第2講選修4-5 不等式選講考向預(yù)測本部分主要考查絕對值不等式的解法求含絕對值的函數(shù)的最值及求含參數(shù)的絕對值不等式中的參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式，絕對值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn)，主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想1絕對值不等式的性質(zhì)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時，等號成立2|axb|c，|axb|c(c>0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc(2)|axb|caxbc或axbc3|xa|xb|c，|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法(1)利用絕對值不等式的幾何意義直觀求解(2)利用零點(diǎn)分段法求解(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解4基本不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理2：如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立熱點(diǎn)一絕對值不等式的解法與最值問題【例1】(2019肇慶一模)已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍解（1）不等式，即.可得，或或，解得，所以不等式的解集為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時，兩處等號同時成立，所以，解得或，實(shí)數(shù)a的取值范圍是探究提高1解絕對值不等式的關(guān)鍵是去絕對值符號，常用的零點(diǎn)分段法的一般步驟：求零點(diǎn)；劃分區(qū)間，去絕對值符號；分段解不等式；求各段的并集此外，還常用絕對值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸直觀求解2不等式恒成立問題，存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決【訓(xùn)練1】(2017鄭州三模)已知不等式|xm|<|x|的解集為(1，)(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若不等式<<對x(0，)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由|xm|<|x|，得|xm|2<|x|2，即2mx>m2，又不等式|xm|<|x|的解集為(1，)，則1是方程2mxm2的解，解得m2(m0舍去)(2)m2，不等式<<對x(0，)恒成立等價(jià)于不等式a5<|x1|x2|<a2對x(0，)恒成立設(shè)f(x)|x1|x2|，當(dāng)0<x<2時，f(x)在(0，2)上是增函數(shù)，1<f(x)<3，當(dāng)x2時，f(x)3因此函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1，3從而原不等式等價(jià)于解得1<a4所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，4熱點(diǎn)二不等式的證明【例2】(2018雅禮中學(xué))已知定義在上的函數(shù)的最小值為（1）求的值；（2）若，是正實(shí)數(shù)，且滿足，求證：解（1）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值等于3，即；（2）證明：由（1）知，又因?yàn)?，是正?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立探究提高當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的，則考慮用反證法【訓(xùn)練2】(2015全國卷)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件證明(1)a，b，c，d為正數(shù)，且abcd，欲證>，只需證明()2>()2，也就是證明ab2>cd2，只需證明>，即證ab>cd由于ab>cd，因此>(2)若|ab|<|cd|，則(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cdabcd，所以ab>cd由(1)得>若>，則()2>()2，ab2>cd2abcd，所以ab>cd于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2因此|ab|<|cd|綜上，>是|ab|<|cd|的充要條件1(2018全國I卷)已知（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍2(2018全國II卷)設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍1(2016全國卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)<2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時，|ab|<|1ab|2(2017長郡中學(xué)二模)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x2|(1)解不等式f(x)>0；(2)若x0R，使得f(x0)2m2<4m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍1(2017石家莊三模)在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)之間的“直角距離”為L(P，Q)|x1x2|y1y2|，已知A(x，1)，B(1，2)，C(5，2)三點(diǎn)(1)若L(A，B)>L(A，C)，求x的取值范圍；(2)當(dāng)xR時，不等式L(A，B)tL(A，C)恒成立，求t的最小值2(2018福建聯(lián)考)已知不等式的解集為（）求的值；（）若，求證：參考答案1【解題思路】(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點(diǎn)分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結(jié)果.【答案】（1）當(dāng)時，的解集為（2）當(dāng)時成立等價(jià)于當(dāng)時成立若，則當(dāng)時；若，的解集為，所以，故綜上所述，的取值范圍為2【解題思路】（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍【答案】（1）當(dāng)時，可得的解集為（2）等價(jià)于，而，且當(dāng)時等號成立，故等價(jià)于，由可得或，所以的取值范圍是點(diǎn)睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向1【解題思路】(1)零點(diǎn)分段討論法得出f(x)的解析式，再分類討論求解f(x)<2(2)平方后利用作差比較法【答案】(1)解f(x)當(dāng)x時，由f(x)<2得2x<2，解得x>1，所以1<x；當(dāng)<x<時，f(x)<2恒成立當(dāng)x時，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，所以x<1所以f(x)<2的解集Mx|1<x<1(2)證明由(1)知，當(dāng)a，bM時，1<a<1，1<b<1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)<0，所以(ab)2<(1ab)2，因此|ab|<|1ab|2【解題思路】(1) 零點(diǎn)分段討論法求解f(x) >0 (2) 存在性問題轉(zhuǎn)化為求最值問題【答案】解(1)當(dāng)x<2時，f(x)12xx2x3令x3>0，解得x<3，從而x<2當(dāng)2x時，f(x)12xx23x1，令3x1>0，解得x<，又2x，2x<當(dāng)x>時，f(x)2x1x2x3，令x3>0，解得x>3又x>，x>3綜上，不等式f(x)>0的解集為(3，)(2)由(1)得f(x)，f(x)minf x0R，使得f(x0)2m2<4m，4m2m2>，整理得4m28m5<0，解得<m<，m的取值范圍是1【解題思路】(1)正確理解定義可得L(A，B)>L(A，C)，進(jìn)一步解出x的范圍(2)由定義得出L(A，B)tL(A，C)，再利用絕對值三角不等式求解即可【答案】解(1)由定義得|x1|1>|x5|1，則|x1|>|x5|，兩邊平方得8x>24，解得x>3故x的取值范圍為(3，)(2)當(dāng)xR時，不等式|x1|x5|t恒成立，也就是t|x1|x5|恒成立，因?yàn)閨x1|x5|(x1)(x5)|4，所以t4，所以tmin4故t的最小值為42【解題思路】（1）根據(jù)，進(jìn)行分類討論，求出不等式的解集，由此能求出（2）由，知，由此利用作商法和基本不等式的性質(zhì)能證明【答案】（）原不等式等價(jià)于或或，解得或，即，.（）由（）知，即，且，當(dāng)且僅當(dāng)，時取“”,