第4講函數(shù)的概念及其表示1.函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A,B設A,B是兩個設A,B是兩個對應關系f:AB按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的一個數(shù)x,在集合B中都有的數(shù)f(x)與之對應按某一個確定的對應關系f,使對于集合A中的一個元素x,在集合B中都有的元素y與之對應名稱稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱對應為從集合A到集合B的一個映射記法y=f(x),xA對應f:AB2.函數(shù)的三要素函數(shù)由、和對應關系三個要素構成.在函數(shù)y=f(x),xA中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的.與x的值相對應的y值叫作函數(shù)值,函數(shù)值的集合f(x)|xA叫作函數(shù)的.3.函數(shù)的表示法函數(shù)的常用表示方法:、.4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi),對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的,這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個部分組成,但它表示的是一個函數(shù).常用結(jié)論1.常見函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.(4)零次冪的底數(shù)不能為0.(5)y=ax(a>0且a1),y=sin x,y=cos x的定義域均為R.(6)y=logax(a>0,a1)的定義域為x|x>0.(7)y=tan x的定義域為xxk+2,kZ.2.抽象函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域為m,n,則在fg(x)中,mg(x)n,從而解得x的范圍,即為fg(x)的定義域.(2)若fg(x)的定義域為m,n,則由mxn確定g(x)的范圍,即為f(x)的定義域.3.基本初等函數(shù)的值域(1)y=kx+b(k0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a0)的值域:當a>0時,值域為4ac-b24a,+;當a<0時,值域為-,4ac-b24a.(3)y=kx(k0)的值域是y|y0.(4)y=ax(a>0且a1)的值域是(0,+).(5)y=logax(a>0且a1)的值域是R.題組一常識題1.教材改編 以下屬于函數(shù)的有.(填序號)y=x;y2=x-1;y=x-2+1-x;y=x2-2(xN).2.教材改編 已知函數(shù)f(x)=x+1,x0,x2,x<0,則f(-2)=,ff(-2)=.3.教材改編 函數(shù)f(x)=8-xx+3的定義域是.4.教材改編 已知集合A=1,2,3,4,B=a,b,c,f:AB為從集合A到集合B的一個函數(shù),那么該函數(shù)的值域C的不同情況有種.題組二常錯題索引:求函數(shù)定義域時非等價化簡解析式致錯;分段函數(shù)解不等式時忘記范圍;換元法求解析式,反解忽視范圍;對函數(shù)值域理解不透徹致錯.5.函數(shù)y=x-2x+2的定義域是.6.設函數(shù)f(x)=(x+1)2,x<1,4-x-1,x1,則使得f(x)1的自變量x的取值范圍為.7.已知f(x)=x-1,則f(x)=.8.若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為y=x2,值域為1,4的“同族函數(shù)”共有個.探究點一函數(shù)的定義域角度1求給定函數(shù)解析式的定義域例1 (1)函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域為()A.(0,1B.0,1C.(-,0)(1,+)D.(-,0)1,+)(2)函數(shù)f(x)=1-2x+1x+3的定義域為()A.(-3,0B.(-3,1C.(-,-3)(-3,0D.(-,-3)(-3,1總結(jié)反思 (1)求函數(shù)定義域即求使解析式有意義的自變量x的取值集合;(2)若函數(shù)是由幾個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構成時,定義域一般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集;(3)具體求解時一般是列出自變量滿足的不等式(組),得出不等式(組)的解集即可;(4)注意不要輕易對解析式化簡變形,否則易出現(xiàn)定義域錯誤.角度2求抽象函數(shù)的定義域例2 (1)若函數(shù)y=f(x)的定義域是0,2,則函數(shù)g(x)=f(2x)lnx的定義域是()A.0,1B.0,1)C.0,1)(1,4D.(0,1)(2)若函數(shù)f(x2+1)的定義域為-1,1,則f(lg x)的定義域為()A.