，則a()A. B2C4 D2解析：選C根據(jù)正弦定理，sin Bsin Csin A可化為bca，ABC的周長(zhǎng)為4(1)，解得a4.故選C.3在ABC中，A60，a，則等于()A. B.C. D2解析：選B由a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C得2R.4在ABC中，若A<B<C，且AC2B，最大邊為最小邊的2倍，則三個(gè)角ABC()A123 B234C345 D456解析：選A由A<B<C，且AC2B，ABC，可得B，又最大邊為最小邊的2倍，所以c2a，所以sin C2sin A，即sin2sin Atan A，又0<A<，所以A，從而C，則三個(gè)角ABC123，故選A.5在ABC中，A60，B45，ab12，則a_.解析：因?yàn)椋?，所以ba，又因?yàn)閍b12，由可知a12(3)答案：12(3)6在ABC中，若A120，AB5，BC7，則sin B_.解析：由正弦定理，得，即sin C.可知C為銳角，cos C.sin Bsin(180120C)sin(60C)sin 60cos Ccos 60sin C.答案：7在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且.(1)求角C的大??；(2)如果4，求ABC的面積解：(1)由得sin Ccos C，故tan C，又C(0，)，所以 C.(2)由|cos Cba4得ab8，所以SABCabsin C82.8在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bcos Cbsin Cac0.(1)求B；(2)若b，求ac的取值范圍解：(1)由正弦定理知：sin Bcos Csin Bsin Csin Asin C0，sin Asin (BC)sin Bcos Ccos Bsin C代入上式得：sin Bsin Ccos Bsin Csin C0.sin C>0，sin Bcos B10，即sin ，B(0，)，B.(2)由(1)得：2R2，ac2R(sin Asin C)2sin.C，2sin(，2，ac的取值范圍為(，211.2余弦定理預(yù)習(xí)課本P56，思考并完成以下問題 (1)余弦定理的內(nèi)容是什么？(2)已知三角形的兩邊及其夾角如何解三角形？(3)已知三角形的三邊如何解三角形？余弦定理余弦定理公式表達(dá)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理語(yǔ)言敘述三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍推論cos Ac os B，cos C點(diǎn)睛余弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍：余弦定理對(duì)任意的三角形都成立(2)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系，它含有四個(gè)不同的量，知道其中的三個(gè)量，就可求得第四個(gè)量1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適應(yīng)于任何三角形()(2)在ABC中，若a2>b2c2，則ABC一定為鈍角三角形()(3)在ABC中，已知兩邊和其夾角時(shí)，ABC不唯一()解析：(1)正確余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形(2)正確當(dāng)a2>b2c2時(shí)，cos A<0.因?yàn)?<A<，故A一定為鈍角，ABC為鈍角三角形(3)錯(cuò)誤當(dāng)ABC已知兩邊及其夾角時(shí)可利用余弦定理求得第三邊長(zhǎng)且唯一，因此ABC唯一確定答案：(1)(2)(3)2在ABC中，已知a9，b2，C150，則c等于()A.B8C10 D7解析：選D由余弦定理得：c7.3在ABC中，已知a2b2c2bc，則角A等于()A60 B45C120D30解析：選C由cos A，A120.4在ABC中，已知b2ac且c2a，則cos B等于()A. B.C. D.解析：選B由b2ac且c2a得cos B.故選 B.已知兩邊與一角解三角形典例(1)在ABC中，已知b60 cm，c60 cm，A，則a_cm；(2)在ABC中，若AB，AC5，且cos C，則BC_.解析(1)由余弦定理得：a 60(cm)(2)由余弦定理得：()252BC225BC，所以BC29BC200，解得BC4或BC5.答案(1)60(2)4或5已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對(duì)角)求解若用正弦定理求解，需對(duì)角的取值進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這些問題(在(0，)上，余弦值所對(duì)角的值是唯一的)，故用余弦定理求解較好 活學(xué)活用在ABC中，a2，c，B45，解這個(gè)三角形解：根據(jù)余弦定理得，b2a2c22accos B(2)2()222()cos 458，b2.又cos A，A60，C180(AB)75.已知三角形的三邊解三角形典例在ABC中，已知a2，b，c3，解此三角形解法一：由余弦定理的推論得cos A，A45.同理可求B30，故C180AB1804530105.法二：由余弦定理的推論得cos A，A45.