課時(shí)作業(yè)(二十四)第24講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用時(shí)間 / 45分鐘分值 / 100分基礎(chǔ)熱身1.以觀測(cè)者的位置作為原點(diǎn),東、南、西、北四個(gè)方向把平面分成四部分,以正北方向?yàn)槭歼?按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)280到目標(biāo)方向線,則目標(biāo)方向線的位置在觀測(cè)者()A.北偏東80的方向B.東偏北80的方向C.北偏西80的方向D.西偏北80的方向2.如圖K24-1所示,在地平面上有一旗桿OP(O在地面),為了測(cè)得它的高度h,在地平面上取一基線AB,測(cè)得其長(zhǎng)為20 m,在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為30,在B處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為45,又測(cè)得AOB=30,則旗桿的高h(yuǎn)等于圖K24-1()A.10 mB.20 mC.103 mD.203 m3.某船以每小時(shí)152 km的速度向正東方向行駛,行駛到A處時(shí),測(cè)得一燈塔B在A的北偏東60的方向上,行駛4小時(shí)后,船到達(dá)C處,測(cè)得這個(gè)燈塔在C的北偏東15的方向上,這時(shí)船與燈塔的距離為()A.60 kmB.602 kmC.302 kmD.30 km4.2018河南豫南豫北聯(lián)考 線段的黃金分割點(diǎn)定義:若點(diǎn)P在線段MN上,且滿足MP2=NPMN,則稱點(diǎn)P為線段MN的黃金分割點(diǎn).在ABC中,AB=AC,A=36,若角B的平分線交邊AC于點(diǎn)D,則點(diǎn)D為邊AC的黃金分割點(diǎn),利用上述結(jié)論,可以求出cos 36=()A.5-14B.5+14C.5-12D.5+125.2018上海徐匯區(qū)一模 某船在海平面A處測(cè)得燈塔B在北偏東30的方向,與A相距6.0海里,船由A向正北方向航行8.1海里到達(dá)C處,這時(shí)燈塔B與船相距海里.(精確到0.1海里)能力提升6.如圖K24-2所示,無人機(jī)在離地面高200 m的A處,觀測(cè)到山頂M處的仰角為15、山腳C處的俯角為45,已知MCN=60,則山的高度MN為()圖K24-2A.300 mB.3003 mC.2003 mD.275 m7.為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖K24-3所示,要求ACB=60,BC的長(zhǎng)度大于1米,且AC比AB長(zhǎng)12米,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為()圖K24-3A.1+32米B.2米C.(1+3)米D.(2+3)米8.從某船上開始看見燈塔A時(shí),燈塔A在船的南偏東30方向,后來船沿南偏東60的方向航行45 km后,看見燈塔A在船的正西方向,則這時(shí)船與燈塔A的距離是()A.152 kmB.30 kmC.15 kmD.153 km9.2018南昌一模 已知臺(tái)風(fēng)中心位于城市A的東偏北(為銳角)方向的150公里處,臺(tái)風(fēng)中心以v公里/時(shí)的速度沿正西方向快速移動(dòng),52小時(shí)后到達(dá)城市A西偏北(為銳角)方向的200公里處,若cos =34cos ,則v=()A.60B.80C.100D.12510.一艘游輪航行到A處時(shí),測(cè)得燈塔B在A的北偏東75方向,距離為126海里,燈塔C在A的北偏西30方向,距離為123海里,該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí),測(cè)得燈塔B在其南偏東60方向,則此時(shí)燈塔C位于游輪的() A.正西方向B.南偏西75方向C.南偏西60方向D.南偏西45方向11.在一幢10 m高的房屋頂部測(cè)得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫?0,塔基的俯角為30,假定房屋與塔建在同一水平地面上,則塔的高度為.12.某港口停泊著兩艘船,大船以每小時(shí)40海里的速度從港口出發(fā),沿北偏東30方向行駛2.5小時(shí)后,小船開始以每小時(shí)20海里的速度向正東方向行駛,小船出發(fā)1.5小時(shí)后,大船接到命令,需要把一箱貨物轉(zhuǎn)到小船上,便折向行駛,期間,小船行進(jìn)方向不變,從大船折向開始到與小船相遇,最少需要小時(shí).13.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書九章卷五“田域類”里記載了這樣一個(gè)題目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.”這道題講的是有一塊三角形的沙田,三邊長(zhǎng)分別為13里,14里,15里,假設(shè)1里按500米計(jì)算,則該三角形沙田外接圓的半徑為米.14.