-1,1B.1,2C.10,100D.0,lg 2總結(jié)反思 (1)無論抽象函數(shù)的形式如何,已知定義域還是求定義域均是指其中的x的取值集合;(2)同一問題中、同一法則下的范圍是一致的,如fg(x)與fh(x),其中g(x)與h(x)的范圍(即它們的值域)一致.變式題 (1)若函數(shù)y=f(x)的定義域為(0,1),則f(x+1)的定義域為()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,1)(2)已知函數(shù)y=f(x2-1)的定義域為-3,3,則函數(shù)y=f(x)的定義域為.探究點二函數(shù)的解析式例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,則函數(shù)f(x)的解析式是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2D.f(x)=3x+4(2)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,則函數(shù)f(x)=.(3)設函數(shù)f(x)對不為0的一切實數(shù)x均有f(x)+2f2018x=3x,則f(x)=.總結(jié)反思 求函數(shù)解析式的常用方法:(1)換元法:已知復合函數(shù)fg(x)的解析式,可用換元法,此時要注意新元的取值范圍.(2)待定系數(shù)法:已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法.(3)配湊法:由已知條件fg(x)=F(x),可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)解方程組法:已知f(x)與f1x或f(-x)之間的關系式,可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式,兩等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).變式題 (1)已知函數(shù)f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,則t=()A.12B.13C.14D.15(2)若f(x)對于任意實數(shù)x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,則f(x)=()A.x+1B.x-1C.2x+1D.3x+3(3)若f(x)為一次函數(shù),且ff(x)=4x+1,則f(x)=.探究點三以分段函數(shù)為背景的問題微點1分段函數(shù)的求值問題例4 (1)2018衡水調(diào)研 設函數(shù)f(x)=x+1,x0,12x,x<0,則ff(-1)=()A.32B.2+1C.1D.3(2)已知函數(shù)f(x)=2x,x<2,f(x-1),x2,則f(log27)=.總結(jié)反思 求分段函數(shù)的函數(shù)值時務必要確定自變量所在的區(qū)間及其對應關系.對于復合函數(shù)的求值問題,應由里到外依次求值.微點2分段函數(shù)與方程例5 (1)已知函數(shù)f(x)=(3+a)x+a,x<1,logax,x1,若ff(1)=3,則a=()A.2B.-2C.-3D.3(2)函數(shù)f(x)=2x,x0,x-lnx,x>0,若f(0)+f(a)=2,則a的值為.總結(jié)反思 (1)若分段函數(shù)中含有參數(shù),則直接根據(jù)條件選擇相應區(qū)間上的解析式代入求參;(2)若是求自變量的值,則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對自變量進行分類討論,再求值.微點3分段函數(shù)與不等式問題例6 (1)2018惠州二模 設函數(shù)f(x)=2-x-1,x0,x12,x>0,若f(x0)>1,則x0的取值范圍是()A.(-1,1)B.(-1,+)C.(-,-2)(0,+)D.(-,-1)(1,+)(2)2018全國卷 設函數(shù)f(x)=2-x,x0,1,x>0,則滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是()A.(-,-1B.(0,+)C.(-1,0)D.(-,0)總結(jié)反思 涉及與分段函數(shù)有關的不等式問題,主要表現(xiàn)為解不等式,當自變量取值不確定時,往往要分類討論求解;當自變量取值確定,但分段函數(shù)中含有參數(shù)時,只需依據(jù)自變量的情況,直接代入相應解析式求解.應用演練1.【微點1】若函數(shù)f(x)=2x+1,x<0,x,x0,則f(1)+f(-1)=()A.0B.2C.-2D.12.【微點2】設函數(shù)f(x)=22x-1+3,x0,1-log2x,x>0,若f(a)=4,則實數(shù)a的值為()A.12B.18C.12或18D.1163.【微點3】已知函數(shù)f(x)=3+log2x,x>0,x2-x-1,x0,則不等式f(x)5的解集為()A.-1,1B.-2,4 C.(-,-2(0,4)D.(-,-20,44.