由正弦定理知，得sin B.由a>b知A>B，B30.故C180AB1804530105.(1)已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一(2)若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡(jiǎn)或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解活學(xué)活用已知a，b，c是ABC三邊之長(zhǎng)，若滿足等式(abc)(abc)ab，則C的大小為()A60B90C120 D150解析：選C(abc)(abc)ab，c2a2b2ab，由余弦定理可得，cos C，0<C<180，C120，故選C.利用余弦定理判斷三角形形狀典例在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，試判斷ABC的形狀解：法一化角為邊將已知等式變形為b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccos Bcos C.由余弦定理并整理，得b2c2b22c222bc，b2c2a2.A90.ABC是直角三角形法二化邊為角由正弦定理，已知條件可化為sin2Csin2Bsin2Csin2B2sin Bsin Ccos Bcos C.又sin Bsin C0，sin Bsin Ccos Bcos C，即cos(BC)0.又0<BC<180，BC90，A90.ABC是直角三角形利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑(1)化邊的關(guān)系：將條件中的角的關(guān)系，利用余弦定理化為邊的關(guān)系，再變形條件判斷(2)化角的關(guān)系：將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間關(guān)系，通過(guò)三角變換得出關(guān)系進(jìn)行判斷 活學(xué)活用在ABC中，acos Abcos Bccos C，試判斷ABC的形狀解：由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知條件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展開整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根據(jù)勾股定理知ABC是直角三角形.正、余弦定理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形1ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求角B的大小；(2)若A75，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45.(2)sin Asin (3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故由正弦定理得ab1.由已知得，C180457560，cb2.題點(diǎn)二：利用正、余弦定理證明三角形中的恒等式2在ABC中，求證a2sin 2Bb2sin 2A2absin C.證明：法一：(化為角的關(guān)系式)a2sin 2Bb2sin 2A(2Rsin A)22sin Bcos B(2Rsin B)22sin Acos A8R2sin Asin B(sin Acos Bcos Asin B)8R2sin Asin Bsin C22Rsin A2Rsin Bsin C2absin C.原式得證法二：(化為邊的關(guān)系式)左邊a22sin Bcos Bb22sin Acos Aa2b2(a2c2b2b2c2a2)2c22ab2absin C右邊，原式得證題點(diǎn)三：正、余弦定理與三角函數(shù)、平面向量的交匯應(yīng)用3已知ABC的周長(zhǎng)為4(1)，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且有sin Bsin Csin A.(1)求邊長(zhǎng)a的值；(2)若ABC的面積為S3sin A，求的值解：(1)由正弦定理，得bca.又abc4(1)，聯(lián)立，解得a4.(2)SABC3sin A，bcsin A3sin A，即bc6.又bca4，由余弦定理得cos A.bccos A2.正、余弦定理是解決三角形問題的兩個(gè)重要工具，這類題目往往結(jié)合基本的三角恒等變換，同時(shí)注意三角形中的一些重要性質(zhì)，如內(nèi)角和為180、大邊對(duì)大角等 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，則角A等于()A30B60C120 D150解析：選B(bc)2a2b2c22bca23bc，b2c2a2bc，cos A，A60.2在ABC中，若a8，b7，cos C，則最大角的余弦值是()ABCD解析：選C由余弦定理，得c2a2b22abcos C82722879，所以c3，故a最大，所以最大角的余弦值為cos A.3在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若>0，則ABC()A一定是銳角三角形 B一定是直角三角形C一定是鈍角三角形 D是銳角或直角三角形解析：選C由>0得cos C>0，所以cos C<0，從而C為鈍角，因此ABC一定是鈍角三角形4若ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足(ab)2c24，且C60，則ab的值為()A. B84C1 D.