專題對點練13等差、等比數(shù)列與數(shù)列的通項及求和1.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通項公式.2.(2018北京,文15)設(shè)an是等差數(shù)列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求an的通項公式;(2)求ea1+ea2+ean.3.(2018全國,文17)等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通項公式;(2)記Sn為an的前n項和,若Sm=63,求m.4.在等差數(shù)列an中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列an+bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,求bn的前n項和Sn.5.(2018天津,文18)設(shè)an是等差數(shù)列,其前n項和為Sn(nN*);bn是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項和為Tn(nN*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求Sn和Tn;(2)若Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值.6.在等差數(shù)列an中,a7=8,a19=2a9.(1)求an的通項公式;(2)設(shè)bn=1nan,求數(shù)列bn的前n項和Sn.7.已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)bn為各項非零的等差數(shù)列,其前n項和為Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求數(shù)列bnan的前n項和Tn.8.已知數(shù)列an是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,數(shù)列bn是公比大于0的等比數(shù)列,且b1=-2a1=2,a3-b2=-1,S3-2b3=7.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式;(2)設(shè)cn=(-1)n-1anbn,求數(shù)列cn的前n項和Tn.專題對點練13答案1.解 (1)由題意得a2=12,a3=14.(2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因為an的各項都為正數(shù),所以an+1an=12.故an是首項為1,公比為12的等比數(shù)列,因此an=12n-1.2.解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a2+a3=5ln 2,2a1+3d=5ln 2.又a1=ln 2,d=ln 2.an=a1+(n-1)d=nln 2.(2)由(1)知an=nln 2.ean=enln 2=eln 2n=2n,ean是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列.ea1+ea2+ean=2+22+2n=2n+1-2.ea1+ea2+ean=2n+1-2.3.解 (1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,則Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解.若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.綜上,m=6.4.解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差是d.由已知(a3+a8)-(a2+a7)=2d=-6,解得d=-3,a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1,數(shù)列an的通項公式為an=-3n+2.(2)由數(shù)列an+bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,an+bn=2n-1,bn=2n-1-an=3n-2+2n-1,Sn=1+4+7+(3n-2)+(1+2+22+2n-1)=n(3n-1)2+2n-1.5.解 (1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因為q>0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn=1-2n1-2=2n-1.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,從而a1=1,d=1,故an=n.所以,Sn=n(n+1)2.(2)由(1),有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.由Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得,n(n+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.所以,n的值為4.6.解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d.因為a7=8,所以a1+6d=8.又a19=2a9,所以a1+18d=2(a1+8d),解得a1=2,d=1,所以an的通項公式為an=n+1.(2)bn=1nan=1n(n+1)=1n-1n+1,所以Sn=1-12+12-13+1n-1n+1=nn+1.7.解 (1)設(shè)an的公比為q,由題意知a1(1+q)=6,a12q=a1q2,又an>0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由題意知S2n+1=(2n+1)(b1+b2n+1)2=(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以bn=2n+1.令cn=bnan,則cn=2n+12n,因此Tn=c1+c2+cn=32+522+723+2n-12n-1+2n+12n.又12Tn=322+523+724+2n-12n+2n+12n+1,兩式相減得12Tn=32+12+122+12n-1-2n+12n+1,所以Tn=5-2n+52n.8.解 (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,數(shù)列bn的公比為q,q>0,b1=-2a1=2,a3-b2=-1,S3-2b3=7,a1=-1,-1+2d-2q=-1,3(-1)+3d-22q2=7,解得d=2,q=2.an=-1+2(n-1)=2n-3,bn=2n.(2)cn=(-1)n-1anbn=(-1)n-1(2n-3)2n,Tn=-12-122+323-524+(-1)n-2(2n-5)2n-1+(-1)n-1(2n-3)2n,12Tn=-122-123+324+(-1)n-2(2n-5)2n+(-1)n-1(2n-3)2n+1,32Tn=-12-12+122-123+(-1)n-112n-1+(-1)n-1(2n-3)2n+1=-12+-121-12n-11-12+(-1)n-1(2n-3)2n+1,Tn=-59+29-12n-1+(-1)n-1(2n-3)32n.