【微點3】2018湖北咸寧聯(lián)考 已知函數(shù)f(x)=x2-2x,x0,1x,x<0,則不等式f(x)x的解集為()A.-1,3B.(-,-13,+)C.-3,1D.(-,-31,+)5.【微點2】設函數(shù)f(x)=3x-b,x<1,2x,x1,若ff56=4,則b=.第4講函數(shù)的概念及其表示考試說明 1.了解構成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念.2.在實際情境中,會根據(jù)不同的需求選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法,列表法,解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應用(函數(shù)分段不超過三段).【課前雙基鞏固】知識聚焦1.非空數(shù)集非空集合任意唯一確定任意唯一確定f:ABf:AB2.定義域值域定義域值域3.解析法圖像法列表法4.對應關系對點演練1.解析 對于定義域內(nèi)任給的一個數(shù)x,可能有兩個不同的y值,不滿足對應的唯一性,故錯.的定義域是空集,而函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集,故錯.只有表示函數(shù).2.45解析 因為f(-2)=(-2)2=4,所以ff(-2)=f(4)=4+1=5.3.(-,-3)(-3,8解析 要使函數(shù)有意義,需8-x0且x+30,即x8且x-3,所以其定義域是(-,-3)(-3,8.4.7解析 只含有一個元素時有a,b,c;有兩個元素時,有a,b,a,c,b,c;有三個元素時,有a,b,c.所以值域C共有7種不同情況.5.x|x2解析 要使函數(shù)有意義,需x-20,x+20,解得x2,即定義域為x|x2.6.(-,-20,10解析 f(x)是分段函數(shù),f(x)1應分段求解.當x<1時,f(x)1(x+1)21x-2或x0,x-2或0x<1.當x1時,f(x)14-x-11,即x-13,1x10. 綜上所述,x-2或0x10,即x(-,-20,10.7.x2-1(x0)解析 令t=x,則t0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t0),即f(x)=x2-1(x0).8.9解析 設函數(shù)y=x2的定義域為D,其值域為1,4,D的所有可能的個數(shù),即是同族函數(shù)的個數(shù),D的所有可能為-1,2,-1,-2,1,2,1,-2,-1,1,2,-1,1,-2,-1,2,-2,1,2,-2,-1,1,2,-2,共9個,故答案為9.【課堂考點探究】例1思路點撥 (1)根據(jù)對數(shù)式的真數(shù)大于0求解;(2)根據(jù)二次根式的被開方數(shù)非負及分母不為0求解.(1)C(2)A解析 (1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定義域為(-,0)(1,+).(2)由題意,自變量x應滿足1-2x0,x+3>0,解得x0,x>-3,故函數(shù)的定義域為(-3,0.例2思路點撥 (1)由f(x)的定義域得f(2x)的定義域,再結(jié)合ln x0求解;(2)由x-1,1,求得x2+1的范圍是1,2,再由1lg x2即可得函數(shù)f(lg x)的定義域.(1)D(2)C解析 (1)f(x)的定義域為0,2,要使f(2x)有意義,則有02x2,0x1,要使g(x)有意義,應有0x1,lnx0,0<x<1,故選D.(2)因為f(x2+1)的定義域為-1,1,所以-1x1,故0x21,所以1x2+12.因為f(x2+1)與f(lg x)是同一個對應法則,所以1lg x2,即10x100,所以函數(shù)f(lg x)的定義域為10,100.故選C.變式題(1)A(2)-1,2解析 (1)由題意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故選A.(2)因為函數(shù)y=f(x2-1)的定義域為-3,3,所以-3x3,所以-1x2-12,所以函數(shù)y=f(x)的定義域為-1,2.例3思路點撥 (1)用配湊法將3x+2配湊成3(x+1)-1;(2)設出二次函數(shù),利用待定系數(shù)法,根據(jù)等式恒成立求出待定系數(shù)即可;(3)構造含f(x)和f2018x的方程組,消去f2018x即可得f(x)的解析式.(1)A(2)-x2+2x+15(3)4036x-x解析 (1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a0),則f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,2a=-2,a+b=1,a=-1,b=2,又f(2)=15,c=15,f(x)=-x2+2x+15.(3)f(x)+2f2018x=3x,且x0,用2018x代替中的x,得f2018x+2f(x)=32018x,解組成的方程組,消去f2018x得f(x)=4036x-x.變式題(1)A(2)A(3)2x+13或-2x-1解析 (1)設t=2x-1,則x=t+12,故f(t)=4t+12+3=2t+5, 令2t+5=6,則t=12,故選A.