專題對點練16空間中的平行與幾何體的體積1.如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2,B1BA=3,M,N分別為A1C1與B1C的中點,且側面ABB1A1底面ABC.(1)證明:MN平面ABB1A1;(2)求三棱柱B1-ABC的高及體積.2.(2018全國,文19)如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直,M是CD上異于C,D的點.(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)在線段AM上是否存在點P,使得MC平面PBD?說明理由.3.(2018廣西名校聯(lián)盟)如圖,在三棱錐P-ABC中,ABPC,CA=CB,M是AB的中點.點N在棱PC上,點D是BN的中點.求證:(1)MD平面PAC;(2)平面ABN平面PMC.4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB與PAD都是邊長為2的等邊三角形,E是BC的中點.(1)求證:AE平面PCD;(2)求四棱錐P-ABCD的體積.5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側棱AA1平面ABC,且D,E分別是棱A1B1,AA1的中點,點F在棱AB上,且AF=14AB.(1)求證:EF平面BDC1;(2)求三棱錐D-BEC1的體積.6.如圖,正方形ABCD的邊長等于2,平面ABCD平面ABEF,AFBE,BE=2AF=2,EF=3.(1)求證:AC平面DEF;(2)求三棱錐C-DEF的體積.7.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,點M是棱CC1的中點.(1)在棱AB上是否存在一點N,使MN平面AB1C1?若存在,請確定點N的位置.若不存在,請說明理由;(2)當ABC是等邊三角形,且AC=CC1=2時,求點M到平面AB1C1的距離.8.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB平面BCC1B1,BCC1=3,AB=BB1=2,BC=1,D為CC1的中點.(1)求證:DB1平面ABD;(2)求點A1到平面ADB1的距離.專題對點練16答案1.(1)證明 取AC的中點P,連接PN,PM.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別為A1C1與B1C的中點,PNAB1,PMAA1.PMPN=P,AB1AA1=A,PM,PN平面PMN,AB1,AA1平面AB1A1,平面PMN平面AB1A1.MN平面PMN,MN平面ABB1A1.(2)解 設O為AB的中點,連接B1O,由題意知B1BA是正三角形,則B1OAB.側面ABB1A1底面ABC,且交線為AB,B1O平面ABC,三棱柱B1-ABC的高B1O=32AB1=3.SABC=1222sin 60=3,三棱柱B1-ABC的體積V=13SABCB1O=1333=1.2.解 (1)由題設知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因為BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因為M為CD上異于C,D的點,且DC為直徑,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)當P為AM的中點時,MC平面PBD.證明如下:連接AC交BD于O.因為ABCD為矩形,所以O為AC中點.連接OP,因為P為AM中點,所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.3.證明 (1)在ABN中,M是AB的中點,D是BN的中點,所以MDAN.又因為AN平面PAC,MD平面PAC,所以MD平面PAC.(2)在ABC中,CA=CB,M是AB的中點,所以ABMC.又因為ABPC,PC平面PMC,MC平面PMC,PCMC=C,所以AB平面PMC.又因為AB平面ABN,所以平面ABN平面PMC.4.(1)證明 ABC=BAD=90,ADBC.BC=2AD,E是BC的中點,AD=CE,四邊形ADCE是平行四邊形,AECD.又AE平面PCD,CD平面PCD,AE平面PCD.(2)解 連接DE,BD,設AEBD=O,連接OP,則四邊形ABED是正方形,O為BD的中點.PAB與PAD都是邊長為2的等邊三角形,BD=22,OB=2,OA=2,PA=PB=2,OPOB,OP=2,OP2+OA2=PA2,即OPOA.又OA平面ABCD,BD平面ABCD,OAOB=O,OP平面ABCD.VP-ABCD=13S梯形ABCDOP=1312(2+4)22=22.5.(1)證明 取AB的中點O,連接A1O.AF=14AB,F為AO的中點.又E為AA1的中點,EFA1O.A1D=12A1B1,BO=12AB,ABA1B1,A1DBO,四邊形A1DBO為平行四邊形,A1OBD,EFBD.又EF平面BDC1,BD平面BDC1,EF平面BDC1.(2)解 AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,AA1C1D.A1C1=B1C1=A1B1=2,D為A1B1的中點,C1DA1B1,C1D=3.又AA1平面AA1B1B,A1B1平面AA1B1B,AA1A1B1=A1,C1D平面AA1B1B.AB=AA1=2,D,E分別為A1B1,AA1的中點,SBDE=22-1212-1212-1211=32.VD-BEC1=VC1-BDE=13SBDEC1D=13323=32.6.(1)證明 連接BD,記ACBD=O,取DE的中點G,連接OG,FG.點O,G分別是BD和ED的中點,OG12BE.又AF12BE,OGAF,四邊形AOGF是平行四邊形,AOFG,即ACFG.又AC平面DEF,FG平面DEF,AC平面DEF.(2)解 在四邊形ABEF中,過F作FHAB交BE于點H.由已知條件知,在梯形ABEF中,AB=FH=2,EF=3,EH=1,則FH2=EF2+EH2,即FEEB,從而FEAF.AC平面DEF,點C與點A到平面DEF的距離相等,VC-DEF=VA-DEF.DAAB,DA平面ABEF,又SAEF=12AFEF=1213=32.三棱錐C-DEF的體積VC-DEF=VA-DEF=VD-AEF=13SAEFAD=13322=33.7.解 (1)在棱AB上存在中點N,使MN平面AB1C1,證明如下:設BB1的中點為D,連接DM,NM,ND,因為點M,N,D是CC1,AB,BB1的中點,所以NDAB1,DMB1C1,所以ND平面AB1C1,DM平面AB1C1.又NDDM=D,所以平面NDM平面AB1C1.因為MN平面NDM,所以MN平面AB1C1.(2)因為MN平面AB1C1,所以點M到平面AB1C1的距離與點N到平面AB1C1的距離相等.又點N為AB的中點,所以點N到平面AB1C1的距離等于點B到平面AB1C1的距離的一半.因為AA1平面ABC,所以AB1=AC1=22,所以AB1C1的底邊B1C1上的高為(22)2-1=7.設點B到平面AB1C1的距離為h,則由VA-BC1B1=VB-AB1C1,得1323=131227h,可得h=2217,即點M到平面AB1C1的距離為217.8.(1)證明 在四邊形BCC1B1中,BC=CD=DC1=1,BCD=3,BD=1.B1D=3,BB1=2,B1DBD.AB平面BCC1B1,ABDB1,DB1平面ABD.(2)解 對于四面體A1ADB1,A1到直線DB1的距離即為A1到平面BB1C1C的距離,A1到DB1的距離為2.設A1到平面ADB1的距離為h,ADB1為直角三角形,SADB1=12ADDB1=1253=152,VA1-ADB1=13152h=156h.SAA1B1=1222=2,D到平面AA1B1的距離為32,VD-AA1B1=13232=33.VA1-ADB1=VD-AA1B1,15h6=33,解得h=255.點A1到平面ADB1的距離為255.