(10分)如圖K24-4所示,一艘巡邏船由南向北行駛,在A處測(cè)得山頂P在北偏東15(BAC=15)的方向,勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處,測(cè)得山頂P位于北偏東60的方向,此時(shí)測(cè)得山頂P的仰角為60,已知山高為23千米.(1)船的航行速度是每小時(shí)多少千米?(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處,問此時(shí)山頂位于D處的南偏東什么方向?圖K24-415.(12分)如圖K24-5所示,某公園的三條觀光大道AB,BC,AC圍成一個(gè)直角三角形,其中直角邊BC=200 m,斜邊AB=400 m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB,BC,AC上嬉戲,所在位置分別記為點(diǎn)D,E,F.(1)若甲、乙都以每分鐘100 m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走,到大道的另一端時(shí)即停,乙比甲遲2分鐘出發(fā),當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后,求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離;(2)若CEF=,0,2,乙、丙之間的距離是甲、乙之間的距離的2倍,且DEF=3,請(qǐng)將甲、乙之間的距離y表示為的函數(shù),并求甲、乙之間的最小距離.圖K24-5難點(diǎn)突破16.(13分)如圖K24-6所示,某鎮(zhèn)有一塊三角形空地,記為OAB,其中OA=3 km,OB=33 km, AOB=90.當(dāng)?shù)卣?jì)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn),擬在中間挖一個(gè)人工湖,記為OMN,其中M,N都在邊AB上,且MON=30,挖出的泥土堆放在OAM上形成假山,剩下的OBN開設(shè)兒童游樂場(chǎng).為了安全起見,需在OAN的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).(1)當(dāng)AM=32 km時(shí),求防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度.(2)若要求挖人工湖用地OMN的面積是堆假山用地OAM的面積的3倍,試確定AOM的大小.(3)為節(jié)省投入資金,人工湖OMN的面積要盡可能小,問如何設(shè)計(jì)施工方案,可使OMN的面積最小?最小面積是多少?圖K24-6課時(shí)作業(yè)(二十四)1.C解析 注意旋轉(zhuǎn)的方向是順時(shí)針方向,作出相應(yīng)的圖形(圖略),分析可得C正確.2.B解析 由題意得PAO=30,PBO=45,AO=3h,BO=h,又AB=20 m,在ABO中,由余弦定理得AB2=400=(3h)2+h2-23hhcos 30,解得h=20(m).3.A解析 畫出圖形如圖所示,由題意知,在ABC中,BAC=30,AC=4152=602,B=45.由正弦定理ACsinB=BCsinBAC,得BC=ACsinBACsinB=602sin30sin45=60,此時(shí)船與燈塔的距離為60 km.故選A.4.B解析 設(shè)AB=AC=2,由黃金分割點(diǎn)的定義可得AD2=CDAC,解得AD=5-1.在ABC中,因?yàn)锳=36,AB=AC,所以ABC=72.又因?yàn)锽D為ABC的平分線,所以ABD=CBD=36,所以BD=AD=5-1.在ABD中,由余弦定理得cos A=AD2+AB2-BD22ADAB,即cos 36=(5-1)2+22-(5-1)22(5-1)2=5+14.故選B. 5.4.2解析 設(shè)此時(shí)燈塔B與船相距m海里,由余弦定理得,m=8.12+62-268.1cos304.2.6.A解析 ADBC,ACB=DAC=45,AC=2AB=2002(m).又MCA=180-60-45=75,MAC=15+45=60,AMC=180-MCA-MAC=45,在AMC中,由正弦定理MCsinMAC=ACsinAMC,得MC=2002sin60sin45=2003(m),MN=MCsinMCN=2003sin 60=300(m).故選A.7.D解析 設(shè)BC的長(zhǎng)度為x米(x>1),AC的長(zhǎng)度為y米,則AB的長(zhǎng)度為y-12米.在ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,得y-122=y2+x2-2yx12,化簡(jiǎn)得y(x-1)=x2-14,x>1,x-1>0,y=x2-14x-1=(x-1)+34(x-1)+23+2,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=34(x-1),即x=1+32時(shí),取等號(hào),y的最小值為2+3.故選D.8.D解析 設(shè)船開始的位置為B,船航行45 km后處于C,如圖所示,可得DBC=60,ABD=30,BC=45 km,ABC=30,BAC=120.在ABC中,利用正弦定理ACsinABC=BCsinBAC,可得AC=BCsinABCsinBAC=451232=153(km).