(2)因為3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,聯(lián)立,解得f(x)=x+1,故選A.(3)設f(x)=ax+b(a0),由ff(x)=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=13或a=-2,b=-1,f(x)=2x+13或f(x)=-2x-1.例4思路點撥 (1)先求f(-1)的值,再求ff(-1)的值;(2)先估算log27的范圍,再確定選用哪段解析式求值.(1)D(2)72解析 (1)由題意可得f(-1)=12-1=2,ff(-1)=f(2)=3,故選D.(2)因為2<log27<3,所以1<log27-1<2,所以f(log27)=f(log27-1)=2log27-1=2log272=72.例5思路點撥 (1)先求得f(1)=0,再據(jù)f(0)=3求分段函數(shù)中的參數(shù);(2)分a0和a>0兩種情況討論求解.(1)D(2)0或1解析 (1)根據(jù)題意可知f(1)=loga1=0,所以ff(1)=f(0)=(3+a)0+a=a=3,即a=3,故選D.(2)f(x)=2x,x0,x-lnx,x>0,f(0)=20=1.當a>0時,f(a)=a-ln a,則有1+a-ln a=2,解得a=1;當a0時,f(a)=2a,則有1+2a=2,解得a=0.例6思路點撥 (1)分x00和x0>0兩種情況討論求解;(2)根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,將函數(shù)圖像畫出來,結(jié)合圖像可得不等式成立的條件.(1)D(2)D解析 (1)當x00時,由f(x0)=2-x0-1>1,即2-x0>2,解得x0<-1;當x0>0時,由f(x0)=x012>1,解得x0>1.x0的取值范圍是(-,-1)(1,+).(2)f(x)的圖像如圖所示.當x+10,2x0,即x-1時,若滿足f(x+1)<f(2x),則滿足x+1>2x,即x<1,此時x-1;當x+1>0,2x<0,即-1<x<0時,f(x+1)<f(2x)恒成立.綜上,x的取值范圍是x<0.故選D.應用演練1.A解析 由函數(shù)f(x)=2x+1,x<0,x,x0,得f(1)+f(-1)=1+2-1+1=0.2.B解析 因為f(a)=4,所以22a-1+3=4,a0或1-log2a=4,a>0,所以a=12,a0或a=18,a>0,所以a=18,故選B.3.B解析 由于f(x)=3+log2x,x>0,x2-x-1,x0,所以當x>0時,3+log2x5,即log2x2=log24,得0<x4;當x0時,x2-x-15,即(x-3)(x+2)0,得-2x0.所以不等式f(x)5的解集為-2,4.4.A解析 當x0時,由x2-2xx,得0x3;當x<0時,由1xx,得-1x<0.故不等式f(x)x的解集為-1,3.5.12解析 由ff56=4,可得f52-b=4.若52-b1,即b32,可得252-b=4,解得b=12.若52-b<1,即b>32,可得352-b-b=4,解得b=78<32(舍去).故答案為12.【備選理由】 例1考查給定函數(shù)解析式,求抽象函數(shù)的定義域問題;例2考查分段函數(shù)的求值,但涉及三角函數(shù)及函數(shù)的周期性;例3考查分段函數(shù)與方程問題,先分析參數(shù)的范圍,可以避免分類討論;例4是對函數(shù)值域的考查,依據(jù)分段函數(shù)的值域求參數(shù),是對已有例題的有效補充,值得探究和思考.例1配合例2使用 2018邵陽期末 設函數(shù)f(x)=log2(x-1)+2-x,則函數(shù)fx2的定義域為()A.(1,2B.(2,4C.1,2)D.2,4)解析 B要使函數(shù)f(x)有意義,則需2-x0,x-1>01<x2,故1<x22,即2<x4,所以選B.例2配合例4使用 2018柳州高級中學三模 已知函數(shù)f(x)=x2+sin2x,x1,-f(x+3),x<1,則f(-2018)=()A.-2B.2C.4+22D.-4-22解析 A當x<1時,f(x)=-f(x+3),可得f(x+3)=-f(x),則f(x+3)+3=-f(x+3)=f(x),可知當x<1時,f(x)是周期為6的周期函數(shù),則f(-2018)=f(-3366-2)=f(-2)=-f(-2+3)=-f(1).而當x1時,f(x)=x2+sin2x,f(1)=2,f(-2018)=-f(1)=-2.例3配合例5使用 已知f(x)=1x-1,x>1,x+1,x1,若f(1-a)=f(1+a)(a>0),則實數(shù)a的值為.答案 1解析 a>0,1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a)得2-a=1a,即a2-2a+1=0,a=1.例4補充使用 2018武邑中學模擬 若函數(shù)f(x)=x+a,x2,log4x,x>2的值域為R,則a的取值范圍是.答案 a-32解析 f(x)=log4x在x>2時的值域為12,+,f(x)=x+a在x2時的最大值必須大于等于12,即滿足2+a12,解得a-32.故答案為a-32.