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組合增分練9　解答題型綜合練B 1.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a32=9a2a6. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列1bn的前n項(xiàng)和. 2.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,將△ABD沿BD折到△ABD的位置,使平面ABD⊥平面CBD. (1)求證:CD⊥AB; (2)試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得三棱錐P-BDC的體積為439. 3.某化妝品商店為促進(jìn)顧客消費(fèi),在“三八”婦女節(jié)推出了“分段折扣”活動(dòng),具體規(guī)則如下表: 購(gòu)買商品金額 折扣 消費(fèi)不超過(guò)200元的部分 9折 消費(fèi)超過(guò)200元但不超過(guò)500元的部分 8折 消費(fèi)超過(guò)500元但不超過(guò)1 000元的部分 7折 消費(fèi)超過(guò)1 000元的部分 6折 例如,某顧客購(gòu)買了300元的化妝品,她實(shí)際只需付:2000.9+1000.8=260(元).為了解顧客的消費(fèi)情況,隨機(jī)調(diào)查了100名顧客,得到如下統(tǒng)計(jì)表: 購(gòu)買商品金額 (0,200] (200,500] (500,1 000] 1 000以上 人　數(shù) 10 40 30 20 (1)寫出顧客實(shí)際消費(fèi)金額y與她購(gòu)買商品金額x之間的函數(shù)關(guān)系式(只寫結(jié)果); (2)估算顧客實(shí)際消費(fèi)金額y不超過(guò)180的概率; (3)估算顧客實(shí)際消費(fèi)金額y超過(guò)420的概率. 4.已知橢圓C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為12,P為C上動(dòng)點(diǎn),且滿足F2P=λPQ(λ>0),|PQ|=|PF1|,△QF1F2面積的最大值為4. (1)求點(diǎn)Q的軌跡E的方程和橢圓C的方程; (2)直線y=kx+m(m>0)與橢圓C相切且與曲線E交于M,N兩點(diǎn),求|MN|的取值范圍. 5.設(shè)f(x)=13x3+mx2+nx. (1)如果g(x)=f(x)-2x-3在x=-2處取得最小值-5,求f(x)的解析式; (2)如果m+n<10(m,n∈N*),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù),試求m和n的值. (注:區(qū)間(a,b)的長(zhǎng)度為b-a) 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=-1+tcosα,y=tsinα(t為參數(shù),α為直線的傾斜角).以平面直角坐標(biāo)系O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系.圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ,設(shè)直線與圓交于A,B兩點(diǎn). (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程與α的取值范圍; (2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0),求1|PA|+1|PB|的取值范圍. 7.(1)已知函數(shù)f(x)=|2x-3|-2|x|,若關(guān)于x的不等式f(x)≤|a+2|+2a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)已知正數(shù)x,y,z滿足2x+y+z=1,求1x+2y+z+3z+3x的最小值.  組合增分練9答案 1.解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q. 由a32=9a2a6得a32=9a42,所以q2=19. 由條件可知q>0,則q=13. 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1, 所以a1=13. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=13n. (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an =-(1+2+…+n)=-n(n+1)2. 故1bn=-2n(n+1)=-21n-1n+1, 1b1+1b2+…+1bn =-21-12+12-13+…+1n-1n+1=-2nn+1. 所以數(shù)列1bn的前n項(xiàng)和為-2nn+1. 2.(1)證明 在等腰梯形ABCD中,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E, 過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F(圖略),則AE∥DF,∴EF=AD=2. 又在等腰梯形ABCD中,Rt△ABE≌Rt△DCF,且BC=4, ∴BE=FC=1,∴cos C=12. 在△BCD中,BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=42+22-24212=12, ∴BD2+CD2=BC2,∴CD⊥BD. ∵平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD, ∴CD⊥平面ABD,∴CD⊥AB. (2)解 由(1)知VA-BCD=13S△BCDh=13122321=233, 設(shè)AP=λAC,則VP-BCD=λVA-BCD, 即439=λ233,解得λ=23, ∴點(diǎn)P在線段AC靠近A的三等分點(diǎn)處. 3.解 (1)y=0.9x,x≤200,0.8x+20,2001 000. (2)令y≤180,解得x≤200, ∴顧客實(shí)際消費(fèi)金額y不超過(guò)180的概率為10100=0.1. (3)令y>420,解得x>500, ∴顧客實(shí)際消費(fèi)金額y超過(guò)420的概率為30+20100=0.5. 4.解 (1)由橢圓定義得:|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a, 所以點(diǎn)Q的軌跡是以F2為圓心,2a為半徑的圓. 當(dāng)QF2⊥F1F2時(shí),△QF1F2面積最大,所以122c2a=4,得ac=2. 又ca=12,可得a=2,c=1. 所以點(diǎn)Q的軌跡E的方程為x2+(y+1)2=16,橢圓C的方程為y24+x23=1. (2)由y=kx+m,y24+x23=1得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,Δ=36k2m2-4(3k2+4)(3m2-12)=0. 化簡(jiǎn),得3k2-m2+4=0,所以k2=m2-43≥0,又m>0,得m≥2.設(shè)圓心F2(0,-1)到直線MN的距離為d,則d=|m+1|1+k2=3(m+1)m-1=3+6m-1. 由m≥2,得3<3+6m-1≤9,即30,即m2>n. 不妨設(shè)為x1,x2,則|x2-x1|=2m2-n為正整數(shù). 故m≥2時(shí)才可能有符合條件的m,n; 當(dāng)m=2時(shí),只有n=3符合要求; 當(dāng)m=3時(shí),只有n=5符合要求; 當(dāng)m≥4時(shí),沒(méi)有符合要求的n. 綜上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5滿足上述要求. 6.解 (1)∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ, ∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0. 把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2-2x=0,得t2-4tcos α+3=0, 又直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),∴Δ=16cos2α-12>0,解得cos α>32或cos α<-32.又由α∈[0,π),故α的取值范圍為α∈0,π6∪5π6,π. (2)設(shè)方程t2-4tcos α+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為t1,t2,則由參數(shù)t的幾何意義可知1|PA|+1|PB|=|t1+t2|t1t2=|4cosα|3. 又由32<|cos α|≤1, ∴233<|4cosα|3≤43, ∴1|PA|+1|PB|的取值范圍為233,43. 7.解 (1)因?yàn)閒(x)=|2x-3|-|2x|≤|(2x-3)-2x|=3, 若關(guān)于x的不等式f(x)≤|a+2|+2a恒成立,則3≤|a+2|+2a,得a≥13. (2)由柯西不等式得1x+2y+z+3z+3x=121x+2y+z+3z+3x[(x+2y+z)+(z+3x)]≥12(3+1)2=2+3. 當(dāng)且僅當(dāng)1x+2y+z=3z+3x時(shí)取最小值2+3.