第12講函數(shù)模型及其應用1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+)上的增減性單調(diào)單調(diào)單調(diào)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a0)反比例函數(shù)模型f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)且k0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a1,b0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a1,b0)冪函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b,為常數(shù),a0,0)常用結論1.函數(shù)f(x)=xa+bx(a>0,b>0,x>0)在區(qū)間(0,ab上單調(diào)遞減,在區(qū)間ab,+)上單調(diào)遞增.2.直線上升、對數(shù)緩慢、指數(shù)爆炸.題組一常識題1.教材改編 函數(shù)模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,隨著x的增大,增長速度的大小關系是.(填關于y1,y2,y3的關系式)圖2-12-12.教材改編 在如圖2-12-1所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是.3.教材改編 某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準備費用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲時間為x8天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元.把平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和S表示為x的函數(shù)是.4.教材改編 已知某物體的溫度Q(單位:攝氏度)隨時間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律為Q=m2t+21-t(t0,且m>0).若物體的溫度總不低于2攝氏度,則m的取值范圍是.題組二常錯題索引:審題不清致錯;忽視限制條件;忽視實際問題中實際量的單位、含義、范圍等;分段函數(shù)模型的分界把握不到位.5.一枚炮彈被發(fā)射后,其升空高度h與時間t的函數(shù)關系式為h=130t-5t2,則該函數(shù)的定義域是.6.某物體一天中的溫度T是關于時間t的函數(shù),且T=t3-3t+60,時間單位是小時,溫度單位是,當t=0時表示中午12:00,其后t值為正,則上午8時該物體的溫度是.7.在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v(米/秒)關于燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)的函數(shù)關系式是v=2000ln1+Mm.當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍時,火箭的最大速度可達12千米/秒.8.已知A,B兩地相距150千米,某人開汽車以60千米/小時的速度從A地到達B地,在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地,則汽車離開A地的距離S(千米)關于時間t(小時)的函數(shù)表達式是.探究點一一次、二次函數(shù)模型例1 某公司為提高員工的綜合素質(zhì),聘請專業(yè)機構對員工進行專業(yè)技術培訓,其中培訓機構費用成本為12 000元.公司每位員工的培訓費用按以下方式與該機構結算:若公司參加培訓的員工人數(shù)不超過30人,則每人的培訓費用為850元;若公司參加培訓的員工人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠,每多一人,培訓費減少10元,但參加培訓的員工人數(shù)最多為70.已知該公司最多有60位員工可參加培訓,設參加培訓的員工人數(shù)為x,每位員工的培訓費為y元,培訓機構的利潤為Q元.(1)寫出y與x(x>0,xN*)之間的函數(shù)關系式. (2)當公司參加培訓的員工有多少人時,培訓機構可獲得最大利潤?并求出最大利潤. 總結反思 在建立二次函數(shù)模型解決實際問題中的最優(yōu)問題時,一定要注意自變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域,解決函數(shù)應用問題時,最后還要還原到實際問題中.變式題 整改校園內(nèi)一塊長為15 m,寬為11 m的長方形草地(如圖2-12-2),將長減少1 m,寬增加1 m,問草地面積是增加了還是減少了?假設長減少x m,寬增加x m(x>0),試研究以下問題:x取什么值時,草地面積減少?x取什么值時,草地面積增加?圖2-12-2探究點二指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型例2 大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為v m/s,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為x,研究中發(fā)現(xiàn)v與log3x100(x100)成正比,且當x=300時,v=12.(1)求出v關于x的函數(shù)解析式. (2)計算一條鮭魚的游速是32 m/s時耗氧量的單位數(shù).(3)當鮭魚的游速增加1 m/s時,其耗氧量是原來的幾倍? 總結反思 與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關的實際問題,在求解時,要先學會合理選擇模型.(1)在兩類函數(shù)模型中,指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型.(2)在解決這兩類函數(shù)模型時,一般先要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,再借助函數(shù)的圖像求解最值問題.