第二章 推理與證明章末檢測試卷(二)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f(x)x2在R上是偶函數(shù)”的推理過程()A歸納推理 B類比推理C演繹推理 D以上答案都不對考點演繹推理的含義與方法題點演繹答案C解析根據(jù)演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理2下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f(x)>0恒成立因為f(x)x3在(1,1)內(nèi)可導且單調(diào)遞增，所以在(1,1)內(nèi)，f(x)3x2>0恒成立以上推理中()A大前提錯誤 B小前提錯誤C結(jié)論正確 D推理形式錯誤考點“三段論”及其應用題點大前提錯誤導致結(jié)論錯誤答案A解析f(x)在(a，b)內(nèi)可導且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f(x)0恒成立，故大前提錯誤，故選A.3設a，b，c都是非零實數(shù)，則關于a，bc，ac，b四個數(shù)有以下說法：四個數(shù)可能都是正數(shù)；四個數(shù)可能都是負數(shù)；四個數(shù)中既有正數(shù)又有負數(shù)以上說法中正確的個數(shù)為()A0 B1C2 D3考點反證法及應用題點反證法的應用答案B解析可用反證法推出不正確，因此正確4在等差數(shù)列an中，若an<0，公差d>0，則有a4a6>a3a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若bn>0，q>1，則下列有關b4，b5，b7，b8的不等關系正確的是()Ab4b8>b5b7 Bb5b7>b4b8Cb4b7>b5b8 Db4b5>b7b8考點類比推理的應用題點等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案A5已知2，2，2，2，依照以上各式的規(guī)律可得()A.2B.2C.2D.2考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應用答案A解析從各個等式可以看出，等式的右端均為2，左端為兩個式子的和，且兩個式子的分子之和恒等于8，分母為相應分子減去4，所以可得2.6設an，bn是兩個等差數(shù)列，若cnanbn，則cn也是等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，設sn，tn是等比數(shù)列，則下列說法正確的是()A若rnsntn，則rn是等比數(shù)列B若rnsntn，則rn是等比數(shù)列C若rnsntn，則rn是等比數(shù)列D以上說法均不正確考點類比推理的應用題點等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案B解析在由等差數(shù)列的運算性質(zhì)類比推理到等比數(shù)列的運算性質(zhì)時：加減運算類比推理為乘除運算，累加類比為累乘故由“an，bn是兩個等差數(shù)列，若cnanbn，則cn是等差數(shù)列”，類比推理可得：“設sn，tn是等比數(shù)列，若rnsntn，則rn是等比數(shù)列”故選B.7分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設a>b>c，且abc0，求證<a”索的因應是()Aab>0 Bac<0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0考點分析法及應用題點尋找結(jié)論成立的充分條件答案C解析要證明<a，只需證b2ac<3a2，只需證(ac)2ac<3a2，只需證2a2acc2<0，即證2a2acc2>0，即證(ac)(2ac)>0，即證(ac)(ab)>0.8某同學在紙上畫出如下若干個三角形：若依此規(guī)律，得到一系列的三角形，則在前2 015個三角形中的個數(shù)是()A62 B63C64 D61考點歸納推理的應用題點歸納推理在圖形中的應用答案A解析前n個中所包含的所有三角形的個數(shù)是123nn，由2 015，解得n62.9已知123332433n3n13n(nab)c對一切nN*都成立，那么a，b，c的值為()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在這樣的a，b，c考點數(shù)學歸納法定義及原理題點數(shù)學歸納法第一步：歸納奠基答案A解析令n1,2,3，得所以a，bc.10用反證法證明命題“是無理數(shù)”時，假設正確的是()A假設是有理數(shù) B假設是有理數(shù)C假設或是有理數(shù) D假設是有理數(shù)考點反證法及應用題點如何正確進行反設答案D解析應對結(jié)論進行否定，則不是無理數(shù)，即是有理數(shù)11我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體下列幾何體中，一定屬于相似體的有()兩個球體；兩個長方體；兩個正四面體；兩個正三棱柱；兩個正四棱錐A4個 B3個 C2個 D1個考點類比推理的應用題點平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析類比相似形中的對應邊成比例知，一定屬于相似體12設函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列xn滿足x05，且對任意的自然數(shù)均有xn1f(xn)，則x2 016等于()x12345f(x)41352A.1 B2C4 D5考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)列中的應用答案D解析x1f(x0)f(5)2，x2f(2)1，x3f(1)4，x4f(4)5，x5f(5)2，x6f(2)1，x7f(1)4，x8f(4)5，x9f(5)2，所以數(shù)列xn是周期為4的數(shù)列，所以x2 016x45，故選D.