第58練立體幾何中的軌跡問題基礎保分練1.在等腰直角ABC中，ABAC，BC2，M為BC的中點，N為AC的中點，D為BC邊上一個動點，ABD沿AD翻折使BDDC，點A在平面BCD上的投影為點O，當點D在BC上運動時，以下說法錯誤的是()A.線段NO為定長B.CO1，)C.AMOADB180D.點O的軌跡是圓弧2.已知在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1與平面A1B1C1D1垂直，且ADAB，E為CC1的中點，P在對角面BB1D1D所在平面內運動，若EP與AC成30角，則點P的軌跡為()A.圓B.拋物線C.雙曲線D.橢圓3.(2019杭州二中模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AD4，CD2，ADC，點E是線段AD上的一個動點.將EDC沿EC翻折得到EDC(仍在平面ABCD內)，連接DA，則DA的最小值為()A.22B.21C.D.14.(2019嵊州模擬)如圖，已知矩形ABCD，E是邊AB上的點(不包括端點)，且AEAD，將ADE沿DE翻折至ADE，記二面角ABCD為，二面角ACDE為，二面角ADEB為，則()A.>B.<C.D.5.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90，外接球的球心為O，點E是側棱BB1上的一個動點.有下列判斷：直線AC與直線C1E是異面直線；A1E一定不垂直于AC1；三棱錐EAA1O的體積為定值；AEEC1的最小值為2.其中正確的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.46.如圖，在矩形ABCD中，AB2，AD1，點E為CD的中點，F(xiàn)為線段CE(端點除外)上一動點.現(xiàn)將DAF沿AF折起，使得平面ABD平面ABCF.設直線FD與平面ABCF所成的角為，則sin的最大值為()A.B.C.D.7.在正方體ABCDA1B1C1D1中(如圖)，已知點P在直線BC1上運動，則下列四個命題：三棱錐AD1PC的體積不變；直線AP與平面ACD1所成的角的大小不變；二面角PAD1C的大小不變；若M是平面A1B1C1D1上到點D和C1距離相等的點，則M點的軌跡是直線A1D1.其中真命題的序號是()A.B.C.D.8.如圖，平面，l，A，B是l上的兩個點，C，D在內，DAl，CBl，ABBC2AD6，在平面上有一動點P使得PC，PD與所成的角相等(Pl)，設二面角PCDB的平面角為，則tan()A.僅有最大值B.僅有最小值C.既有最大值又有最小值D.無最值9.如圖，在四面體DABC中，ADBDACBC5，ABDC6.若M為線段AB上的動點(不包含端點)，則二面角DMCB的余弦值的取值范圍是_.10.(2019臺州模擬)如圖，在棱長為2的正四面體SABC中，動點P在側面SAB內，PQ底面ABC，垂足為Q，若PSPQ，則PC長度的最小值為_.能力提升練1.(2019浙江金華十校聯(lián)考)在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N分別是直線CD，AB上的動點，點P是A1C1D內的動點(不包括邊界)，記直線D1P與MN所成角為，若的最小值為，則點P的軌跡是()A.圓的一部分B.橢圓的一部分C.拋物線的一部分D.雙曲線的一部分2.如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為4，點H在棱AA1上，且HA11.在側面BCC1B1內作邊長為1的正方形EFGC1，P是側面BCC1B1內一動點，且點P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長.則當點P運動時，|HP|2的最小值是()A.21B.22C.23D.253.如圖在正四面體(所有棱長都相等)DABC中，動點P在平面BCD上，且滿足PAD30，若點P在平面ABC上的射影為P，則sinPAB的最大值為()A.B.C.D.4.a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，若直線AB與a所成角為60，則AB與b所成角為()A.60B.30C.90D.455.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點P在正方形ABCD的邊界及其內部運動，平面區(qū)域W由所有滿足A1P的點P組成，則W的面積是_，四面體PA1BC的體積的最大值是_.6.(2019浙大附中模擬)如圖，矩形ABCD中，AB1，BC，將ABD沿對角線BD向上翻折，若翻折過程中AC長度在內變化，則點A所形成的運動軌跡的長度為_.