組合增分練8解答題型綜合練A1.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.(1)求sinCsinA的值;(2)若cos B=14,b=2,求ABC的面積S.2.隨著手機(jī)的發(fā)展,“微信”越來(lái)越成為人們交流的一種方式.某機(jī)構(gòu)對(duì)“使用微信交流”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及對(duì)“使用微信交流”贊成人數(shù)如下表.年齡(單位:歲)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75頻數(shù)510151055贊成人數(shù)51012721(1)若以“年齡”45歲為分界點(diǎn),由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面22列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān);年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)贊成不贊成合計(jì)(2)若從年齡在25,35)和55,65)的被調(diào)查人中按照分層抽樣的方法選取6人進(jìn)行追蹤調(diào)查,并給予其中3人“紅包”獎(jiǎng)勵(lì),求3人中至少有1人年齡在55,65)的概率.參考數(shù)據(jù)如下:附臨界值表:P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2的觀測(cè)值:k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d).3.如圖,在梯形ABCD中,BAD=ADC=90,CD=2,AD=AB=1,四邊形BDEF為正方形,且平面BDEF平面ABCD.(1)求證:DFCE.(2)若AC與BD相交于點(diǎn)O,則在棱AE上是否存在點(diǎn)G,使得平面OBG平面EFC?并說(shuō)明理由.4.已知拋物線y2=8x與垂直x軸的直線l相交于A,B兩點(diǎn),圓C:x2+y2=1分別與x軸正、負(fù)半軸相交于點(diǎn)P,N,且直線AP與BN交于點(diǎn)M.(1)求證:點(diǎn)M恒在拋物線上;(2)求AMN面積的最小值.5.設(shè)f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f(x).(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;(2)討論g(x)與g1x的大小關(guān)系;(3)求a的取值范圍,使得g(a)-g(x)<1a對(duì)任意x>0成立.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3sin-cos,y=3-23sincos-2cos2(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin-4=22m.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C1與曲線C2有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.7.已知函數(shù)f(x)=|x+2|-m,mR,且f(x)0的解集為-3,-1.(1)求m的值;(2)設(shè)a,b,c為正數(shù),且a+b+c=m,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.組合增分練8答案1.解 (1)由正弦定理,設(shè)asinA=bsinB=csinC=k,則2c-ab=2ksinC-ksinAksinB=2sinC-sinAsinB,所以cosA-2cosCcosB=2sinC-sinAsinB,即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B.化簡(jiǎn)可得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=,所以sin C=2sin A.因此sinCsinA=2.(2)由sinCsinA=2得c=2a.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B及cos B=14,b=2,得4=a2+4a2-4a214,解得a=1.從而c=2.又因?yàn)閏os B=14,且0<B<,所以sin B=154.因此S=12acsin B=1212154=154.2.解 (1)根據(jù)條件得22列聯(lián)表:年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)贊成102737不贊成10313合計(jì)203050根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)代入公式得到:K2=50(103-2710)2203037139.979>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān).(2)按照分層抽樣方法可知55,65)抽取6510+5=2(人),25,35)抽取61010+5=4(人).在上述抽取的6人中,年齡在55,65)有2人,年齡在25,35)有4人.年齡在55,65)記為(A,B);年齡在25,35)記為(a,b,c,d),則從6人中任取3名的所有情況為:(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d)共20種情況,其中至少有一人年齡在55,65)歲的情況有:(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),共16種情況.記至少有一人年齡在55,65)歲為事件A,則P(A)=1620=45.至少有一人年齡在55,65)歲之間的概率為45.3.(1)證明 連接EB,在梯形ABCD中,BAD=ADC=90,CD=2,AD=AB=1,BD=2,BC=2,BD2+BC2=CD2,BCBD.平面BDEF平面ABCD,平面BDEF平面ABCD=BD,BC平面BDEF,BCDF.DFEB,EBBC=B,DF平面BCE.CE平面BCE,DFCE.(2)解 棱AE上存在點(diǎn)G,AGGE=12,使得平面OBG平面EFC.ABDC,AB=1,DC=2,AOOC=12.AGGE=12,OGCE.EFOB,OB平面EFC,OG平面EFC,OB平面EFC,OG平面EFC.OBOG=O,平面OBG平面EFC.4.(1)證明 設(shè)A(x1,y1),B(x1,-y1)(x1>0),由題意,P(1,0),N(-1,0),直線AP的方程為(x1-1)y=y1(x-1),直線BN的方程為(x1+1)y=-y1(x+1),聯(lián)立,解得x=1x1,y=-y1x1.y12=8x1,y2=8x,即點(diǎn)M恒在拋物線上.(2)解 由(1)可得AMN面積S=12|NP|(|y1|+|yM|)=|y1|+y1x1=|y1|+8y142,當(dāng)且僅當(dāng)y1=22,即A(1,22)時(shí)取等號(hào),AMN面積的最小值為42.5.解 (1)由題設(shè)知f(x)=ln x,g(x)=ln x+1x,g(x)=x-1x2,令g(x)=0,得x=1.當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)<0,故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間;當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)>0,故(1,+)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間.因此,x=1是g(x)的唯一極值點(diǎn),且為極小值點(diǎn),從而是最小值點(diǎn).所以最小值為g(1)=1.(2)g1x=-ln x+x.設(shè)h(x)=g(x)-g1x=2ln x-x+1x,則h(x)=-(x-1)2x2.當(dāng)x=1時(shí),h(1)=0,即g(x)=g1x,當(dāng)x(0,1)(1,+)時(shí),h(x)<0,h(1)=0.因此,h(x)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)0<x<1時(shí),h(x)>h(1)=0,即g(x)>g1x,當(dāng)x>1時(shí),h(x)<h(1)=0,即g(x)<g1x.(3)由(1)知,g(x)的最小值為1,所以g(a)-g(x)<1a,對(duì)任意x>0成立g(a)-1<1a,即ln a<1,從而得0<a<e.6.解 (1)曲線C1的參數(shù)方程為x=3sin-cos,y=3-23sincos-2cos2,消去參數(shù),可得y=x2(-2x2).曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin-4=22m,直角坐標(biāo)方程為x-y+m=0.(2)聯(lián)立直線與拋物線可得x2-x-m=0,曲線C1與曲線C2有公共點(diǎn),m=x2-x=x-122-14,-2x2,-14m6.7.解 (1)由題意,|x+2|mm0,-m-2xm-2,由f(x)0的解集為-3,-1,得-m-2=-3,m-2=-1,解得m=1.(2)由(1)可得a+b+c=1,由柯西不等式可得(3a+1+3b+1+3c+1)(12+12+12)(3a+1+3b+1+3c+1)2,則3a+1+3b+1+3c+132,當(dāng)且僅當(dāng)3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13時(shí)等號(hào)成立,故3a+1+3b+1+3c+1的最大值為32.