變式題 將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設過5 min后甲桶和乙桶中的水量相等,若再過m min后甲桶中的水只有a4 L,則m的值為()A.5B.8C.9D.10探究點三分段函數(shù)模型例3 某群體的人均通勤時間是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時,某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當S中x%(0<x<100)的成員自駕時,自駕群體的人均通勤時間(單位:分鐘)為f(x)=30,0<x30,2x+1800x-90,30<x<100,而公交群體的人均通勤時間不受x影響,恒為40分鐘.試根據(jù)上述分析結果回答下列問題:(1)當x在什么范圍內(nèi)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間?(2)求該地上班族S的人均通勤時間g(x)的表達式,討論g(x)的單調(diào)性,并說明其實際意義. 總結反思 (1)某些實際問題中的變量關系不能用同一個關系式給出,而是由幾個不同的關系式構成,所以應建立分段函數(shù)模型;(2)構建分段函數(shù)時,要力求準確、簡捷、合理、不重不漏;(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大值(或最小值).變式題 某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水果樹的產(chǎn)量w(單位:百千克)與肥料費用x(單位:百元)滿足如下關系式:w=12x2+1(0x2),4-31+x(2<x5).此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)2x百元.已知這種水果的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克),且市場需求始終供不應求.記該棵水果樹獲得的利潤為L(x)(單位:百元).(1)求L(x)的函數(shù)表達式.(2)當投入的肥料費用為多少時,該棵水果樹獲得的利潤最大?最大利潤是多少?第12講函數(shù)模型及其應用考試說明 1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征,知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用.【課前雙基鞏固】知識聚焦1.遞增遞增遞增對點演練1.y3>y1>y2解析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長速度關系可得.2.10,30解析 設矩形的另一邊長為y m,由相似三角形的性質(zhì)可得x40=40-y40(0<x<40),解得y=40-x(0<x<40),矩形的面積S=x(40-x).矩形花園的面積不小于300 m2,x(40-x)300,即(x-10)(x-30)0,解得10x30,滿足0<x<40,故其邊長x(單位:m)的取值范圍是10,30.3.S=800x+x8解析 由題意知,每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是800x元,倉儲費用是x81元,所以每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和S=800x+x8.4.12,+解析 物體的溫度總不低于2攝氏度,即Q2恒成立,即m2t+22t2恒成立,即m212t-122t恒成立.令12t=x,則0<x1,m2(x-x2),由于當0<x1時,x-x214,所以m12.因此,當物體的溫度總不低于2攝氏度時,m的取值范圍是12,+.5.0,26解析 令h0,解得0t26,故所求定義域為0,26.6.8 解析 由題意知,上午8時即t=-4,因此所求溫度T=(-4) 3-3(-4)+60=8().7.e6-1解析 由題意可得12 000=2000ln1+Mm,則ln1+Mm=6,解得1+Mm=e6,所以Mm=e6-1,故填e6-1.8.S=60t(0t2.5),150(2.5<t3.5),325-50t(3.5<t6.5)解析 當0t2.5時,S=60t;當2.5<t3.5時,S=150;當3.5<t6.5時,S=150-50(t-3.5)=325-50t.【課堂考點探究】例1思路點撥 (1)根據(jù)題意,分0<x30(xN*)和30<x60(xN*)兩種情況考慮;(2)利潤是用每人的培訓費用乘培訓人數(shù)再減去成本,根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最大值,然后比較即可.解:(1)依題意得,當0<x30時,y=850;當30<x60時,y=850-10(x-30)=-10x+1150.y=850,0<x30,xN*,-10x+1150,30<x60,xN*.(2)當0<x30,xN*時,Q=850x-12 000,當x=30時,Q取得最大值,即Qmax=13 500.當30<x60,xN*時,Q=(-10x+1150)x-12 000=-10x2+1150x-12 000=-10x-11522+42 1252,當x=57或58時,Q取得最大值,即Qmax=21 060.21 060>13 500,當公司參加培訓的員工人數(shù)為57或58時,培訓機構可獲得最大利潤21 060元.變式題解:原草地面積S1=1115=165(m2),整改后草地面積為S=1412=168(m2),S>S1,整改后草地面積增加了.研究:長減少x m,寬增加x m后,草地面積為S2=(11+x)(15-x).S1-S2=165-(11+x)(15-x)=x2-4x,當0<x<4時,x2-4x<0,即S1<S2;當x=4時,x2-4x=0,即S1=S2;當x>4時,x2-4x>0,即S1>S2.綜上所述,當0<x<4時,草地面積增加;當x=4時,草地面積不變;當x>4時,草地面積減少.例2思路點撥 (1)用待定系數(shù)法求解;(2)將v=32代入解析式,解方程求x即可;(3)設原來的游速為v0 m/s,耗氧量的單位數(shù)為x0,游速增加1 m/s后為(v0+1) m/s,耗氧量的單位數(shù)為x,分別代入解析式后,兩式消去v0,整理可得.解:(1)設v=klog3x100(k0),當x=300時,v=12,解得k=12,v關于x的函數(shù)解析式為v=12log3x100(x100).(2)當游速為32 m/s時,由解析式得32=12log3x100, log3x100=3,x100=27,解得x=2700,即耗氧量的單位數(shù)為2700.