答案精析基礎保分練1C2.A3.A4.B5.C6.A7C8.D9.解析取AB的中點M0，則CM0DM04，AM0BM03，DM0AB，CM0AB，DM0CM0M0，AB平面DM0C，又AB平面ABC，平面ABC平面DM0C，交線為M0C.過點D作DOM0C，則DO平面ABC.先設點M在線段M0B上運動，作OGMC，連接DG，則DGO為二面角DMCB的平面角的補角在DM0C中，cosDM0C，sinDM0C，DO4，OM0.設MM0t，則CM，OC4，又OGCMM0COG，在DOG中，DG6，cosDGO，又t0,3)，cosDGO，由對稱性知，二面角DMCB的余弦值的取值范圍為.10.解析作PHAB于點H，連接QH，則PHQ為二面角SABC的平面角，設AB的中點為G，S在平面ABC內的射影為O(O為ABC的中心)，連接SG，GO，SO，則SGO也是二面角SABC的平面角，則sinPHQsinSGO，所以PHPQ，所以PHPS，所以點P的軌跡是側面SAB內以AB為準線，以S為焦點的拋物線，SG的中點O是拋物線的頂點，O到C的距離就是PC的最小值，此時由余弦定理可知，PC22()22，所以PCmin.能力提升練1B把MN平移到平面A1B1C1D1中，直線D1P與MN所成角為，直線D1P與MN所成角的最小值，是直線D1P與平面A1B1C1D1所成角，即原問題轉化為：直線D1P與平面A1B1C1D1所成角為，點P在以D1為頂點的圓錐的側面上，又點P是A1C1D內的動點(不包括邊界)，點P的軌跡是橢圓的一部分故選B.2B點P到平面CDD1C1距離就是點P到直線CC1的距離，所以點P到點F的距離等于點P到直線CC1的距離，因此點P的軌跡是以F為焦點，以CC1為準線的拋物線，在面A1ABB1中作HKBB1于K，連接KP，在RtHKP中，|HK|2|PK|2|HP|2，而|HK|4，要想|HP|2最小，只要|PK|最小即可，由題意易求得|PK|6，所以|HP|2最小值為22，故選B.3A以AD為軸，DAP30，AP為母線，圍繞AD旋轉一周，在平面BCD內形成的軌跡為橢圓，當且僅當點P位于橢圓的短軸端點(圖中點M的位置)時，PAB最大，此時ADDM，且DMBC.設正四面體DABC的各棱長為2，在RtADM中，AD2，MAD30，則MD，AM.過點D作正四面體DABC的高DO，O為底面正三角形ABC的中心，連接AO，作MP平面ABC于點P，連接PO，并延長交AB于點N，因為DMBC，MP平面ABC，DO平面ABC，所以MPDO且MPDO，四邊形MPOD為矩形，所以PODM，ON，所以PN.又在正四面體DABC中，AO2，所以DO，所以MP.在RtAMP中，AP，于是在APN中，由正弦定理可得，解得sinPAB，故選A.4A由題意知，a，b，AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設圖中所示正方體棱長為1，故|AC|1，|AB|，斜邊AB以直線AC為旋轉軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C為坐標原點，以CD所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，則D(1,0,0)，A(0,0,1)，直線a的方向單位向量a(0,1,0)，|a|1，直線b的方向單位向量b(1,0,0)，|b|1，設B點在運動過程中的坐標B(cos，sin，0)，其中為BC與CD的夾角，0,2)，AB在運動過程中的向量(cos，sin，1)，|，與b所成夾角為，與a所成夾角為，|cos|，|cos|，當與a夾角為60時，即，|sin|cos|，當與a的夾角為120時，|sin|，cos2sin21，|cos|cos|，或，此時AB與b所成角為60.5.解析由題意可知，滿足A1P的點P是以A1為球心，為半徑的球及其內部的點，又因為點P在正方形ABCD的邊界及其內部運動，所以平面區(qū)域W是以A為圓心，1為半徑的圓的，所以可知W的面積是；點A1到平面PBC的距離為h2，所以四面體PA1BC的體積為hSPBCSPBC，所以當點P是AD的中點時，SPBC取得最大值為2，四面體PA1BC的體積取得最大值.6.解析如圖1，過點A作AOBD，垂足為點O，過點C作直線AO的垂線，垂足為點E，則易得AOOE，CE1.在圖2中，由旋轉的性質易得點A在以點O為圓心，以AO為半徑的圓上運動，且BD垂直于圓O所在的平面又因為CEBD，所以CE垂直于圓O所在的平面，設當A運動到點A1處時，CA1，當A運動到點A2處時，CA2，則有CEEA1，CEEA2，則易得EA1，EA2，則易得OEA2是以O為頂點的等腰直角三角形，在OEA1中，由余弦定理易得cosEOA1，所以EOA1120，所以A1OA230，所以點A所形成的軌跡為半徑為OA，圓心角A1OA230的圓弧，所以運動軌跡的長度為.