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3.2古典概型與幾何概型 典型例題： 1．現(xiàn)有名女教師和名男教師參加說題比賽，共有道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為（ ） A. B. C. D. 2．在區(qū)間上隨機選取兩個數(shù)和，則的概率為（ ） A. B． C． D． 3．在區(qū)間上隨機選取一個數(shù)，若的概率為，則實數(shù)的值為（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 鞏固練習： 1．某校3名教師和3名學生共6人去北京參加學習方法研討會，須乘坐兩輛車，每車坐人，則恰有兩名教師在同一車上的概率（ ） A． B． C． D． 2．從集合中隨機選取一個數(shù)記為，從集合中隨機選取一個數(shù)記為，則直線不經(jīng)過第四象限的概率為（ ） A． B． C． D． 3．已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)，則的概率為 （ ） A． B． C. D． 4．在區(qū)間中隨機取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和不小于的概率是（ ） A. B. C. D. 5．如圖圓內(nèi)切于扇形，，若在扇形內(nèi)任取一點，則該點在圓內(nèi)的概率為（ ） A． B． C． D． 6．若某公司從5位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戌中錄用3人，這5人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為（ ） A． B． C． D． 7．取一個正方形及其它的外接圓，隨機向圓內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落入正方形外的概率為（ ） A． B． C． D． 8．在底面半徑為1，高為2的圓柱內(nèi)隨機取一點到圓柱底面圓心的距離大于1的概率為（ ） A． B． C． D． 9．從內(nèi)任意取兩個實數(shù)，這兩個數(shù)的平方和小于1的概率為 . 10．已知圓M：，在圓M上隨機取兩點A、B，使的概率為 . 11．某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”， 全校學生參加了這次競賽．為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計．請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題： 頻率分布表 組別 分組 頻數(shù) 頻率 第1組 [50，60） 8 0 16 第2組 [60，70） a ▓ 第3組 [70，80） 20 0 40 第4組 [80，90） ▓ 0 08 第5組 [90，100] 2 b 合計 ▓ ▓ 組距 頻率 成績（分） 頻率分布直方圖 0.040 x ▓ 0.008 ▓ 50 60 80 70 90 100 y （1）求出的值； （2）在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取 2名同學到廣場參加環(huán)保知識的志愿宣傳活動 （?。┣笏槿〉?名同學中至少有1名同學來自第5組的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同學來自同一組的概率 12．節(jié)日期間，高速公路車輛較多，某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務(wù)區(qū)的順序，隨機抽取第一輛汽車后，每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（）分成六段，，，，，后得到如下圖的頻率分布直方圖． （1）請直接回答這種抽樣方法是什么抽樣方法？并估計出這40輛車速的中位數(shù)； （2）設(shè)車速在的車輛為，， ，（為車速在上的頻數(shù)），車速在的車輛為，， ，（為車速在上的頻數(shù)），從車速在的車輛中任意抽取輛共有幾種情況？請列舉出所有的情況，并求抽取的輛車的車速都在上的概率． 3.2古典概型與幾何概型 典型例題： 1. C【解析】 試題分析：設(shè)兩道題分別為A，B題，所以抽取情況共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1個，第2個分別是兩個女教師抽取的題目，第3個表示男教師抽取的題目，一共有8種；其中滿足恰有一男一女抽到同一題目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4種； 故所求事件的概率為 2. A【解析】試題分析：的概率為.選A. 3. C【解析】試題分析：由得．選C． 鞏固練習： 1. C 2. A【解析】試題分析：集合中各有三個元素，隨機選取，所有可能有種，直線是不經(jīng)過第四象限時，且，滿足條件的有兩種，則直線是不經(jīng)過第四象限的概率為 3. D【解析】試題分析：在同一坐標系中作出函數(shù)與，如圖所示，則由圖可知，兩個函數(shù)的圖象交點為，則在內(nèi)時，，所以的概率為，故選D． 4. D【解析】 試題分析：設(shè)取出兩個數(shù)為；則，若這兩數(shù)之和小于，則有，根據(jù)幾何概型，原問題可以轉(zhuǎn)化為求不等式組；表示的區(qū)域與表示區(qū)域的面積之比問題，如圖所示；易得其概率為 . 考點：幾何概型. 5. C 【解析】 試題分析：作輔助線，則設(shè)圓的半徑為，可得所以扇形的半徑為，由幾何概型，點在圓內(nèi)的概率為，故選C. 6. D 7. B【解析】試題分析：設(shè)圓的半徑為，所以正方形邊長為，正方形面積為，圓的面積為 8. B【解析】試題分析:因到底面圓心的距離為的點的軌跡是半徑為的球,其體積,而圓柱的體積,故滿足題設(shè)條件的概率是,選B. 9. 10. 試題分析：設(shè)，當時，取線段的中點，則，在中，，故，即，故的概率為． 11. 【答案】（1）．（2）（ⅰ）．（ⅱ） 【解析】（1）由題意可知，． （4分） （2）（ⅰ）由題意可知，第4組共有4人，記為，第5組共有2人，記為． 從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取2名同學有， 共15種情況． （6分） 設(shè)“隨機抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組”為事件， 有，共9種情況． （9分） 所以隨機抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率是． （10分） （ⅱ）設(shè)“隨機抽取的2名同學來自同一組”為事件，有共7種情況． 所以隨機抽取的2名同學來自同一組的概率 （12分） 12. 【答案】（1）系統(tǒng)抽樣，；（2） 【解析】試題分析：（1）系統(tǒng)抽樣的方法是每間隔一個相同的長度，抽取一個樣本.所以本小題符合系統(tǒng)抽樣的方法.通過直方圖計算中位數(shù)，是指直方圖中從左到右直方圖的面積為二分之一這條分界線所對的值，通過運算可求得中位數(shù)的估算值. （2）由于車速在的車輛頻率為0.05，車速在的車輛的頻率為0.1.所以可求出車速在這兩段上的車輛數(shù).再求出相應(yīng)的概率即可. （1）此調(diào)查公司在抽樣中，用到的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣． 2分 ∵車速在區(qū)間，，，上的頻率分別為，，，； ∴車速在區(qū)間上的頻率是，車速在區(qū)間上的頻率是． ∴中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)． 2分 設(shè)中位數(shù)的估計值是， ∴． 解之得． ∴中位數(shù)的估計值為 6分 （2）由（1）得，． 8分 ∴所以車速在的車輛中任意抽取輛的所有情況是： ，共有種情況． 10分 車速都在上的輛車的情況有種．所以車速都在上的輛車的概率是． 12分 考點：1.統(tǒng)