故選D.9.C解析 如圖所示,由余弦定理得52v2=2002+1502+2200150cos(+),由正弦定理得150sin=200sin,即sin =43sin .又cos =34cos ,sin2+cos2=1,sin2+cos2=1,可得sin =35,cos =45,sin =45,cos =35,故cos(+)=1225-1225=0,代入解得v=100.故選C.10.C解析 如圖所示,AB=126,AC=123,在ABD中,B=45,由正弦定理有ADsin45=ABsin60=12632=242,所以AD=24.在ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADcos 30,因?yàn)锳C=123,AD=24,所以CD=12,由正弦定理得CDsin30=ACsinCDA,所以sinCDA=32,故CDA=60或CDA=120.因?yàn)锳D>AC,故CDA為銳角,所以CDA=60.故選C.11.40 m解析 如圖所示,過房屋頂部C作塔AB的垂線CE,垂足為E,則CD=10,ACE=60,BCE=30,BE=CD=10,BC=2CD=20,EC=BD=BC2-CD2=103.ACE=60,AEC=90,AC=2CE=203,AE=AC2-CE2=30,AB=AE+BE=30+10=40,故塔的高度為40 m.12.3.5解析 如圖所示,設(shè)港口為O,小船行駛1.5小時(shí)到達(dá)B,此時(shí)大船行駛到A,大船折向按AC方向行駛,大船與小船同時(shí)到達(dá)C點(diǎn)時(shí),用時(shí)最少.設(shè)從A到C,大船行駛時(shí)間為t,則OA=40(2.5+1.5)=160,AC=40t,OC=201.5+20t.由余弦定理得OA2+OC2-2OCOAcos 60=AC2,即12t2+20t-217=0,(2t-7)(6t+31)=0,解得t=3.5,即最少需要3.5小時(shí).13.4062.5解析 設(shè)在ABC中,AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米,由余弦定理知,cos B=AB2+BC2-AC22ABBC=513,所以sin B=1-cos2B=1213.設(shè)ABC外接圓的半徑為R,則由正弦定理得,ACsinB=2R,所以R=AC2sinB=750021213=4062.5(米).14.解:(1)在BCP中,由tanPBC=PCBC,得BC=PCtanPBC=2,在ABC中,由正弦定理得BCsinBAC=ABsinBCA,即2sin15=ABsin45,所以AB=2(3+1),故船的航行速度是每小時(shí)6(3+1)千米.(2)在BCD中,BD=3+1,BC=2,CBD=60,則由余弦定理得cosCBD=BC2+BD2-CD22BCBD,解得CD=6,由正弦定理CDsinDBC=BCsinCDB,得sinCDB=22,因?yàn)?<CDB<120,所以CDB=45,所以山頂位于D處南偏東45的方向.15.解:(1)依題意得,當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后,BD=300,BE=100,在ABC中,cos B=BCAB=12,又B0,2,B=3.在BDE中,由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BDBEcos B=3002+1002-230010012=70 000,DE=1007,即此時(shí)甲、乙兩人相距1007 m.(2)由題意得EF=2DE=2y,CEF=,則BDE=-ABC-DEB=23-3-=.在直角三角形CEF中,CE=EFcosCEF=2ycos ,在BDE中,由正弦定理BEsinBDE=DEsinDBE,得200-2ycossin=ysin60,y=10033cos+sin=503sin+3,0<<2,當(dāng)=6時(shí),y有最小值503,即甲、乙之間的最小距離為503 m.16.解:(1)在OAB中,OA=3,OB=33,AOB=90,OAB=60.在AOM中,OA=3,AM=32,OAM=60,由余弦定理OM2=OA2+AM2-2OAAMcosOAM,得OM=332,OM2+AM2=OA2,即OMAN,AOM=30,AON=AOM+MON=60,OAN為正三角形,OAN的周長(zhǎng)為9,即防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度為9 km.(2)設(shè)AOM=(0<<60),SOMN=3SOAM,12ONOMsin 30=312OAOMsin ,即ON=63sin . 在OAN中,由ONsin60=OAsin180-(+60+30)=3cos,得ON=332cos,從而63sin =332cos,即sin 2=12,由0<2<120,得2=30,=15,即AOM=15.(3)設(shè)AOM=(0<<60),由(2)知,ON=332cos,又在AOM中,由OMsin60=OAsin(180-60),得OM=332sin(+60),SOMN=12OMONsin 30=2716sin(+60)cos=27812sin2+32cos2+32=278sin(2+60)+43,當(dāng)且僅當(dāng)2+60=90,即=15時(shí),OMN的面積取得最小值,此時(shí),SOMN=27(2-3)4,OMN的最小面積為272-34 km2.