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13用數(shù)學歸納法證明“123n2”時，從nk到nk1，等式左端需要增加的代數(shù)式為_考點數(shù)學歸納法定義及原理題點數(shù)學歸納法第二步：歸納遞推答案(k21)(k22)(k1)2解析當nk時，等式的左端為123k2，當nk1時，等式的左端為123k2(k21)(k22)(k1)2.14已知a>0，b>0，mlg，nlg，則m，n的大小關系是_考點綜合法及應用題點利用綜合法解決不等式問題答案m>n解析ab>0>0ab2>ab()2>()2>>lg>lg.15古埃及數(shù)學中有一個獨特現(xiàn)象：除了用一個單獨的符號表示以外，其他分數(shù)都要寫成若干個分數(shù)和的形式，例如.可以這樣來理解：假定有2個面包，要平均分給5個人，每人分將剩余，再將這分成5份，每人分得，這樣每人分得.同理可得，按此規(guī)律，則_，_(n5,7,9,11，)考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應用答案解析由，得，當n5,7,9時，等號右邊第一個分數(shù)的分母分別為3,4,5，第二個分數(shù)的分母分別是等號左邊分數(shù)的分母與等號右邊第一個分數(shù)分母的乘積16.現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題：如圖，同一平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為_考點類比推理的應用題點平面幾何與立體幾何之間的類比答案解析解法的類比(特殊化)，可得兩個正方體重疊部分的體積為.三、解答題(本大題共6小題，共70分)17(10分)1，2能否為同一等差數(shù)列中的三項？說明理由考點反證法及應用題點反證法的應用解假設1，2能為同一等差數(shù)列中的三項，但不一定是連續(xù)的三項，設公差為d，則1md,2nd，m，n為兩個正整數(shù)，消去d得m(1)n.m為有理數(shù)，(1)n為無理數(shù)左邊為有理數(shù)，右邊為無理數(shù)，m(1)n不成立，矛盾假設不成立，即1，2不可能為同一等差數(shù)列中的三項18(12分)已知a>0，b>0,2c>ab，求證：c<a<c.考點分析法及應用題點分析法解決不等式問題證明要證c<a<c，只需證<ac<，即證|ac|<，只需證(ac)2<()2，只需證a22acc2<c2ab，即證2ac>a2ab，因為a>0，所以只需證2c>ab.因為2c>ab已知，所以原不等式成立19(12分)已知A，B都是銳角，且AB90，(1tan A)(1tan B)2.求證：AB45.考點綜合法及應用題點利用綜合法解決函數(shù)問題證明因為(1tan A)(1tan B)2，展開化簡為tan Atan B1tan Atan B.因為AB90，tan(AB)1，又因為A，B都是銳角，所以0<AB<180，所以AB45.20(12分)某同學在研究相鄰三個正整數(shù)的算術平方根之間的關系時，發(fā)現(xiàn)以下三個式子均是正確的：<2；<2；<2.(1)已知(1.41,1.42)，(1.73,1.74)，(2.23，2.24)，請從以上三個式子中任選一個，結(jié)合此范圍，驗證其正確性(注意不能近似計算)；(2)請將此規(guī)律推廣至一般情形，并證明考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)的應用解(1)驗證式成立：<1.74，<2.74，>1.41，2>2.82，<2.(2)一般結(jié)論為：若nN*，則<2，證明如下：要證<2，只需證()2<(2)2，即證2n22<4n4，即證<n1，只需證n(n2)<n22n1，即證0<1，顯然成立故<2.21(12分)在平面內(nèi)，可以用面積法證明下面的結(jié)論：從三角形內(nèi)部任意一點，向各邊引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，且相應各邊上的高分別為ha，hb，hc，則有1.請你運用類比的方法將此結(jié)論推廣到四面體中并證明你的結(jié)論考點類比推理的應用題點平面幾何與立體幾何之間的類比解類比結(jié)論：從四面體內(nèi)部任意一點向各面引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，pd，且相應各面上的高分別為ha，hb，hc，hd.則有1.證明：，同理有，又VPBCDVPCDAVPBDAVPABCVABCD，1.22(12分)已知f(x)，且f(1)log162，f(2)1.(1)求函數(shù)f(x)的表達式(2)已知數(shù)列xn的項滿足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n)，試求x1，x2，x3，x4.(3)猜想xn的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明考點數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題題點利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列通項問題解(1)f(1)log162，f(2)1，解得a1，b0，f(x)(x1)(2)x11f(1)1，x21f(1)1f(2)，x3(1f(3)，x4.(3)由(2)知，x1，x2，x3，x4，由此可以猜想xn.證明：當n1時，x1，而，猜想成立假設當nk(k1，kN*)時，xn成立，即xk，則當nk1時，xk1(1f(1)(1f(2)(1f(k)(1f(k1)xk(1f(k1).當nk1時，猜想也成立，根據(jù)可知，對一切nN*，猜想xn都成立6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375