(3)設原來的游速為v0 m/s,耗氧量的單位數(shù)為x0,游速增加1 m/s后為(v0+1) m/s,耗氧量的單位數(shù)為x,則v0=12log3x0100,v0+1=12log3x100,-得1=12log3x100-12log3x0100=12log3xx0,log3xx0=2,xx0=32=9,耗氧量是原來的9倍.變式題A解析 5 min后甲桶和乙桶中的水量相等,函數(shù)y=f(t)=aent滿足f(5)=ae5n=12a,可得n=15ln12.設k min后甲桶中的水只有a4 L,則f(k)=14a,即15ln12k=ln14,即15ln12k=2ln12,解得k=10,故m=10-5=5.故選A.例3思路點撥 (1)求出f(x)>40時x的取值范圍即可;(2)分段求出g(x)的解析式,判斷g(x)的單調(diào)性,再說明其實際意義.解:(1)由題意知,當30<x<100時,由f(x)=2x+1800x-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,當x(45,100)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間.(2)當0<x30時,g(x)=30x%+40(1-x%)=40-x10;當30<x<100時,g(x)=2x+1800x-90x%+40(1-x%)=x250-1310x+58.g(x)=40-x10(0<x30),x250-1310x+58(30<x<100).當0<x<32.5時,g(x)單調(diào)遞減;當32.5<x<100時,g(x)單調(diào)遞增.說明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時,人均通勤時間是遞減的;有大于32.5%的人自駕時,人均通勤時間是遞增的;當自駕人數(shù)為32.5%時,人均通勤時間最少.變式題解:(1)L(x)=16w-2x-x=8x2+16-3x(0x2),64-481+x-3x(2<x5).(2)當0x2時,L(x)max=L(2)=42;當2<x5時,L(x)=67-48x+1+3(x+1)67-248x+13(x+1)=43,當且僅當48x+1=3(x+1),即x=3時等號成立.由于42<43,所以當投入的肥料費用為300元時,該棵水果樹獲得的利潤最大,最大利潤為4300元.【備選理由】 例1為一次函數(shù)與二次函數(shù)模型問題,需要分情況討論求最值;例2是一道指數(shù)函數(shù)模型應用問題,需要兩邊取對數(shù)求解;例3為分段函數(shù)模型,需要對函數(shù)求導得最值,運算量較大.例1配合例1使用 旅行社為某旅游團包飛機去旅游,其中旅行社的包機費為15 000元.旅游團中每人的飛機票按以下方式與旅行社結算:若旅游團人數(shù)不多于30,則飛機票每張收費900元;若旅游團人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠,每多1人,機票費每張減少10元,但旅游團人數(shù)最多為75.(1)寫出飛機票的價格關于旅游團人數(shù)的函數(shù)關系式.(2)旅游團人數(shù)為多少時,旅行社可獲得最大利潤?解:(1)設旅游團人數(shù)為x,飛機票價格為y元,依題意知,當1x30,且xN*時,y=900;當30<x75,且xN*時,y=900-10(x-30)=-10x+1200.所以所求函數(shù)關系式為y=900,1x30,xN*,-10x+1200,30<x75,xN*.(2)設利潤為f(x)元,則由(1)知f(x)=yx-15 000=900x-15 000,1x30,xN*,-10x2+1200x-15 000,30<x75,xN*.當1x30,且xN*時,f(x)max=f(30)=12 000;當30<x75,且xN*時,f(x)max=f(60)=21 000.因為21 000>12 000,所以旅游團人數(shù)為60時,旅行社可獲得最大利潤.例2配合例2使用 衣柜里的樟腦丸隨著時間推移會揮發(fā),從而體積變小,若它的體積V隨時間t的變化規(guī)律是V=V0e110t(e為自然對數(shù)的底數(shù)),其中V0為初始值.若V=V03,則t的值約為.(運算結果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):lg 30.477 1,lg e0.434 3)答案 11解析 由題知V0e110t=V03,即e110t=13=3-1,所以-110t=ln 3-1=-ln 3,所以t=10ln 3=10lg3lg e100.477 10.434 311.例3配合例3使用 某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的電子產(chǎn)品,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:當每臺電子產(chǎn)品的利潤為x(單位:元,x>0)時,銷售量q(x)(單位:百臺)與x之間的關系滿足:若x不超過25,則q(x)=2400x+11;若x大于或等于225,則銷售量為零;當25x225時,q(x)=a-bx(a,b為實常數(shù)).(1)求函數(shù)q(x)的表達式.(2)當x為多少時,總利潤(單位:元)最大?并求出該最大值. 解:(1)當25x225時,由a-b25=400,a-b225=0,得a=600,b=40.故q(x)=2400x+11,0<x25,600-40x,25<x225,0,x>225.(2)設總利潤為f(x),則f(x)=100q(x)x,由(1)得f(x)=240 000xx+11,0<x25,60 000x-4000xx,25<x225,0,x>225.當0<x25時,f(x)=240 000xx+11=240 000x+11-11x+11,f(x)在(0,25上單調(diào)遞增,所以當x=25時,f(x)有最大值1 000 000.當25<x225時,f(x)=60 000x-4000xx,f(x)=60 000-6000x,令f(x)=0,得x=100,當25<x<100時,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當100<x225時,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以當x=100時,f(x)有最大值2 000 000.當x>225時,f(x)=0.故當x為100時,總利潤最大,為2 000 000元.