解析：選A由(ab)2c24，得a2b2c22ab4，由余弦定理得a2b2c22abcos C2abcos 60ab，則ab2ab4，ab.5在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，則角B的值為()A. B.或C. D.或解析：選B因?yàn)?a2c2b2)tan Bac，所以2accos Btan Bac，即sin B，所以B或B，故選 B.6已知a，b，c為ABC的三邊，B120，則a2c2acb2_.解析：b2a2c22accos Ba2c22accos 120a2c2ac，a2c2acb20.答案：07在ABC中，若b1，c，C，則a_.解析：c2a2b22abcos C，()2a2122a1cos ，a2a20，即(a2)(a1)0，a1，或a2(舍去)a1.答案：18在ABC中，若a2，bc7，cos B，則b_.解析：因?yàn)閎c7，所以c7b.由余弦定理得：b2a2c22accos B，即b24(7b)222(7b)，解得b4.答案：49在ABC中，AC2B，ac8，ac15，求b.解：在ABC中，AC2B，ABC180，B60.由余弦定理，得b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B8221521519.b.10在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和sin C.解：a>c>b，A為最大角由余弦定理的推論，得cos A.又0<A<180，A120，sin Asin 120.由正弦定理，得sin C.最大角A為120，sin C.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1在ABC中，有下列關(guān)系式：asin Bbsin A；abcos Cccos B；a2b2c22abcos C；bcsin Aasin C.一定成立的有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：選C對(duì)于，由正弦、余弦定理，知一定成立對(duì)于，由正弦定理及sin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，知顯然成立對(duì)于，利用正弦定理，變形得sin Bsin Csin Asin Asin C2sin Asin C，又sin Bsin(AC)cos Csin Acos Asin C，與上式不一定相等，所以不一定成立故選C.2在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若C120，ca，則a，b的大小關(guān)系為()Aa>b Ba<bCab D不能確定解析：選A在ABC中，c2a2b22abcos 120a2b2ab.ca，2a2a2b2ab，a2b2ab>0，a2>b2，a>b.3在ABC中，cos2，則ABC是()A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析：選Bcos2，cos B，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC為直角三角形4在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b2c2bca20，則()A. B.C D解析：選A由余弦定理得cos A，又b2c2bca20，則cos A，又0<A<180，則A120，有B60C，所以.故選A.5在ABC中，AB2，AC，BC1，AD為邊BC上的高，則AD的長(zhǎng)是_解析：cos C，sin C，ADACsin C.答案：6在ABC中，A120，AB5，BC7，則的值為_解析：由余弦定理可得49AC22525ACcos 120，整理得：AC25AC240，解得AC3或AC8(舍去)，再由正弦定理可得.答案：7在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，ABC的周長(zhǎng)為5，求b的長(zhǎng)解：(1)由正弦定理可設(shè)k，則，所以，即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化簡(jiǎn)可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以sin C2sin A，因此2.(2)由2，得c2a.由余弦定理及cos B，得b2a2c22accos Ba24a24a24a2，所以b2a.又abc5，所以a1，因此b2.8如圖，D是直角三角形ABC斜邊BC上一點(diǎn)，ACDC.(1)若DAC30，求B；(2)若BD2DC，且AD2，求DC.解：(1)在ADC中，根據(jù)正弦定理，有，ACDC，所以sinADCsinDAC，又ADCBBADB60>60，ADC120，C1801203030，B60.(2)設(shè)DCx，則BD2x，BC3x，ACx，sin B，cos B，ABx，在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos B，即(2)26x24x22x2x2x2，得x2.故DC2.